宁夏回族自治区银川一中2020届高三模拟考试数学（理）试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数满足，则对应的点位于复平面的（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案；

【详解】，

对应的点，

对应的点位于复平面的第四象限.

故选：D.

【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

2.设集合，，则集合

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果.

【详解】对于集合A，，解得或，故.对于集合B，，解得.故.故选B.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.

3.已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（    ）

A. p∧q B. p∨（非q） C. （非p）∧q D. p∧（非q）

【答案】C

【解析】

【分析】

首先判断出为假命题、为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项.

【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题若直线，直线平面，则直线平面或直线在平面内，命题为假命题；

根据线面垂直的定义，我们易得命题若直线平面，则若直线与平面内的任意直线都垂直，命题为真命题.

故:A命题“”为假命题；B命题“”为假命题；C命题“”为真命题；D命题“”为假命题.

故选：C.

【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.

4.已知向量，是单位向量，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

设，根据题意求出值，代入向量夹角公式，即可得答案；

【详解】设，，

是单位向量，,

，，

联立方程解得：或

当时，；

当时，；

综上所述：.

故选：C.

【点睛】本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况.

5.若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用倍角公式、两角差的正弦进行化简，即可得到答案.

【详解】，

.

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数恒等变换求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

6.函数图象可能是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.

【详解】解：当时，，则，

　　若，，，

　　若，，，

　　　　则恒成立，

即当时，恒成立，

则在上单调递减，
故选：A.

【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.

7.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.

【详解】由三视图的性质和定义知，三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形，其面积都是，正视图与侧视图的面积之和为，

故选：A.

【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.

8.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 (  )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

【详解】抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A．

【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．

9.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.

【详解】解：由题意知：，，设，则

在中，列勾股方程得：，解得

所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为

故选C.

【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.

10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

循环依次为

直至结束循环，输出

，选D.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

11.如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

联立直线方程与椭圆方程，解得和的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得，由离心率定义可得结果.

【详解】由，得，所以，.

由题意知，所以，.

因为,所以,所以.

所以，所以，

故选：A.

【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.

12.已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果.

【详解】当时，，

令，则；，则，

∴函数在单调递增，在单调递减.

∴函数在处取得极大值为，

∴时，的取值范围为，

∴

又当时，令，则，即，

∴

综上所述，的取值范围为.

故选C.

【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)

【答案】

【解析】

【分析】

首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.

【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，

然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，

故选派的方法为：.

故答案为．

【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

14.若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值_____

【答案】5.

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，令z＝3x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,

当直线经过点时,取最大值5.

故答案为5

【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

15.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】

分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

16.棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积，求出内切圆的半径．

【详解】由题意可知：

多面体的外接球即正四面体的外接球

作面交于，连接，如图

则，且为外接球的直径，可得

，

设三角形 的外接圆的半径为，则，解得，

设外接球的半径为，则可得，

即，解得，

设正三棱锥的高为，

因为，所以，

所以，

而，

所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，

所以，

设内切球的半径为，，

即解得：．

故答案为：.

【点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.已知数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，，且数列前项和为，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由，可求，然后由时，可得，根据等比数列的通项可求

（2）由，而，利用裂项相消法可求.

【详解】（1）当时，，解得，

当时，①

②

②①得，即，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

；

（2）

∴，

∴，

，

.

【点睛】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．

18.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300的为“长纤维”，其余为“短纤维”）

（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.

附：（1）；

（2）临界值表；

（2）现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.

【答案】（1）在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出的数学期望．试题解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表：

根据列联表中的数据，可得

所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．                          

（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为，

的可能取值为：0,1,2,3，    

，，

，．

∴  的分布列为：

∴   ．

19.在底面为菱形的四棱柱中，平面.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）由已知可证，即可证明结论；

（2）根据已知可证平面，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.

【详解】方法一：（1）依题意，且∴，

∴四边形是平行四边形，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，∴，

∵且为的中点，∴，

∵平面且，

∴平面，

以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴

设平面法向量为，

则，∴，取，则.

设平面的法向量为，

则，∴，取，则.

∴，

设二面角的平面角为，则，

∴二面角的正弦值为.

方法二：（1）证明：连接交于点，

因为四边形为平行四边形，所以为中点，

又因为四边形为菱形，所以为中点，

∴在中，且，

∵平面，平面，

∴平面

（2）略，同方法一.

【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.

20.如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，且，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）不存在；详见解析

【解析】

【分析】

（1）设，，，通过，即为的中点，转化求解，点的轨迹的方程．

（2）设直线的方程为，先根据，可得，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得，②，将①代入②可得，该方程无解，问题得以解决

【详解】（1）设，，则，，

由题意知，所以为中点，

由中点坐标公式得，即，

又点在圆：上，故满足，得.

曲线的方程.

（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，

因为，故，即①，

联立，消去得：，

设，，

，，

，

因为四边形为平行四边形，故，

点在椭圆上，故，整理得②，

将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.

【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．

21.已知函数，其中e为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）用表示中较大者，记函数.若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解；

（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解

【详解】（1）,

①当时,,

∴函数在内单调递增；

②当时,令,解得或,

当或时,,则单调递增,

当时,,则单调递减,

∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为

（2）（Ⅰ）当时,所以在上无零点；

（Ⅱ）当时,,

①若,即,则是的一个零点；

②若,即,则不是的零点

（Ⅲ）当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以

①当时,在上单调递增。又，所以

（ⅰ）当时,在上无零点；

（ⅱ）当时,,又,所以此时在上恰有一个零点；

②当时,令,得,由,得；由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,

因为,,所以此时在上恰有一个零点,

综上,

【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为

（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线、的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；

（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积．

【详解】（1）曲线的极坐标方程为： ，

因为曲线的普通方程为： ，        

曲线的极坐标方程为；

（2） 由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为，

，

点到射线的距离为

的面积为 .

【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.

23.设不等式的解集为M，.

（1）证明：；

（2）比较与的大小，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

试题分析：

(1)首先求得集合M，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；

(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|＞2|a-b|.

试题解析：

（Ⅰ）证明：记f (x) =|x-1|-|x+2|，

则f(x)= ，所以解得-＜x＜，故M=(-,).

所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.

|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.

所以，|1-4ab|＞2|a-b|.