云南省曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题
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数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）
1.设（为虚数单位），则( )
A. B. C. D. 2
2.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面αβ＝l，m是α内不同于l的直线，下列命题错误的是( )
A.若m∥β，则m∥l B.若m∥l，则m∥β
C.若m⊥l，则m⊥β D.若m⊥β，则m⊥l
4.已知数列的前项和为，且，若平面内的三个不共线的非零向量满足，，，三点共线且该直线不过点，则等于( )
A.1005 B.1006 C.2010 D.2012
5.如图所示的程序框图,令y=,若>1,则a的取值范围是( )
A.(-∞,2)∪(2,5] B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,5]
6.已知，“函数有零点”是“函数在
上为减函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知某班学生的数学成绩（单位：分）与物理成绩（单位：分）具有线性相关关系，在
一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算：，设其线性回归方程为：＝0.4x＋ .若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为( )
A.66 B.68 C.70 D.72
8.等比数列的前项和为，若则＝( )
A.-22 B.-14 C.10 D.18
9.函数，的图像大致是( )
10.已知直线与圆交于两点.是坐标原点，满足条件
，则实数的值为( )
A. B. C. D.
11.已知是双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为.若双曲线的右支上存在点，满足，且，则双曲线的离心率=( )
A. B. C. D.
12.定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）
13.已知展开式所有项的系数之和为，则展开式中的系数为_________.
14.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_________.
15.某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选出3人代表本班参加“学生对教师满意程度调查”的座谈会，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是___________.
16.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为___________.
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每
道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
(一)必考题：共60分.
17.（本题满分12分）已知向量．
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，角的对边分别为.若，
求的周长.
18.（本题满分12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕，某市质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示.
(1)求所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数.
(2)由直方图可以认为，水饺的该项质量指标值Z服从正
态分布，其中近似为样本平均数，经计算得
，求Z落在内的概率.
(3)将频率视为概率，若某人买了3包该品牌水饺，记这3包水饺中质量指标值位于
内的包数为，求的分布列和数学期望.
附：若～，则：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.
19.（本题满分12分）如图，直三棱柱中，，，是上一点，且平面.
(1)求证：⊥平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面与平面的
夹角等于？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
20.（本题满分12分）已知是圆上任意一点，，线段的垂直平分线与半径交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与(1)中曲线相交于两点，为坐标原点，求面积
的最大值及此时直线的方程.
21.(本题满分12分)已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)令的两个零点为证明：
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本题满分10分）
在直角坐标系中，已知圆 (为参数)，点在直线 上，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求圆和直线的极坐标方程；
(2)射线交圆于点，点在射线上，且满足，求点轨
迹的极坐标方程．
23.【选修4—5：不等式选讲】（本题满分10分）
已知函数．
(1)若不等式有解，求实数的最大值；
(2)在(1)的条件下，若正实数满足，证明：．
曲靖市第二中学2020届高三第一次模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | C | C | A | D | B | B | A | D | C | D | A |
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. -80 14. (-4,2)
15. 16.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17.（本题满分12分）
解：(1)
. .……2分
由
得:
的单调递增区间是． ..……6分
，.
又，. ..……8分
，由正弦定理得：,又.
在中，由余弦定理得：
,的周长为 ..……12分
18.（本题满分12分）
解：(1)所抽取的100包水饺该项质量指标值的样本平均数为：
. ..……3分
(2) 服从正态分布，且，，
Z落在内的概率为0.6826. ..……6分
(3)根据题意得：，
；；
； ...……10分
| 0 | 1 | 2 | 3 |
的分布列为：
=. ...……12分
19.（本题满分12分）
解：(1)
是直三棱柱，平面，
且平面，所以.
，平面，平面，
平面. ..……4分
(2)平面，且平面，
，以O为坐标原点,
所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系. ..……5分
是等腰直角三角形，且斜边，，则：
A(,0,0),B(0,0,0),C(0,,0),设满足条件的点E(0,0,). ..……6分
由（1）知平面的法向量为=(0,,0). ...……7分
设=(a,b,c)为平面AEC的一个法向量,则
由，
令,则得，∴=, ...……9分
平面与平面的夹角等于，
，解得： ....……11分
当点为棱的中点时，平面与平面的夹角等于. ....……12分
20.（本题满分12分）
解：(1)由线段的垂直平分线与半径交于点，得：， ..……2分
点的轨迹为以焦点，长轴长为的椭圆，
故 ， ， .
曲线的方程为 ..……5分
(2) 设直线的方程为与椭圆交于点，，
联立直线与椭圆的方程消去可得：
，即，. ..……7分
面积为:
令，则，上式可化为， ..……10分
当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，
此时直线的方程为. ..……12分
21.（本题满分12分）
解：(1)由题可知，在（0，+）上单调递增，且，
当时，，当时，；
因此在上单调递减，在上单调递增. ..……4分
(2)有两个零点，定义域为
且，在上单调递增，且，
当时，，当时，；
即的最小值为， ..……7分
当时，，
可知在上存在一个零点. ..……9分
又当时，，可知在上也存在一个零点.
又 ..……11分
因此，即 ..……12分
22.（本题满分10分）
解：（1）圆的极坐标方程， ………3分
直线的极坐标方程＝. ………5分
(2)设的极坐标分别为，
………6分
又，即 ………9分
， ………10分
23.（本题满分10分）
解:(1)若不等式有解，只需的最大值．
，，解得，
实数的最大值． ·········5分
(2)根据(1)知正实数，满足，
由柯西不等式可知，.
，均为正实数，(当且仅当时取“=”)． ………10分
