2020届高考考前45天大冲刺卷理科数学一

2020年高考考前45天大冲刺卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，，，则等于（    ）A． B． C． D．2．下面是一个列联表： 合计217322527合计46100则表中、的值依次为（    ）A．54，52 B．52，54 C．54，56 D．56，543．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位4．在等差数列中，，，是其前项的和，则（    ）A． B． C． D．5．若某多面体的三视图（单位：）如右图所示，则此多面体的体积是（    ）A． B． C． D．6．已知，，，若，则（    ）A． B． C． D．7．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有（    ）种．A．576 B．72 C．48 D．248．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（    ）A． B． C． D．9．展开式中的一次项系数为（    ）A． B． C． D．10．抛物线的焦点为，为坐标原点，若抛物线上一点满足，则的面积为（    ）A． B． C． D．11．已知关于的函数，若点是区域，内任意一点，则函数在上有零点的概率为（    ）A． B． C． D．12．已知过点的二次函数的图象如下图，给出下列论断：①，②，③，④．其中正确论断是（    ）A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数________．14．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，为另一个焦点，若双曲线的离心率为，则的度数为       ．15．设、、为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影（也称射影）相同，则与满足的关系式为____________．16．已知三棱锥的三个顶点、、都在一个半球的底面圆的圆周上，为圆的直径，在半球面上，平面底面圆，且，则该半球的表面积为_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，．（1）求角的大小；（2）若，，求．                18．（12分）国家公务员考试，某单位已录用公务员5人，拟安排到、、三个科室工作，但甲必须安排在科室，其余4人可以随机安排．（1）求每个科室安排至少1人至多2人的概率；（2）设安排在科室的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．            19．（12分）如图，在三棱锥中，，，两两垂直且相等，过的中点作平面，且分别交，于，，交，的延长线于，．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．                           20．（12分）椭圆中，己知，是椭圆上任一点，是坐标原点，，过作直线交椭圆于，两点，且，当在短轴端点时，．（1）求，的值，并证明直线的方程为；（2）探索的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值．                        21．（12分）已知函数（）．（1）求函数的单调区间；（2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由．                  请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知点，参数，点在曲线上．（1）求点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程；（2）求点与点之间距离的最小值．          23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数，．（1）解不等式；（2）对于实数，，若，，求证：．       
答案与解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】，，则．2．【答案】B【解析】，则，，则．3．【答案】C【解析】把中的换成，则可得，即向右平移个长度单位．4．【答案】B【解析】，则，，则，则．5．【答案】B【解析】知该几何体是一个三棱柱截去了一个四棱锥，则此多面体的体积是．6．【答案】A【解析】由，得，则，则，同理可得．7．【答案】D【解析】有四种情况：3辆车放在123位置、567位置、127位置、167位置，则不同的停放方法有种．8．【答案】B【解析】第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；第四次循环，，；注意到周期性，那么第2012次循环，，．9．【答案】A【解析】一次项的系数为．10．【答案】C【解析】可设，则，，由，得，则，得，则，那么，那么的面积为．11．【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域是如图的阴影部分，阴影部分的面积为2．在上有零点，则，即，在阴影部分内，且满足的部分的面积为，那么函数在上有零点的概率为．12．【答案】A【解析】从图象可得，，知①错误，②正确；，则，那么，则，③错误；，知，那么，而，则，一定有，④正确． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】．14．【答案】【解析】，设，则，，，则，那么．15．【答案】【解析】可得，即．16．【答案】【解析】取的中点，连结，，，则⊥，⊥，那么平面，则．过作于点，那么平面，则，可得平面，那么由，可得，则，则半球的表面积为．  三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，则，而，所以．（2）由，可得，则，，得，，．18．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）设“每个科室安排至少1人至多2人”为事件，由题意，其余4人随机安排到、、三个科室的排法，即基本事件总数为．若科室安排1人（即甲），有种排法；若科室安排2人，有种排法，所以，故每个科室安排至少1人至多2人的概率为．（2）的所有可能取值为1，2，3，4，5．因其余4人可以随机安排，所以任何1人被安排到科室的概率都是，则不被安排到科室的概率都是．所以，，，，．则的分布列为12345则的数学期望．19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：由，，可知平面，又因为平面，平面过且与平面交于，所以，故平面．（2）以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，并设，则，，，设平面的法向量，由，，可求得，，，，设平面的法向量，由，，可得，，则二面角的余弦值为．20．【答案】（1），，证明见解析；（2）的面积为定值，定值为．【解析】（1）在短轴端点时，，由，可得，所以，则，，则椭圆方程为．由，则，，由点差法得，所以．直线方程为，即，因为，则，即．（2），得，设、，得，，则，，到的距离，所以，所以的面积为定值．21．【答案】（1）函数在和上单调递增，在上单调递减；（2）不存在，详见解析．【解析】（1）知函数定义域是，．①当时，即时，令，解得或；令，解得．所以函数在和上单调递增，在上单调递减．②当时，即时，显然函数在上单调递增．③当时，即时，令，解得或；令，解得．所以函数在和上单调递增，在上单调递减．（2）假设函数存在“中值相依切线”．设、是曲线上的不同两点，且，则．曲线在点处的切线斜率，可得，则，即．设（），则，即．令，则．因为，显然，所以在上递增，显然有恒成立．所以在内不存在，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值相依切线”．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，因为，则，得点的轨迹方程，又由，得，∴，∴曲线的直角坐标方程为．（2）半圆的圆心为，它到直线的距离为，所以．23．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）令，则，作出函数的图象，它与直线的交点为和，所以的解集为．（2）因为，所以．