江苏省苏州市某中学2020届高三数学第三次模拟考试试题

江苏省苏州市某中学2020届高三数学第三次模拟考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知集合，则    ．2．已知复数，其中为虚数单位，则复数的模是    ．3．抛物线的准线方程为    ．4．某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的250个行政村分成四组，对应的行政村个数分别为，若用分层抽样抽取50个行政村，则B组中应该抽取的行政村数为    ．5．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为    ．6．中国古典乐器一般按“八音”分类，如图，在《周礼·春官·大师》中按乐器的制造材料对乐器分类，分别为“金、石、木、土、革、丝、匏、竹” 八音，其中“土、匏、竹”为吹奏乐器，“金、石、木、革”为打击乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“一音”，则不是吹奏乐器的概率为    ．7．已知函数若，则实数的值是    ． 8．已知和均为等差数列，若，，则的值是    ．9．已知为函数的两个极值点，则的最小值为    ．10．在长方体中，，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为    ． 11．在平面直角坐标系中，已知圆，若对于直线上的任意一点P，在圆C上总存在Q使，则实数的取值范围为    ．12．如图，在平行四边形ABCD中，，E为BC的中点，若线段DE上存在一点M满足，则的值是    ．13．在中，设角对应的边分别为，记的面积为S，若，则的最大值为    ．14．已知函数，其图象记为曲线，曲线上存在异于原点的点，使得曲线与其在的切线交于另一点，曲线与其在的切线交于另一点，若直线与直线的斜率之积小于，则的取值范围为    ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．     16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）若点在线段AC上，且，求证：∥平面．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为 和，离心率为，左准线方程为．（1）求椭圆的方程；（2）设不经过的直线与椭圆相交于两点，直线的斜率分别为，且，求k的取值范围．  18．（本小题满分16分）如图，在一个圆心角为，半径为10米的扇形草地上，需铺设一个直角三角形的花地，其中为直角，要求三点分别落在线段和弧上，且，的面积为．（1）当且时，求的值；（2）无论如何铺设，要求始终不小于20平方米，求的取值范围．
19．（本小题满分16分）已知在每一项均不为0的数列中，，且（为常数，），记数列的前项和为．（1）当时，求；（2）当时，①求证：数列为等比数列；②是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．   20．（本小题满分16分）定义：函数的导函数为，函数的导函数为，我们称函数称为函数的二阶导函数．已知，．（1）求函数的二阶导函数；（2）已知定义在R上的函数满足：对任意，恒成立．P为曲线上的任意一点．求证：除点P外，曲线上每一点都在点P处切线的上方；（3）试给出一个实数a的值，使得曲线与曲线有且仅有一条公切线，并证明你的结论．  21．【选做题】本题包括、、三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．选修4  2：矩阵与变换（本小题满分10分）求曲线在矩阵对应变换作用下得到的曲线的方程．    ．选修4  4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的方程为，曲线的方程为．（1）将和的方程化为直角坐标方程；（2）若和分别为和上的动点，求的最小值．    ．选修4  5：不等式选讲（本小题满分10分）已知均为正实数，且有，求证：．   【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线在点处切线的斜率为，抛物线的准线与对称轴交于T，直线PT与抛物线交于另一点Q．（1）求抛物线的方程；（2）设M为抛物线C上一点，且M在P与Q之间运动，求面积的最大值．  23．（本小题满分10分）集合，记集合的元素个数为．（1）求；（2）求证：能被3整除． 参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 2． 3． 4．15 5．346． 7．4 8．12 9． 10．11． 12． 13． 14．解答与提示： 1．根据交集定义可知，．2．由可知，．3．．4．由题意，所以．5．执行第一次循环；执行第二次循环；执行第三次循环，终止循环．所以．6．由枚举法知从音中任取不同1音共有8种不同的取法，不含吹奏乐器的有5种，由古典概型得．7．时，因为，所以无解．从而要使，只能，解得．8．因为成等差数列，所以，所以，得．9．，所以，所以的最小值为．10．分别以三种面上最大圆为圆柱的底面的圆柱体积为，所以最大体积为，所以此圆柱与原长方体的体积比为．11．由题意过P总可以作圆C的切线，所以圆C与直线相离，所以，解得．12．因为，所以所以．13．法一：由角化边得，所以，，故．令，则，，所以．法二：不妨设，则，以为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则．设，由可得，而（是顶点到底边的高），所以，所以．法三：在中，过点C作，垂足为H．由，得．设，则.（当且仅当时取“”）．14．，设，则，即，联立得，同理，则，，又，所以由，得，令，则在上有解，由得．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）解：（1）因为，，且，所以．·····················································3分所以，即．··················································5分（2）因为，，且，所以，即．··················································8分若，则，不满足上式，舍去．····································10分所以，所以，················································12分所以．···················································14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为平面，平面，所以．··································2分因为，是的中点，所以．·······································4分又因为，平面，所以平面．·····································6分   （2）连结，交于点，连结．如图．因为分别是的中点，所以为的中位线，···························8分从而，可得，······························10分因为，所以，所以．·························12分又因为平面，平面，所以∥平面．··································14分17．（本小题满分14分）解：（1）由可知，又左准线方程为，即，联立解得，，椭圆方程为．·····································4分（2）①由（1）可知，．设直线，联立消得，················································6分由韦达定理可知， 因为点和点不重合，且直线的斜率存在，所以，得．················································8分因为，，由条件，可得，即，化简得．·················································10分若，则直线过点，不符合条件，因此，故，得，············································12分代入可知，得，所以．···················································14分18．（本小题满分16分）解：（1）以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系．因为且，所以点在直线上．又因为点在圆上，所以．········································3分 此时，所以当且时，S的值为20平方米．··································6分（2）法一：过作，垂足为，作，垂足为，所以，并且相似比为，所以，·····································8分又因为点在圆上，代入计算得．··································10分设，则，所以，·····················································12分当R与M重合时，，此时取得最小值，所以，·····················································14分要使S始终不小于20平方米，则，解得，所以的取值范围为．答：要使S始终不小于20平方米，的取值范围为．······················16分法二：过作，垂足为，作，垂足为，所以，并且相似比为，所以，·····································8分又因为点在圆上，代入计算得．··································10分设由逆时针转过的角的大小为，当与重合时设，当与重合时设，则，此时，所以， ···········································12分所以，···················································14分所以，解得，所以的取值范围是． 答：要使S始终不小于20平方米，的取值范围为．······················16分法三：以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系．设Q点坐标为，①当QP斜率不存在时，，，，又因为点在圆 上，代入计算得．·············8分②当QP斜率存在时，设斜率为k，则直线PQ的方程为，令， ，所以P点坐标为．直线QR的方程为，令，，所以R点坐标为．因为，所以，所以，整理得，所以，又因为都为正数，所以，···················································10分点在圆上，代入计算得 ，又，所以，·····················································12分，所以，所以．由①②得，·················································14分所以，解得，所以的取值范围是． 答：要使S始终不小于20平方米，的取值范围为．······················16分法四：设，，其中，，点到AC边的距离为，到BC边的距离为.则，·······················································8分，所以．···················································10分以下同法三．19．（本小题满分16分）解：（1）当时，，因为，所以，所以数列是以3为首项、为公比的等比数列．··························2分当时，；当时，．综上所述，················································4分（2）①当时，，所以，．若存在，使得，则，与矛盾．所以，所以，················································5分所以．·····················································7分又因为，所以，所以数列是以为首项、2为公比的等比数列．··························8分②由①可知，所以，所以．·····················································10分由，得，，所以当时，，················································13分所以（当且仅当时取“”），所以，·······························15分又因为，且，所以的最小值为2．··································16分20．（本小题满分16分）解：（1），．···················································3分（2）设，则曲线在点P处的切线方程为．设，则，．所以在上递增．又，所以当时，；当时，．所以在递减，在递增．所以，．所以．所以除点P外，曲线上每一点都在点P处切线的上方．····················8分（3）给出，此时．因为，所以．又，所以曲线在x＝0处的切线为．因为，所以．又，所以曲线在x＝0处的切线为．从而两曲线有一条公切线．······································10分下面证明它们只有这一条公切线．①先证明，，当且仅当时取“”．设，则，所以，当且仅当时取“”．所以在上递增．又，所以当时，；当时，．所以在递减，在递增．所以，，当且仅当时取“”．所以，，当且仅当时取“”．····································13分②再证明它们没有其它公切线．若它们还有一条公切线，它与曲线切于点，与曲线切于点，显然，，．因为，由（2）知，，当且仅当时取“”．因为，所以．又由①知，矛盾．故它们只有这一条公切线．综上，当时，曲线与曲线有且仅有一条公切线．·······················16分
数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】本题包括、、三小题，请选定其中两题，若多做，则按作答的前两题评分． ．选修4  2：矩阵与变换（本小题满分10分）解：设曲线上任一点对应曲线上的点，则，得所以················································4分带入的方程，得，即．所以曲线的方程为．·········································10分．选修4  4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：（1）设为上任一点，则有，，··································2分所以由得，即，·············································4分，消得．··················································6分（2）圆心到直线的距离，所以的最小值为．···········································10分．选修4  5：不等式选讲（本小题满分10分）证：因为，，，················································2分所以，····················································4分，当且仅当时取等号，所以．····································10分【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：（1）由得，，所以当时，，得，所以抛物线的方程为．········································3分（2）由抛物线的准线可知，直线的方程为，·············································5分代入得，设，由条件可知，当面积取最大值时，抛物线在M处的切线平行于直线PT，则，，所以，M到直线PT的距离为，又，所以．················································10分23．（本小题满分10分）解：（1），得；，得；    ，得；，得．所以．····················································3分（2）由题意， 集合中的各位数字之和为，对于中的每个数，各位数字之和为，若的首位为1，则其余各位数字之和为，总个数为；若的首位为2，则其余各位数字之和为，总个数为，所以．              6分下面用数学归纳法证明能被3整除．1．当时，能被3整除；2．假设时，能被3整除；则当时，，因为能被3整除，所以也能被3整除，所以当时，结论成立综上可知，能被3整除．·······································10分