2020届上海市普陀区高三上学期质量调研（一模）数学试题

普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研2019.12考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为         . 2.         .3. 不等式的解集为       .4. 已知为虚数单位，若复数是实数，则实数的值为        .5. 设函数（且），若其反函数的零点为，则_______.6. 展开式中含项的系数为__________（结果用数值表示）.7. 各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则   _   .8.设椭圆：，直线过的左顶点交轴于点，交于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于_________.9. 记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________.10. 已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是___________.11. 设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为___________.12.  若、两点分别在函数与的图像上，且关于直线对称，则称、是与的一对“伴点”（、与、视为相同的一对）.已知，，若与存在两对“伴点”，则实数的取值范围为            . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. “”是“”成立的   ………………………（   ）充分非必要条件                     必要非充分条件  充要条件                           既非充分也非必要条件14. 设集合，，若⊆，则对应的实数对有 …（   ） 对             对            对            对15. 已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题中正确的是 ……（   ）若，，则         若，在平面内，且，，则若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交16. 若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为   ……（   ）                                    三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当三棱锥的体积为时，求的值.      18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.     19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.    20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.       21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列与满足，，是数列的前项和（）.（1）设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值；（2）设，若且对恒成立，求的取值范围；（3）设，，（，），若存在整数，，且，使得成立，求的所有可能值.
普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）一、填空题123456789101112 二、选择题13141516 三、解答题17.（1）当时，，取棱的中点，连接、，则，即是异面直线与所成角或其补角，……………… 2分又，，两两互相垂直，则,即是正三角形，则.         ………………………… 5分则异面直线与所成角的大小为.…………………… 6分  （2）因为，，两两互相垂直，所以平面,…………… 3分 则，即,   …………………………… 7分又（），，则.………………… 8分说明：利用空间向量求解请相应评分. 18.（1）当时，由得，…………………2分令，则，即，…………………4分即，则所求的不等式的解为.……………………6分（2）任取，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，  ………………2分则恒成立，即，，…………………4分又，则，即对恒成立，…………………………6分又，即，则所求的实数的取值范围为.………………………………8分19.（1）由平行四边形得，在中，,,则，即，即，，……………………………4分则停车场面积，即，其中.………………………6分（2）由（1）得，即，   ……………………4分则.    ……………………6分因为，所以，则时，平方米.故当时，停车场最大面积为平方米.    ……………………………8分说明：（1）中过点作的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 20．（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，  …………………3分解得，，则所求双曲线的方程为.……………………………4分（2）设，，由，得，  则，，且，………………………………………………………………2分又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，即，即，则，  ……………………………4分即，则或，即实数的取值范围.  …………………6分（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，又点是线段的中点，则点，    ……………2分直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，则直线的方程为，即，又直线的方程为，联立方程，消去化简整理，得，又，代入消去，得，即，则，即点的横坐标为，        ……………5分则. 故线段在轴上的射影长为定值. ……6分说明：看作是在或方向上投影的绝对值，请相应评分.21.（1）  由条件得，，即，………………1分则，，设等比数列的公比为，则，又，则.  …………………………3分当，时，，，则满足题意，故所求的的值为.       ………………………………………4分（2）当时，， ，，，以上个式子相加得，， ………2分                                又，则，即. 由知数列是递增数列，………4分又，要使得对恒成立，则只需，即，则.  …………………6分（3） 由条件得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，，则.       ………………………………2分则，当时，，即时，，则当时，与矛盾.      ………………………4分又，即时，.当时，，又，即当，时，，与矛盾.又，则或，当时，，解得；当时，，解得.综上得的所有可能值为和.     …………………………………8分