2020届高考考前45天大冲刺卷理科数学五

2020年高考考前45天大冲刺卷

理 科 数 学（五）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则（    ）

A．  B．

C．或  D．

2．复数为纯虚数，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知圆，直线，则“与相交”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

6．已知圆的半径为，在圆内随机取一点，则过点的所有弦的长度都大于的概率为（   ）

A． B． C． D．

7．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，

则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．设实数，则展开式中的常数项为（    ）

A． B． C． D．

9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，则（    ）

A． B．

C． D．

11．抛物线焦点为，点满足（为坐标原点），若过点作互相垂直的两弦，则当弦过点时，的所有可能取值的集合为（    ）

A． B． C． D．

12．设函数，若常数满足：对，唯一的，使得，，成等差数列，则（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，，若，则的值为       ．

14．设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为        ．

15．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，

，则的面积为       ．

16．已知倾斜角为的直线过曲线的焦点，且与相交于不同的两点，（在第一象限），则        ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，设是数列的前项和，求证：．

18．（12分）某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售月份的产品销售量做了一次调查，得到如下的频数分布表：

（1）若将月份的销售量不低于件的销售员定义为“销售达人”，否则定义为“非销售达人”，请根据频数分布表补全以下列联表：

并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关；

（2）在（1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取名，再从这名“销售达人”中抽取名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为，求的分布列和数学期望．

附表及其公式：

，．

19．（12分）如图，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且

，．

（1）求证：平面；

（2）设，问是否存在，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20．（12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为，且经过点，点为椭圆上的动点．

（1）求到点的最短与最长距离；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，则是否存在点，使得的内切圆恰好为？并说明理由．

21．（12分）已知函数的最小值为，．

（1）求的值；

（2）设，求证：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求的直角坐标方程和的普通方程；

（2）若与相交于，两点，求的面积．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记的最大值为，设，且，求证：．

答案与解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】计算得集合，，，故选B．

2．【答案】C

【解析】复数为纯虚数，故，所以，，

．

3．【答案】C

【解析】该正方体的正视图是一个矩形，但根据正方体视角不同，

则面积不同，面积的范围是．

4．【答案】A

【解析】化简函数得，

所以函数的最大值为．

5．【答案】A

【解析】圆与直线相交，，，解得，

因为是的子集，所以选A．

6．【答案】C

【解析】过点的所有弦的长度都大于的点落在以点为圆心，半径为的圆内，

则所求概率为．

7．【答案】C

【解析】设双曲线的一条渐近线方程为，

则圆心到该直线的距离，

由题意得，化简得，即，

所以，即．

8．【答案】D

【解析】由定积分的几何意义可知，，

所以展开式中的常数项为．

9．【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，

其中半圆柱的底面半径为，高为，

故其体积为．

10．【答案】B

【解析】因为函数，因此函数是定义域上的偶函数，

又因为函数在上单调递增，而，

所以．

11．【答案】A

【解析】由题意得，，

∵，，，

∴，，∴，

当弦过点时，设直线的方程为，，，

联立方程，可得，

∴，，

，

整理得，

∵，∴，，，

∴，即，

又，∴，解得，（不合题意，舍去），

∴的可能取值的集合为．

12．【答案】A

【解析】∵对，唯一的，

使得，，成等差数列，

∴，

∵，，是单调增函数，

∴，故选A．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】，，，故，．

14．【答案】

【解析】直线平移到点时目标函数取最大值，即，

所以，满足题意，

由，在时等号成立，得的最小值为．

15．【答案】

【解析】由正弦定理得，

因为，所以，

因为，所以，，，

由余弦定理，即，解得，

所以．

16．【答案】

【解析】由曲线，即，得，，

过作垂直轴于点，垂直准线于点，为准线与轴的交点，

则，

所以．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）当时，，

，

当时，满足上式，

所以．

（2）由（1）知，，

所以．

18．【答案】（1）列联表见解析，能在犯错的概率不超过的前提下认为；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）频数分布表补全以下列联表：

所以，，

所以能在犯错的概率不超过的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关．

（2）由（1）知，抽取的名“销售达人”中，有名男销售员，有名女销售，

所以的可能取值为，，．

，，，

所以的分布列为

所以数学期望．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，详见解析．

【解析】（1）因为，所以平面，

因为，所以平面，

所以平面平面，故平面．

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图．

因为，所以平面，

又因为，所以平面，

设，，则，，，，

则，，

设平面的法向量为，则由，∴，

取，

因为，则；

设平面的法向量为，

∵，，

则由，∴，∴，取，

因为二面角的余弦值为，所以，

即，由于，

所以不存在正实数，使得二面角的余弦值为．

20．【答案】（1）到点的最短与最长距离分别为，；（2）不存在，详见解析．

【解析】（1）依题意得，所以，

所以椭圆的方程为，

设到点的距离为，则，

因为二次函数的对称轴为直线，

所以，该函数在上单调递减，所以当时取得最小值，时取得最大值．

所以到点的最短与最长距离分别为，．

（2）假设存在点，使得的内切圆恰好为，

设，，

因为直线与圆相切，∴，∴，

∴当时，，

联立得，∴，∴，，

∴，，

因为为的角平分线，所以，

其中，∴，即，

所以直线的方程为，

因为圆心到直线的距离为，

所以此时不是圆的切线；

同理，当时，也不是圆的切线，

综上所述：不存在．

21．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），，

令，解得；令，解得，

所以，在单调递减，在上单调递增，

所以，解得．

（2）令数列的前项和，则，

由（1）得，变形可得，

令，则，

因此，

所以．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）的极坐标方程可化为，

因为，故的直角坐标方程为，

消参可得的普通方程为．

（2）的焦点坐标为，为过的直线，