江苏省苏州市某中学2020届高三第三次模拟考试数学试卷
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数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1．已知集合，则 ．
2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是 ．
3．抛物线的准线方程为 ．
4．某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的250个行政村分成四组，对应的行政村个数分别为，若用分层抽样抽取50个行政村，则B组中应该抽取的行政村数为 ．
5．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为 ．
6．中国古典乐器一般按“八音”分类，如图，在《周礼·春官·大师》中按乐器的制造材料对乐器分类，分别为“金、石、木、土、革、丝、匏、竹” 八音，其中“土、匏、竹”为吹奏乐器，“金、石、木、革”为打击乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“一音”，则不是吹奏乐器的概率为 ．
7．已知函数若，则实数的值是 ．
8．已知和均为等差数列，若，，则的值是 ．
9．已知为函数的两个极值点，则的最小值为 ．
10．在长方体中，，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为 ．
11．在平面直角坐标系中，已知圆，若对于直线
上的任意一点P，在圆C上总存在Q使，则实数的取值范围为 ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，，E为BC的中点，若线段DE上存在一点M满足，则的值是 ．
13．在中，设角对应的边分别为，记的面积为S，若，则的最大值为 ．
14．已知函数，其图象记为曲线，曲线上存在异于原点的点，使得曲线与其在的切线交于另一点，曲线与其在的切线交于另一点，若直线与直线的斜率之积小于，则的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知平面向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段AC上，且，
求证：∥平面．
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为 和，离心率为，左准线方程为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过的直线与椭圆相交于两点，直线的斜率分别为，且，求k的取值范围．
18．（本小题满分16分）
如图，在一个圆心角为，半径为10米的扇形草地上，需铺设一个直角三角形的花地，其中为直角，要求三点分别落在线段和弧上，且，的面积为．
（1）当且时，求的值；
（2）无论如何铺设，要求始终不小于20平方米，求的取值范围．
19．（本小题满分16分）
已知在每一项均不为0的数列中，，且（为常数，），记数列的前项和为．
（1）当时，求；
（2）当时，
①求证：数列为等比数列；
②是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
定义：函数的导函数为，函数的导函数为，我们称函数称为函数的二阶导函数．已知，．
（1）求函数的二阶导函数；
（2）已知定义在R上的函数满足：对任意，恒成立．P为曲线上的任意一点．求证：除点P外，曲线上每一点都在点P处切线的上方；
（3）试给出一个实数a的值，使得曲线与曲线有且仅有一条公切线，并证明你的结论．
21．【选做题】本题包括、、三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
．选修4 2：矩阵与变换（本小题满分10分）
求曲线在矩阵对应变换作用下得到的曲线的方程．
．选修4 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的方程为，曲线的方程为．
（1）将和的方程化为直角坐标方程；
（2）若和分别为和上的动点，求的最小值．
．选修4 5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知均为正实数，且有，求证：．
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线在点处切线的斜率为，抛物线的准线与对称轴交于T，直线PT与抛物线交于另一点Q．
（1）求抛物线的方程；
（2）设M为抛物线C上一点，且M在P与Q之间运动，求面积的最大值．
23．（本小题满分10分）
集合，
记集合的元素个数为．
（1）求；
（2）求证：能被3整除．
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 2． 3． 4．15 5．34
6． 7．4 8．12 9． 10．
11． 12． 13． 14．
解答与提示：
1．根据交集定义可知，．
2．由可知，．
3．．
4．由题意，所以．
5．执行第一次循环；执行第二次循环；执行第三次循环，终止循环．所以．
6．由枚举法知从音中任取不同1音共有8种不同的取法，不含吹奏乐器的有5种，由古典概型得．
7．时，因为，所以无解．从而要使，只能，解得．
8．因为成等差数列，所以，所以，得．
9．，所以，所以的最小值为．
10．分别以三种面上最大圆为圆柱的底面的圆柱体积为，所以最大体积为，所以此圆柱与原长方体的体积比为．
11．由题意过P总可以作圆C的切线，所以圆C与直线相离，所以，解得．
12．因为，
所以所以．
13．法一：由角化边得，所以，
，
故．
令，则，
，所以．
法二：不妨设，则，
以为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则．
设，由可得，
而（是顶点到底边的高），
所以，所以．
法三：在中，过点C作，垂足为H．
由，得．设，则.
（当且仅当时取“”）．
14．，设，
则，即，
联立得，同理，
则，，
又，所以由，得，
令，则在上有解，由得．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
解：（1）因为，，且，
所以．·····················································3分
所以，即．··················································5分
（2）因为，，且，
所以，即．··················································8分
若，则，不满足上式，舍去．····································10分
所以，所以，················································12分
所以．·····················································14分
16．（本小题满分14分）
解：（1）因为平面，平面，所以．····································2分
因为，是的中点，所以．········································4分
又因为，平面，所以平面．·······································6分
（2）连结，交于点，连结．如图．
因为分别是的中点，
所以为的中位线，·····························8分
从而，可得，································10分
因为，所以，所以．···························12分
又因为平面，平面，所以∥平面．··································14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）由可知，又左准线方程为，即，
联立解得，，椭圆方程为．·······································4分
（2）①由（1）可知，．
设直线，
联立消得，··················································6分
由韦达定理可知，
因为点和点不重合，且直线的斜率存在，
所以，得．··················································8分
因为，，由条件，
可得，即，
化简得．···················································10分
若，则直线过点，不符合条件，
因此，故，得，··············································12分
代入可知，得，
所以．·····················································14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系．
因为且，所以点在直线上．
又因为点在圆上，所以．········································3分
此时，
所以当且时，S的值为20平方米．··································6分
（2）法一：过作，垂足为，作，垂足为，
所以，并且相似比为，所以，·····································8分
又因为点在圆上，代入计算得．··································10分
设，则，
所以，·····················································12分
当R与M重合时，，此时取得最小值，
所以，·····················································14分
要使S始终不小于20平方米，
则，解得，所以的取值范围为．
答：要使S始终不小于20平方米，的取值范围为．······················16分
法二：过作，垂足为，作，垂足为，
所以，并且相似比为，所以，·····································8分
又因为点在圆上，代入计算得．··································10分
设由逆时针转过的角的大小为，
当与重合时设，当与重合时设，
则，此时，所以， ············································12分
所以，·····················································14分
所以，
解得，所以的取值范围是．
答：要使S始终不小于20平方米，的取值范围为．······················16分
法三：以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系．
设Q点坐标为，
①当QP斜率不存在时，，，，又因为点在圆 上，代入计算得．·············8分
②当QP斜率存在时，设斜率为k，则直线PQ的方程为，
令， ，所以P点坐标为．
直线QR的方程为，
令，，所以R点坐标为．
因为，所以，
所以，
整理得，所以，又因为都为正数，
所以，·····················································10分
点在圆上，代入计算得
，又，
所以，·····················································12分
，所以，所以．
由①②得，·················································14分
所以，
解得，所以的取值范围是．
答：要使S始终不小于20平方米，的取值范围为．······················16分
法四：设，，其中，，点到AC边的距离为，到BC边的距离为.
则，·······················································8分
，
所以．·····················································10分
以下同法三．
19．（本小题满分16分）
解：（1）当时，，因为，所以，
所以数列是以3为首项、为公比的等比数列．··························2分
当时，；当时，．
综上所述，··················································4分
（2）①当时，，
所以，．
若存在，使得，则，与矛盾．
所以，所以，················································5分
所以．·····················································7分
又因为，所以，
所以数列是以为首项、2为公比的等比数列．··························8分
②由①可知，所以，
所以．·····················································10分
由，得，，
所以当时，，················································13分
所以（当且仅当时取“”），所以，·······························15分
又因为，且，所以的最小值为2．··································16分
20．（本小题满分16分）
解：（1），．···················································3分
（2）设，则曲线在点P处的切线方程为．
设，则，．
所以在上递增．又，
所以当时，；当时，．
所以在递减，在递增．
所以，．所以．
所以除点P外，曲线上每一点都在点P处切线的上方．····················8分
（3）给出，此时．
因为，所以．
又，所以曲线在x＝0处的切线为．
因为，所以．
又，所以曲线在x＝0处的切线为．
从而两曲线有一条公切线．······································10分
下面证明它们只有这一条公切线．
①先证明，，当且仅当时取“”．
设，则，
所以，当且仅当时取“”．
所以在上递增．又，
所以当时，；当时，．
所以在递减，在递增．
所以，，当且仅当时取“”．
所以，，当且仅当时取“”．····································13分
②再证明它们没有其它公切线．
若它们还有一条公切线，它与曲线切于点，与曲线切于点，显然，，．
因为，由（2）知，，当且仅当时取“”．
因为，所以．
又由①知，矛盾．故它们只有这一条公切线．
综上，当时，曲线与曲线有且仅有一条公切线．·······················16分
数学Ⅱ（附加题）
参考答案
21．【选做题】本题包括、、三小题，请选定其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．
．选修4 2：矩阵与变换（本小题满分10分）
解：设曲线上任一点对应曲线上的点，
则，得所以··················································4分
带入的方程，得，即．
所以曲线的方程为．···········································10分
．选修4 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
解：（1）设为上任一点，则有，，····································2分
所以由得，即，···············································4分
，消得．····················································6分
（2）圆心到直线的距离，
所以的最小值为．············································10分
．选修4 5：不等式选讲（本小题满分10分）
证：因为，，，··················································2分
所以，·····················································4分
，
当且仅当时取等号，所以．······································10分
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
解：（1）由得，，
所以当时，，得，
所以抛物线的方程为．··········································3分
（2）由抛物线的准线可知，
直线的方程为，···············································5分
代入得，设，由条件可知，
当面积取最大值时，抛物线在M处的切线平行于直线PT，
则，，所以，M到直线PT的距离为，
又，所以．·················································10分
23．（本小题满分10分）
解：（1），得；，得；
，得；，得．
所以．·····················································3分
（2）由题意， 集合中的各位数字之和为，对于中的每个数，各位数字之和为，若的首位为1，则其余各位数字之和为，总个数为；若的首位为2，则其余各位数字之和为，总个数为，所以． 6分
下面用数学归纳法证明能被3整除．
1．当时，能被3整除；
2．假设时，能被3整除；
则当时，，
因为能被3整除，所以也能被3整除，
所以当时，结论成立
综上可知，能被3整除．········································10分
