河北辛集中学2019届高三模拟考试（五）数学试卷


数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝（y|y＝2x，x＞0}，B＝{x|y＝log2（x﹣2）}，则A∩（∁RB）＝（　　）
A．[0，1） B．（1，2） C．（1，2] D．[2，+∞）
2．已知复数z满足（1+i）z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数f（x）＝sin4x﹣cos4x，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的最大值为2
C．f（x）的图象关于y轴对称
D．f（x）在区间[，]上单调递减
4．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝（　　）
A．26 B．52 C．78 D．104
5．已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（　　）

A．16﹣π B．16﹣4π
C．32﹣2π D．64﹣4π

7．已知函数f（x）＝，若f（a）≥1则a的取值范围是（　　）
A．[1，2） B．[1，+∞）
C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
8．若x，y满足约束条件，则的取值范围为（　　）
A．[﹣，1] B．[﹣∞，﹣]∪[1，+∞）
C．[0，1] D．[，1]
9．已知数列{an}中，a1＝，an+1＝1﹣，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（　　）
A．n≤2012 B．n≤2015 C．n≤2017 D．n≤2018

10．已知△ABC的内角A＝，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA＝OB＝OC，设＝m+n，则m+n的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
11．已知P是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为﹣4，△PF1F2的面积为24，则双曲线的离心率为（　　）
A．3 B．2 C． D．
12．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（1﹣x）10的展开式中，x3的系数等于　 　．
14．已知向量＝（1，），＝（3，m），则在方向上的投影为﹣3，则向量与的夹角为　 　．
15．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是　 　．

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn．满足a1＝2，3Sn＝（n+m）an，（m∈R），且anbn＝n，若存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，则实数λ的最小值为　 　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c＝acosB+bsinA．
（Ⅰ）求A
（Ⅱ）若a＝2，求△ABC面积的最大值．


18．（12分）如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE＝1．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ABE；
（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥A﹣BF﹣E所成角的余弦值为？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．

19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆+＝1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求的最小值．
20．（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如表所示：
分数a
95≤a≤100
85≤a＜95
75≤a＜85
60≤a＜75
a＜60
人数
25
50
100
50
25
参加自主招生获得通过的概率
0.9
0.8
0.6
0.4
0.3
（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？

优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程


250
没有学习大学先修课程



总计
150


（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学先修课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率
（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；
（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．
参考数据：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：K2＝，
其中n＝a+b+c+d

21．（12分）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）当a＝b＝1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（1）＝1，且方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知射线OP：θ1＝α（其中0＜α＜）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2＝与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣1|．
（Ⅰ）若f（x）+2g（x）的最小值为1，求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+g（x）＜1的解集包含[，1]，求实数a的取值范围．
数学试卷
一、
1—5 CDCBD． 6—10 ABAC．
10．解：由OA＝OB＝OC，得：点O是△ABC的外心，
又外心是中垂线的交点，则有：，即，
又AB＝6，AC＝4，＝12，
所以，解得： 即m+n＝+＝， 故选：A．
11．解：P是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，
△PF1F2的面积为24，可得P的纵坐标y为：，y＝4．
直线PF2的斜率为﹣4，
所以P的横坐标x满足：，解得x＝5，则P（5，4），
|PF1|＝＝13， |PF2|＝＝7，
所以2a＝13﹣7，a＝3， 所以双曲线的离心率为：e＝＝2． 故选：B．
12．解：如图，AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝2．
过A作AE⊥CD于E，连结BE，则AE＝＝BE，又AB＝a，
∴＝，
∴＝，
令，则f′（a）＝16a3﹣3a5＝0，
解得当a2＝时，（VA﹣BCD）max＝．
∴此三棱锥体积的取值范围是（0，]．故选：B．
二、
13．﹣120． 14． 15. ． 16.
15．解：由题意，设DF＝2AF＝2a，且a＞0，由∠DFE＝，∴∠AFC＝π﹣＝；
∴△DEF的面积为S△DEF＝•2a•2a•sin＝a2，
△AFC的面积为S△AFC＝•a•3a•sin＝a2，
∴在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是
P＝＝． 故答案为：．
16．解：∵3Sn＝（n+m）an， ∴3S1＝3a1＝（1+m）a1，解得m＝2，∴3Sn＝（n+2）an，①，
当n≥2时，3Sn﹣1＝（n+1）an﹣1，②，
由①﹣②可得3an＝（n+2）an﹣（n+1）an﹣1，即（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，
∴＝， ∴＝，＝，＝，…，＝，＝，
累乘可得an＝n（n+1），
经检验a1＝2符合题意，∴an＝n（n+1），n∈N*，
∵anbn＝n，∴bn＝，
令Bn＝T2n﹣Tn＝++…+，
则Bn+1﹣Bn＝＞0，
∴数列{Bn}为递增数列，∴Bn≥B1＝，
∵存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，∴λ≥B1＝，
故实数λ的最小值为， 故答案为：．
三、17解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinC＝sinAcosB+sinBsinA①
又A+B+C＝π，故有sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB②
由 ①②得sinA＝cosA即tanA＝1，又；
（Ⅱ）△ABC的面积为，
又已知及余弦定理可得，
∴，当且仅当b＝c时，等号成立，
∴， 即面积最大值为．
18．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，AE⊥BC，
又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，
∴平面ABCD⊥平面ABE；
（Ⅱ）以A为原点建立空间坐标系如图，
∵AE＝1，AB＝2，AE⊥BE，∴BE＝，
设AF＝h，则F（0，0，h），E（），B（0，2，0），
∴，，
设平面BEF的一个法向量为，
则⇒，取y＝1，得，
易知，为平面ABF的一个法向量，
由题意得：＝＝， 解得：h＝1，
故当F为AD中点时，满足题意．
19．解：（Ⅰ）由椭圆+＝1知，其右焦点为（1，0），
即抛物线的焦点为F（1，0），∴＝1，解得p＝2；
∴抛物线C的标准方程为y2＝4x；
（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，易得|AB|＝2p＝4，＝2；
②当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知AB的斜率不为0，
设AB所在直线方程为y＝k（x﹣1），且A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，消去y得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0；
∴x1+x2＝，x1•x2＝1，且△＝16（k2+1）＞0；
∴|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝；
FM所在的直线方程为y＝﹣（x﹣1），
联立方程组，求得点M（﹣1，），∴|MF|＝＝2，
∴＝＝2＞2；综上所述，的最小值为2．
20．解：（Ⅰ）列联表如下：

优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程
50
200
250
没有学习大学先修课程
100
900
1000
总计
150
1100
1250
由列联表可得K2＝≈18.939＞6.635．
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．
（Ⅱ）（i）由题意得所求概率为：
p＝×0.9++＝．
（ii）设获得高校自主招生通过的人数为X，则X～X（4，），
P（X＝4）＝．k＝0，1，2，3，4，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数为150×＝90．
21．解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，，则，
解不等式f′（x）＞0，得0＜x＜1，所以，函数f（x）在（0，1）上单调递增；
解不等式f′（x）＜0，得x＜0或x＞1，所以，函数f（x）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上单调递减，
因此，函数f（x）的极小值为f（0）＝1，极大值为f（1）＝；
（Ⅱ）由f（1）＝1得b＝e﹣1﹣a，由f（x）＝1，得ex＝ax2+bx+1，
设g（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x0为g（x）在（0，1）内的一个零点，
由g（0）＝g（1）＝0知，g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不单调，
设h（x）＝g′（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上均存在零点，即h（x）在（0，1）上至少有两个零点．
g′（x）＝ex﹣2ax﹣b，h′（x）＝ex﹣2a．
当时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）不可能有两个及以上的零点；
当时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）不可能有两个及以上的零点；
当时，令h′（x）＝0，得x＝ln（2a）∈（0，1），
所以，h（x）在（0，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），1）上单调递增，
h（x）在（0，1）上存在极小值h（ln（2a）），
若h（x）有两个零点，则有h（ln（2a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，
h（ln（2a））＝3a﹣2aln（2a）+1﹣e，
设，则，令m′（x）＝0，得．
当时，m′（x）＞0，函数m（x）单调递增；当时，m′（x）＜0，函数m（x）单调递减．
所以，，所以，h（ln（2a））＜0恒成立，
由h（0）＝1﹣b＝a﹣e+2＞0，h（1）＝e﹣2a﹣b＞0，得e﹣2＜a＜1．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程是（t为参数），
转换为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．
转换为极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ+1＝0．
曲线C的参数方程是，（φ为参数），
转换为直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2＝4，
转换为极坐标方程为：ρ＝4cosθ．
（Ⅱ）由于0＜α＜，所以：|OP|＝4cosα，
|OQ|＝＝．
所以：＝＝1，所以：tanα＝1，
由于：0＜α＜，故：， 所以：|OP|＝4cos．
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|2x+a|，g（x）＝|x﹣1|．
f（x）+2g（x）＝|2x+a|+2|x﹣1|
＝|2x+a|+|2x﹣2|≥|2x+a﹣（2x﹣2）|
＝|a+2|＝1，解得a＝﹣1或a＝﹣3；
（Ⅱ）x∈[，1]时，不等式f（x）+g（x）＜1，即：|2x+a|+|x﹣1|＜1，可得：|2x+a|+1﹣x＜1，∴|2x+a|＜x．∴﹣＜x＜﹣a，
不等式f（x）+g（x）＜1的解集包含[，1]，
即：且﹣a＞1，∴． 实数a的取值范围：（﹣，﹣1）．