宁夏回族自治区银川一中2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则=（    ） A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求【详解】，所以 .故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z与其共轭复数满足，则（    ）A  B.  C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】设，则，得到答案.【详解】设，则，故，，，.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线为(    )A. 2x+y=0 B. C.  D. 【答案】D【解析】本题由双曲线标准方程，离心率出发来求解其渐近线，主要考察学生对双曲线概念，基本关系的理解与应用，属于简单题型．请在此填写本题解析!解 因为,          =25,因为+,所以，+=25即化简得=,所以答案为D.4.在区间内随机取两个数，则使得“命题‘，不等式成立’为真命题”的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由该命题为真命题得出，画出不等式组表示的平面区域，根据几何概型的计算公式求解即可.【详解】，不等式成立，即则作出的可行域，如下图所示则使得该命题为真命题的概率故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划的简单应用，面积型几何概型求概率问题，属于中档题.5.若向量与平行，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量平行得到，故，计算得到答案.【详解】向量与平行，则，故，.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.6.是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标的和,求出线段AB的中点到y轴的距离【详解】是抛物线的焦点, ,准线方程, 设,, , 线段AB的中点横坐标为, 线段AB的中点到y轴的距离为所以D选项是正确的【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．7.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（    ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则或【答案】A【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于：若，则或，故错误；正确.故选：.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.8.已知函数的部分图像如图，则的解析式可能是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据定义域排除A，根据奇偶性排除D，根据单调性排除B，即可得出答案.【详解】由图象可知，函数在上单调递增，且为奇函数对A项，由于定义域不是，则A错误；对B项，当时，；则函数在不是单调递增，则B错误；对C项，，则函数在上单调递增又，则函数为奇函数，则C正确；对D项，，则函数不是奇函数，则D错误；故选：C【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.9.已知函数，，，，则，，的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到，，，即可得解；【详解】解：因为，定义域为，故函数是奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，由，，所以即故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时， )A. 1.24 B. 1.25 C. 1.26 D. 1.27【答案】C【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得：可得，解得，根据参考公式可得，故与最接近的是.故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.11.已知数列的通项公式是，其中 的部分图像如图所示，为数列的前项和，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据图像得到，，，计算每个周期和为0，故，计算得到答案.【详解】，故，故，，，故，故，当时满足条件，故，，，，，，，，，，每个周期和为0，故.故选：.【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.12.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是(    )A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数零点定义可知有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在和的解析式，可求得与两段函数相切时的斜率，即可求得的取值范围.【详解】函数，函数有4个零点，即有四个不同交点.画出函数图像如下图所示：由图可知，当时，设对应二次函数顶点为，则，，当时，设对应二次函数的顶点为，则，.所以.当直线与时的函数图像相切时与函数图像有三个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；当直线与时的函数图像相切时与函数图像有五个交点，此时，化简可得.，解得 （舍）；故当有四个不同交点时.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____.【答案】700【解析】【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4.由题意可得，∴.设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得N＝700故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数满足，则的最大值为_______.【答案】22【解析】【分析】，作出可行域，利用直线的截距与b的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由可得，观察可知，当直线过点时，取得最大值，由，解得，即，所以.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.15.等差数列的前n项和为，，则_____.【答案】【解析】【分析】计算得到，再利用裂项相消法计算得到答案.【详解】，，故，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.16.在三棱锥中，，点到底面的距离是；则三棱锥的外接球的表面积是_________.【答案】【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理以及勾股定理得出，平面，将三棱锥放入长方体中，得出长方体的外接球的半径，即为三棱锥的外接球的半径，再由球的表面积公式得出答案.【详解】取中点为，连接，过点作的垂线，垂足为平面，平面平面，，平面，平面，即在中，，与重合，即，平面将三棱锥放入如下图所示的长方体中则该三棱锥的外接球的半径所以三棱锥的外接球的表面积故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的问题，涉及了线面垂直的证明，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分）17.某年级教师年龄数据如下表：年龄(岁)人数(人)221282293305314323402合计20 (1)求这20名教师年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；(3)现在要在年龄为29岁和31岁教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．【答案】（1）30,18；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：(1)由所给的年龄数据可得这20名教师年龄的众数为30，极差为18.(2)结合所给的数据绘制茎叶图即可；(3)由题意可知，其中任选2名教师共有21种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有12种，结合古典概型计算公式可得所求概率值为.试题解析：(1)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18.(2)(3)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝＝.18.在锐角△ABC中，，________，（1）求角A；（2）求△ABC的周长l的范围．注：在①，且，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，（2）【解析】【分析】（1）若选①，，得到，解得答案.（2）根据正弦定理得到，故，根据角度范围得到答案.【详解】（1）若选①，∵，且，，.（2），故， ，锐角△ABC，故.,.（1）若选②，，则，，，，（2）问同上；（1）若选③＝＋－＝×＋×－， ，（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.如图所示多面体中，四边形是正方形，平面平面，，，.（1）求证：；（2）求点D到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明；（2）利用等体积法求解即可.【详解】（1）四边形是正方形， 又平面平面，平面平面，平面平面又平面在中，由余弦定理得，，∴，∴.又，平面∴平面.又平面∴.（2）连结，由（1）可知，平面四边形是正方形，∴又面，面∴面A到的距离等于B到的距离.即B到面的距离为.在直角梯形中，∴∴，在直角梯形中，可得在等腰中，，∴，设点D到平面的距离为d，，即，点D到平面的距离为.【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.20.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）题设条件为易得椭圆方程；（2）设，直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由韦达定理可得，注意到直线恒过定点，此为椭圆的左顶点，因此有，，这样可得出点坐标，点始终在以为直径的圆内，则，由此可得的范围．【详解】（1）由题意知，， 椭圆的标准方程为：.   （2）设联立，消去，得：     依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以① ，由（*）式，②，得 ③ ，由①②③，，由点B在以PQ为直径圆内，得为钝角或平角，即..即整理得，解得.【点睛】本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．由于直线过定点是椭圆左顶点，即其中一个交点已知了，因此可求出另一交点坐标，利用求得结论．本题属于中档题．考查学生的运算求解能力．21.已知函数.（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再求导，通过导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出极值和最值.详解：（1），设切点的横坐标为，由题意得，解得，，所以实数的值为1.（2）由题意，在定义域内恒成立，得在定义域内恒成立，令，则，再令，则，即在上单调递减，又，所以当时，，从而，在上单调递增；当时，，从而，在上单调递减；所以在处取得最大值，所以实数的取值范围是.点睛：1.在处理曲线的切线时，要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”，前者的点一定为切点，但后者的点不一定在曲线上，且也不一定为切点；2.在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用“恒成立”进行处理.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M，求的值.【答案】（1）..（2）【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线的参数方程为，代入方程得到，，代入计算得到答案.【详解】（1）直线，故，即直线的直角坐标方程为. 因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，即. （2）设直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标系方程得.设，对应的参数分别为，，则，，所以M对应的参数，故.【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，使得恒成立，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）先由题意得，再分别讨论，，三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到，再由题意，可得，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式 可化为，当时， ，，所以无解；当时， 所以；当时，， ，所以，综上，不等式的解集是.（2）因为 又，使得 恒成立，则，，解得.所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.