2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题  一、单选题1．若集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出集合，，由此能求出．【详解】解：故选：【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是（      ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据函数的单调性的定义以及函数的奇偶性的性质判断即可．【详解】解：对于，是奇函数，但是在定义域上不具有单调性，不合题意；对于，函数是奇函数，且故函数在定义域上单调递增，符合题意；对于，函数是偶函数，不合题意；对于，函数定义域为上的奇函数，故函数在定义域上单调递减，不合题意；故选：．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，属于基础题．3．“”是“”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】D【解析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可．【详解】解：由则，故充分性不成立由得不到，如时，故必要性不成立，故“”是“”的既不充分也不必要故选：【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题．4．已知正项等比数列的前n项和为，，，则（    ）A．10 B．12 C．16 D．32【答案】A【解析】设等比数列的公比为根据条件求出公比即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，解得或（舍去）所以故选：【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.5．设点M是线段的中点，点A在直线外，，，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．6【答案】C【解析】先求出，又因为，可得答案．【详解】解：由，得，，而故选：．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．6．直线l：（）与圆C：交于两点P､Q，则弦长的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线被圆截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．【详解】解：由直线得：，令解得故恒过定点．因为，则点在圆的内部，直线与圆相交．圆心，半径为，，当截得的弦长最小时，，最短的弦长是．因为直线l：的斜率存在，故不能取到最小值，再由经过圆心时弦长最长为，则．故选：．【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．7．已知奇函数的图像如图所示，则函数的大致图像是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】采用特殊值法判断函数图象.【详解】解：由的图象可知，，令，得；令，得故只有满足条件，故选：【点睛】本题考查函数图象的识别，利用特殊值法比较简单易行，属于基础题.8．，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由指数函数、对数函数的性质判断可得.【详解】解：，，即，即故故选：【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性的应用，属于基础题．9．，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】利用两角和差的正弦公式展开，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.10．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（    ）A．4 B． C．2 D．【答案】D【解析】把代入，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值．【详解】解：把代入故选：【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，属于基础题．11．，若存在､､､满足，且，则的值是（    ）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解析】根据函数解析式画出函数图象，数形结合即可得解.【详解】解：可画出函数的图象如下所示： 依题意存在､､､满足，且则，又函数关于对称所以， 故选：【点睛】本题考查函数方程综合应用，数形结合思想，属于中档题.12．正方体（棱长为1）中，点P在线段上（点P异于A､D两点），线段的中点为点Q，若平面截该正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设平面与直线交于点，可知，则从而得到，要使平面截该正方体所得的截面为四边形，则需点在线段之间，从而得到的取值范围，即可求出，即可得解.【详解】解：如图，设平面与直线交于点，是正方体，则面面面面，面面 则要使平面截该正方体所得的截面为四边形，则需点在线段之间当在点时，恰在的中点，因为点在线段上（点异于､两点）则，即所以故选：【点睛】题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，涉及正方体的截面问题，属中档题．  二、填空题13．函数在点处的切线方程为，则______，______.【答案】2    1    【解析】首先求出函数的导数，根据在点处的切线方程为，则，，代入计算可得.【详解】解：，因为函数在点处的切线方程为，，即，，所以，.故答案为：；.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14．设x，y满足约束条件，则的最小值是______.【答案】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得．．化为．由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最大，最小．此时．故答案为：．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．15．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E，F分别为，的中点，，则球O的体积为______.【答案】【解析】可证，则为的外心，又则平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.【详解】解：，，，因为为的中点，所以为的外心，  因为，所以点在内的投影为的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，.故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．16．，下列说法错误的是______.①的值域是；②当且仅当（）时，；③当且仅当（）时，取得最小值；④是以为最小正周期的周期函数.【答案】①③④【解析】将函数解析式化简并用分段函数表示出来，画出函数图象，数形结合即可判断.【详解】解：则画出函数图象如下：观察函数图象可得：函数的值域为，故①错误；当且仅当（）时，，故②正确；当或（）时，取得最小值，故③错误；函数是以为最小正周期的周期函数，故④错误；故错误的有：①③④故答案为：①③④【点睛】本题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的应用，属于中档题. 三、解答题17．已知的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若.（1）求C的值；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式将式子变形为即可求出即可得解；（2）由正弦定理求出，即可求出，再由面积公式计算可得.【详解】解：（1）由得，所以或（舍去），所以.（2）由正弦定理得，，即，又，所以，所以所以，所以【点睛】本题考查正弦定理解三角形，两角和的正弦公式的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.18．已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）为数列的前n项和，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）利用累加法求出数列的通项公式； （2）裂项相消法求出即可得证.【详解】解：（1）取得，……相加得所以（2）由（1）得，所以因随着n的增大而增大，所以 又所以【点睛】本题累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.19．三棱柱中，棱､､的中点分别是P､Q､O.（1）求证：平面；（2）若三棱柱的体积为，求三棱柱的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过证明四边形为平行四边形，得到，即可得证；（2）根据及三棱柱的体积为计算可得.【详解】解：（1）证明：设M为的中点，连接，则且又，，，且为平行四边形，又平面，平面平面（2）又平面【点睛】本题考查线面平行的证明，锥体的体积计算，属于基础题.20．已知两定点，，点P满足.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若，直线l与轨迹C交于A，B两点，，的斜率之和为2，问直线l是否恒过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）直线l过定点，定点为【解析】（1）设P的坐标为，由题意得，得到方程化简即可；（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线l的斜率存在时，设，，直线l的方程为，联立直线与曲线方程，消元列出韦达定理根据得到、的关系，即可求出直线过的定点.【详解】解：（1）设P的坐标为，由题意得，化简得：（2）当直线l的斜率不存在时，设，则有，得，此时直线l与圆相切，不合题意. 当直线l的斜率存在时，设，，直线l的方程为，与轨迹C联立得，，，所以所以所以直线l的方程为所以直线l过定点.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与圆的综合应用，直线过定点问题，属于中档题.21．现计划用两张铁丝网在一片空地上围成一个梯形养鸡场，，，已知､两段是由长为的铁丝网折成，､两段是由长为的铁丝网折成.设上底的长为，所围成的梯形面积为.（1）求S关于x的函数解析式，并求x的取值范围；（2）当x为何值时，养鸡场的面积最大?最大面积为多少?【答案】（1），，（2）当x为时，养鸡场的面积最大，最大为.【解析】（1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含的代数式表示出上、下底和高，从而表示出面积；（2）利用导数最值求出最大值【详解】解：（1）由题意，，，过A点作，垂足为E，则， 梯形的高由，解得.综上，，（2）设，，令，得（，舍去）时，，单调递增，时，，单调递减.∴当时，的最大值是1080000，此时.∴当为时，养鸡场的面积最大，最大为.【点睛】本题主要考察用函数模型解决实际问题，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．22．已知函数（）.（1）若，讨论的单调性；（2）若在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定的范围即可．【详解】解：（1）由题意可得的定义域为，当时，易知∴由得，由得，∴在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可得，当时，，记，则，∵在内有两个极值点，∴在内有两个零点，∴.令，则，当，即时，，所以在上单调递减，的图像至多与x轴有一个交点，不满足题意.当，即时，在上，单调递增，的图像至多与x轴有一个交点，不满足题意.当，即时，在上单调递增，在上单调递减由知，要使在内有两个零点，必须满足，解得.综上，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．