高中数学高考精品解析：【全国百强校】河北省武邑中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题（解析版）

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河北武邑中学2018—2019学年高三年级第三次模拟考试一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（   ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数，先得到其共轭复数，再得到复数的模，进而可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查复数的模以及共轭复数的概念，熟记概念以及公式即可，属于基础题型.2.，，若，则的取值集合为　　A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出，由，，可得，或，由此能求出的取值集合．【详解】，，，，或，或或．的取值集合为．故选D．【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．3.某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（   ）A. 甲型号手机在外观方面比较好. B. 甲、乙两型号的系统评分相同.C. 甲型号手机在性能方面比较好. D. 乙型号手机在拍照方面比较好.【答案】C【解析】【分析】评分越高，说明该方面越好；从题中数据可直接得出结果.【详解】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85，故A正确；甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B正确；甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C错误；甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D正确；故选C【点睛】本题主要考查统计图的分析，会分析统计图即可，属于常考题型.4.已知双曲线的两个焦点都在轴上，对称中心为原点，离心率为，若点在上，且，到原点的距离为，则的方程为（   ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选C.5.已知两个单位向量的夹角为，则下列向量是单位向量的是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据模为1的向量为单位向量，逐项求出向量的模，即可得出结果.【详解】因为两个单位向量的夹角为，所以；所以，，，.故选B【点睛】本题主要考查单位向量的概念，熟记向量模的计算公式即可，属于基础题型.6.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（   ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本道题结合偶函数满足以及单调递增关系,前后推导,即可.【详解】结合偶函数的性质可得,而当,所以结合在单调递增,得到,故可以推出.举特殊例子,,但是,故由无法得到,故是的充分不必要条件,故选A.【点睛】本道题考查了充分不必要条件判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易的题.7.已知等差数列满足，则中一定为0的项是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式即可得到结果.【详解】由得，，解得：，所以，，故选A【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（   ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先由三视图确定该几何体为一个圆柱与半个圆锥组合而成，根据表面积计算公式即可求出结果.【详解】由三视图可知：该几何体为一个圆柱与半个圆锥组合而成，且圆锥的底面圆半径与圆柱的底面圆半径相等，均为1；圆锥的高为1，圆柱的高为2；所以该组合体的表面积为.故选D【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求表面的问题，熟记圆锥与圆柱的表面积公式即可，属于常考题型.9.已知某口袋中装有2个红球、3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的取法种数为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出从6个球中任取3个所包含的情况总数，再求出取到的球恰有三种颜色所包含的情况，以及只有一种颜色的情况，即可得出结果.【详解】因为从6个球中任取3个球，共有种情况，取到的球恰有三种颜色时，共有种情况，取到的球只有一种颜色时，只有种情况，故三个球中恰有两种颜色的取法种数为.故选C【点睛】本题主要考查对立事件，要求某事件所包含基本事件个数时，可先考虑其对立事件所包含的情况，属于常考题型.10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验，受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计的值（如图），若电脑输出的的值为29，那么可以估计的值约为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由试验结果知100对之间随机数满足的条件，求出满足条件的点对应的平面区域的面积，由几何概型的概率公式，求得所取的点在规定区域内的概率，即可估计出结果.【详解】由题意知，100对之间的随机数满足，满足且的点对应的平面区域（如图中阴影部分）的面积为；因为共产生了100对内的随机数，其中能使且的有对，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概型的应用，属于常考题型.11.已知圆：与函数的图像有唯一交点，且交点的横坐标为，则（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根据题意，求出交点坐标，对函数求导，分析得到切线斜率，进而可得，得到，代入所求式子，化简整理，即可得出结果.【详解】因为圆：与函数的图像有唯一交点，所以圆在该交点处的切线与函数在交点处的切线重合，因为交点的横坐标为，所以交点坐标为，由得，所以，所以，整理得，因此，.故选C【点睛】本题主要考查利用导数分析切线方程，涉及三角恒等变换，熟记公式即可，属于常考题型.12.如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】在上取与点对应的点，显然当为的中点时，，计算棱锥的高，利用勾股定理计算出球的半径，进而可得出结果.【详解】在上取点，使得，则，当时，取得最小值，即的最小值为，因为此时，恰为的中点，所以，因此，，设外接球的半径为，则，解得，因此，外接球的表面积为.故选B【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.二、填空题，将答案填在答题卡上相应位置.13.已知，，成等比数列，且，则_______．【答案】4【解析】【分析】利用等比中项可得＝16，结合对数运算性质可得结果.【详解】解：依题意，得：＝16，所以， ＝4故答案为4【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算性质，考查计算能力.14.已知抛物线的焦点为，点在上，的中点坐标为，则的方程为______．【答案】【解析】【分析】先抛物线方程得到坐标，再由的中点坐标为，求出点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】因为抛物线的焦点为，所以，又的中点坐标为，所以，因为点在上，所以，即，所以，因此的方程为.故答案为【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，根据题意求出抛物线上点的坐标代入抛物线即可，属于基础题型.15.已知点为不等式组所表示的可行域内任意一点，点的坐标为，为坐标原点，则的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】先由不等式组，作出可行域，记向量，的夹角为，再由，可知只需取最小值即可，结合图像即可得出结果.【详解】由不等式组作出可行域如图所示：记向量，的夹角为，所以，因此，求的最大值，只需取最小值即可，由图像可得在上时，最小，又因为，所以，因此，又，所以，所以，故.故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划，根据约束条件作出可行域，结合目标函数的几何意义，即可求解，属于常考题型.16.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为_____．【答案】【解析】【分析】根据曲线方程，作出曲线所对应的平面区域，得到区域与轴的交点，结合图像即可得出结果.【详解】曲线围成的平面区域如下图所示：该平面区域与轴的交点为，，，平面区域内的任意一个点都在以原点为圆心，半径为2的圆上或圆内，所以平面区域内任意两点间的距离都小于等于4，因此，该平面区域的直径为4.【点睛】本题主要考查曲线上两点间距离的最大值，根据数形结合的思想即可求解，属于常考题型.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图所示，扇形中，圆心角，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧与点.（1）若是半径的中点，求线段的长；（2）若，求面积的最大值及此时的值.【答案】（1）（2） ；【解析】【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理即可求得PC的长度．（2）根据正弦定理用 表示出OC的长度，根据三角面积公式，结合三角函数关系恒等变形，化成正弦函数的表达形式，进而求得最值．【详解】（1）（舍负）；（2），则，得，此时．【点睛】本题考查了三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．18.如图，在棱长均为的三棱柱中，点在平面内的射影为与的交点，、分别为，的中点.（1）求证：四边形为正方形；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面没有公共点？若存在求出的值.（该问写出结论即可）【答案】(1)见证明；(2) (3) 【解析】【分析】（1）先连结，由题意先证明平面，进而证明为菱形，再证明，即可得出结论成立；(2)根据题意建立如图所示坐标系，求出直线的方向向量以及平面的一个法向量，根据向量夹角的余弦值，即可得出结果；(3)因为直线与平面没有公共点，即是，设点坐标为，求出平面的一个法向量，根据线面平行，得到直线的方向向量与平面法向量数量积为0，进而可求出，即可得出结果.【详解】解：（1）连结.因为在平面内的射影为与的交点，所以.由已知三棱柱各棱长均相等，所以，且为菱形.由勾股定理得，即，所以四边形为正方形.（2）由（1）知平面，.在正方形中，.如图建立空间直角坐标系.由题意得，.所以.设平面的法向量为，则，即.令，则.于是.又因为，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为（3）直线与平面没有公共点，即.设点坐标为，与重合时不合题意，所以.因为.设为平面的法向量，则即令,则.于是.若，.又，所以解得.此时，所以.所以.【点睛】本题主要考查线面垂直、线面平行、以及线面角的求法，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.19.已知椭圆左、右焦点分别为，.椭圆的长轴与焦距比为，过的直线与交于、两点.（1）当的斜率为时，求的面积；（2）当线段垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.【答案】（1）12（2）【解析】【分析】（1）结合椭圆性质，得到椭圆方程，联解直线与椭圆方程，结合，计算面积，即可．（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用，建立关于k，m的式子，计算最值，即可．【详解】解：（1）依题意，因，又，得，所以椭圆的方程为，设、，当时，直线：将直线与椭圆方程联立，消去得，，解得，，，所以 .（2）设直线的斜率为，由题意可知，由，消去得，恒成立，，设线段的中点，设线段的中点，则，，设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.，整理得：， ，等号成立时.故当截距最小为时，，此时直线的方程为.【点睛】本道题注意考查了直线与椭圆位置关系等综合性问题，难度较大．20.为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度） 某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410 （1）若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯每度元，式计算居民用电户用电度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.【答案】（1）227元（2）（3）【解析】试题分析：（1）10户共有3户为第二阶梯电量用户，所以可取0,1,2,3，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；（2）由题意抽到的户数符合二项分布，设抽到K户概率最大，解不等式组，再根据即可求出.试题解析：（1）元 设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3 故分布列是0123 所以 可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知,解得，所以当时，概率最大，所以21.已知函数，其中.（1）若和在区间上具有相同的单调性，求实数的取值范围；（2）若，且函数的最小值为，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由在上恒成立在上单调递减当时，，即在上单调递增，不合题意；当时，利用导数工具得的单调减区间为，单调增区间为和在区间上具有相同的单调性的取值范围是；（2）由，设利用导数工具得，再根据单调性设在上递减的最小值为.试题解析： （1），在上恒成立，即在上单调递减.当时，，即在上单调递增，不合题意；当时，由，得，由，得.∴的单调减区间为，单调增区间为.和在区间上具有相同的单调性，∴，解得，综上，的取值范围是.（2），由得到，设，当时，；当时，.从而在上递减，在上递增.∴.当时，，即，在上，递减；在上，递增.∴，设，在上递减.∴；∴的最小值为.考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）己知直线与曲线交于、两点，且，求实数的值.【答案】（1）的普通方程；的直角坐标方程是；（2）【解析】【分析】（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ），展开得（ρsinθ+ρcosθ），利用即可得出曲线的直角坐标方程；（2）先求得圆心到直线的距离为，再用垂径定理即可求解．【详解】（1）由直线的参数方程为，所以普通方程为由曲线的极坐标方程是，所以，所以曲线的直角坐标方程是（2）设的中点为，圆心到直线的距离为，则，圆，则，，,由点到直线距离公式，解得，所以实数的值为.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）设，若的最小值为，求的值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)代入解析式,结合x的不同范围，去绝对值，计算x的范围，即可．（2）得到解析式，结合单调性，计算最小值，计算a，即可．【详解】(Ⅰ)，即 或 ，∴实数的取值范围是. (Ⅱ)∵，∴，∴，易知函数在时单调递减，在时单调递增，∴.∴，解得.【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．