2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷 2 （解析版）

2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷 2 （解析版）

(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)

一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．已知集合M＝{1,2,4,8}，N＝{2,4,6,8}，则M∩N＝(　　)

A．{2,4}   B．{2,4,8}

C．{1,6}   D．{1,2,4,6,8}

B　[由M＝{1,2,4,8}，N＝{2,4,6,8}，得M∩N＝{1,2,4,8}∩{2,4,6,8}＝{2,4,8}．故选B.]

2．已知cos α＝，那么cos(－2α)等于(　　)

A．－   B．－

C.   D.

B　[∵cos α＝，∴cos(－2α)＝cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.]

3．lg 0.001＋ln ＝(　　)

A.  B．－  C．－  D.

B　[原式＝lg 10－3＋ln e＝－3＋＝－.]

4．若a为实数且＝3＋i，则a＝(　　)

A．－4  B．－3  C．3  D．4

D　[因为＝3＋i，所以2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，故a＝4，选D.]

5．设x∈R，则“x>3”是“x2－2x－3>0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[x2－2x－3>0⇔x>3或x<－1.由于{x|x>3}是{x|x>3或x<－1}的真子集，∴“x>3”是“x2－2x－3>0”的充分不必要条件．]

6．已知点(m,1)(m>0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则m＝(　　)

A.  B．2－  C.－1  D.＋1

C　[由题意知＝1，∴|m＋1|＝，解得m＝－1或m＝－－1.又m>0，∴m＝－1.故选C.]

7．如果正△ABC的边长为1，那么·等于(　　)

A．－   B.

C．1   D．2

B　[∵正△ABC的边长为1，∴·＝||·||cos A＝1×1×cos 60°＝.]

8．对于不同直线a，b，l以及平面α，下列说法中正确的是(　　)

A．如果a∥b，a∥α，则b∥α

B．如果a⊥l，b⊥l，则a∥b

C．如果a∥α，b⊥a则b⊥α

D．如果a⊥α，b⊥α，则a∥b

D　[对于A选项，b可能属于α，故A选项错误．对于B选项，a，b两条直线可能相交或异面，故B选项错误．对于C选项，b可能平行于α或属于α，故C选项错误．对于D选项，根据线面垂直的性质定理可知，D选项正确，故选D.]

9．如图，给出了奇函数f(x)的局部图象，那么f(1)等于(　　)

A．－4   B．－2

C．2   D．4

B　[根据题意，由函数的图象可得f(－1)＝2，又由函数为奇函数，则f(1)＝－f(－1)＝－2.]

10．已知函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

B　[∵连续函数f(x)＝log2x＋x－2在(0，＋∞)上单调递增，

∵f(1)＝－1<0，f(2)＝2－2＋log22＝1>0，

∴f(x)＝x－2＋log2x的零点所在的区间为(1,2)，故选B.]

11．记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝(　　)

A．－2   B．2

C．－8   D．－2或－8

C　[依题意解得q＝－2(q≠1)，故a3＝a1q2＝－2×(－2)2＝－8.]

12．直线y＝ax＋1与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是(　　)

A．相切   B．相交

C．相离   D．随a的变化而变化

B　[∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．]

13．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是(　　)

A．y＝±x   B．y＝±x

C．y＝±x   D．y＝±2x

A　[由题意知－＝1，故渐近线方程为y＝±x.]

14．某几何体示意图的三视图如图示，已知其正视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为(　　)

A．π   B．2π

C．4π   D．16π

C　[由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为l，则2r＋2l＝8⇒r＋l＝4，又S侧＝πrl≤π2＝4π(当且仅当r＝l时“＝”成立)．]

15．设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为(　　)

A．80  B．4  C．25  D.

A　[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程组得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)

16．圆C的方程是x2＋y2＋2x＋4y＝0，则圆的半径是________．

　[依题意(x＋1)2＋(y＋2)2＝5，故圆的半径为.]

17．函数y＝sinωx－(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________.

2　[由T＝＝π，得ω＝2.]

18．一组数据为84,84,84,86,87，则这组数据的方差为________．

1．6　[依题意，该组数据的平均数＝×(84＋84＋84＋86＋87)＝85，∴这组数据的方差是×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.]

19．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

30　[设y为一年的总运费与总存储费用之和，

则y＝·6＋4x

＝＋4x≥2＝240.

当且仅当＝4x，

即x＝30时，y取最小值．]

三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.

(1)求角C的度数；

(2)求AB的长．

[解]　(1)cos C＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－.

又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.

(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，

∴

∴AB2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，

∴AB＝.

21．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D为AC的中点．

(1)求证：B1C∥平面A1BD；

(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；

(3)在(2)的条件下，设AB＝1，求三棱锥B­A1C1D的体积．

[解]　(1)证明：连接AB1交A1B于E，连接ED.

∵ABC­A1B1C1是三棱柱，且AB＝BB1，

∴侧面ABB1A1是一正方形，∴E是AB1的中点．

又已知D为AC的中点，

∴在△AB1C中，ED是中位线，∴B1C∥ED.又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD，

∴B1C∥平面A1BD.

(2)证明：连结AC1，∵AC1⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴AC1⊥A1B.又∵侧面ABB1A1是一正方形，∴A1B⊥AB1.

又∵AC1∩AB1＝A，AC1，AB1⊂平面AB1C1，

∴A1B⊥平面AB1C1.

又∵B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵ABC­A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1.

又∵A1B∩BB1＝B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.

(3)连结DC1，∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面DC1A1，

∴BD就是三棱锥B­A1C1D的高．

由(2)知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1，

∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．

又∵AB＝BC＝1，∴BD＝，

∴AC＝A1C1＝，

∴三棱锥B­A1C1D的体积

V＝·BD·S△A1C1D＝···A1C1·AA1＝.