2020届云南省高三毕业生复习统一检测数学（理）试题（解析版）

2020届云南省高三毕业生复习统一检测数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，，若，则常数的值为（    ）A．0或2 B．0或 C．2 D．【答案】A【解析】根据题意，求得，讨论和时，满足，求出的值.【详解】解：由题可知：，，，即，当时，，无解，则，符合题意，当时，，，,，可知，解得，综上得：或，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集的概念和集合间的关系，属于基础题.2．已知为虚数单位，若．则复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法运算化简复数，即可得答案；【详解】，复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.3．为得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）A．向右平行移动个单位 B．向左平行移动个单位C．向右平行移动个单位 D．向左平行移动个单位【答案】C【解析】利用诱导公式化简函数，再利用左加右减的平移原则，即可得答案；【详解】，又，只需要将函数的图象向右平行移动个单位，可得函数的图象.故选：C.【点睛】本题考查诱导公式、图象平移变换，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.4．某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、历史、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比历史先上，则不同的排法有（    ）A．60种 B．30种 C．120种 D．24种【答案】A【解析】先对五门课进行全排列，其中不考虑数学、历史的顺序，即可得答案；【详解】先对五门课进行全排列，其中不考虑数学、历史的顺序，.故选：A.【点睛】本题考查排列的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意五个元素中不考虑两个元素的顺序时，要除以.5．执行如图所示的程序框图．若输入的，则输出的（    ）A．20 B．40 C．62 D．77【答案】B【解析】根据程序框图的流程计算，直到时，退出循环，得输出的的值.【详解】解：输入，，，否，循环：，否，，否，，是，退出循环，输出.故选：B.【点睛】本题考查循环结构的程序框图，属于基础题.6．—个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】观察三视图，可知几何体是由棱长为4的四棱柱截去四分之一的圆柱，利用柱体的体积公式，即可求得几何体的体积.【详解】解：由三视图可知，几何体是由棱长为4四棱柱截去四分之一的圆柱得来的，则：，，几何体的体积为：，即：.故选：C.【点睛】本题考查由三视图求原几何体的体积，涉及柱体的体积，考查计算能力.7．已知实数满足约束条件则的最大值等于（    ）A．10 B．12 C．16 D．22【答案】B【解析】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数通过的特殊点求出目标函数的最大值即可.【详解】解：满足条件，表示的可行域如图：当经过的交点时，取得最大值，最大值为：.故选：B.【点睛】本题考查简单的线性规划，正确画出约束条件表示的可行域，找出目标函数经过的特殊点是解题的关键，考查计算能力与数形结合.8．己知抛物线的焦点为，经过点作直线，与拋物线在第一象限交于两点．若点在以为直径的圆上，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题可知，点在以为直径的圆上，则，设直线：，代入抛物线中，写出韦达定理，结合，化简后即可求出直线的斜率.【详解】解：由题意与抛物线在第一象限交于两点，且点在以为直径的圆上，，即，抛物线的焦点为，设直线：，代入抛物线中，化简得：，，解得，，，，，，，解得：.故选：B.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的基本性质、韦达定理和向量垂直的坐标运算，考查化简和计算能力.9．己知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系，即可得答案；【详解】.故选：C.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意“1”的代换的运用.10．己知正的顶点都在球的球面上，正的边长为．若球心到所在平面的距离为，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出正外接圆的半径，再求出球的半径，由此能求出球的表面积.【详解】解：边长为正的顶点都在球的球面上，正外接圆的半径：，球心到所在平面的距离为，球的半径：，球的表面积：.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，还涉及球的截面性质和三角形外接圆的半径，考查计算能力.11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右顶点，点是双曲线的右支上一点，．若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】根据图象可知，，根据余弦定理运算得出，即可求出求出离心率.【详解】解：已知点是双曲线的右支上一点，，根据双曲线的定义，，求得，因为是以为顶角的等腰三角形，则：，由图可知，且，，则由余弦定理得：即：，所以，则：，所以，即，所以，即，解得：或（舍去）故选：D    .【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率，余弦定理的应用，考查计算能力.12．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则的最小值为（    ）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】设，利用四边形的面积可得，根据三点共线可求得的值，再对等式两边平方，利用基本不等式可求得最值.【详解】设，则，.，三点共线，，，，等号成立，当且仅当的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用、模的运算、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.  二、填空题13．在的二项展开式中，的系数等于___________（用数字作答）．【答案】28；【解析】利用二项式定理的展开式可得，利用求得的值，即可得答案；【详解】，当，的系数等于.故答案为：28.【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14．己知离散型随机变量的分布列如下：01234 若的数学期望等于，则__________．【答案】；【解析】根据分布列的概率和为1，及期望的计算公式，可得关于的方程，解方程即可得答案；【详解】由题意得：，，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望及性质，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.15．已知在单调递减，则的取值范围为__________．【答案】【解析】利用在恒成立，可得的取值范围.【详解】在单调递减，在恒成立，.故答案为：.【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2ab+b2＝1，c＝1，则a﹣b的取值范围为_____．【答案】【解析】根据，，由余弦定理知，再根据正弦定理得到，，于是，最后利用三角函数的性质就可求出相应的范围.【详解】因为，，所以..因为，所以.又因为，所以，，..因为，所以.，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定义的应用，同时考查了三角函数的值域问题，属于中档题. 三、解答题17．某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩（单位：分），得到如下图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．其中30名男生该学科成绩分成以下六组，，．（1）请完成下面的列联表（单位：人）： 成绩优良人数成绩非优良人数总计男生  30女生  20总计  50 （2）根据（1）中的列联表，能否有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？附：，其中．0.150.100.050.0250.010.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879  【答案】（1）见解析（2）有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【解析】（1）根据频率分布直方图，计算出男生成绩优良人数，再根据茎叶图数据，得出女生优良的人数，即可求出其他数据，即可写出列联表； （2）根据题给公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.【详解】解：（1）根据题意，可知不低于80分为成绩优良，由频率分布直方图可知，男生成绩优良人数为：（人），则男生中成绩不优良的人数为：（人），由茎叶图可知，女生成绩优良人数为：11人，成绩不优良人数为9人，得出列联表如下： 成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050 （2）因为，∴有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【点睛】本题考查独立性检验的应用，以及根据茎叶图和频率分布直方图求频数．18．已知数列的前项和为，，，设，数列的前项和为；．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）利用递推关系可得为等比数列求出其通项公式，即可得到；（2）求出，再利用裂项相消法求，即可得到不等式的证明；【详解】（1）解：∵，∴，即．∴．∵，当时，，∴数列的通项公式为．（2）证明：由（1）知：．∴∴．∵是正整数，∴．∴．∴．【点睛】本题考查数列通项公式求解、裂项相消法求和、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．如图，在三棱柱中，，分别是的中点．（1）求证：；（2）若三棱柱是直三棱柱，，，求的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形的性质可证得，再利用平行公理，即可证得；（2）设，作，由（1）知，所以，由己知得两两互相垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得答案.【详解】（1）证明：∵是的中点，，∴．∵分别是的中点，∴．在三棱柱中，．∴．∴．（2）解：如图，设，作，由（1）知，所以．由己知得两两互相垂直．由得，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得，．设平面的一个法向量为，则，．∴，取，解得∴是平面的一个法向量．同理可求得平面的一个法向量．设二面角的平面角的大小为，则．∵，∴．∴二面角的正弦值为．【点睛】本题考查平行公理的应用、面面角的向量求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意正弦值恒为正的.20．已知是自然对数的底数，函数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在单调递增，判断函数是否有零点．若有，有多少个？若没有，说明理由．【答案】（1）（2）没有零点．见解析【解析】（1）对函数进行求导，再利用导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）由在单调递增可得，再证明函数在时，函数值均大于0，即可证得函数无零点.【详解】解：（1）若，，∴∴当时，．∴曲线在点处的切线的斜率．∴曲线在点处的切线方程为．（2）函数没有零点．∵在单调递增，∴当时，，即．∴．由得，且．设，则．∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴当时，取得最小值，即．∵，∴，即．∴．∴，即．∴在定义域单调递增．∵，∴当时，，当时，，．∴当时，．∴无实数解，即函数没有零点．【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、函数零点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用函数值大于0证明函数无零点的方法.21．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，以线段为直径的圆经过点，线段与轴交于点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆交于两点，且．在平面直角坐标系中，是否存在定圆，动直线与定圆都相切？若存在，求出圆所有的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在，．【解析】（1）利用两个直角三角形相似得到比例关系，进而求得的值，即可得到椭圆的方程；（2）利用直线的特殊情况可得圆存在，且为，再证明对一般的直线，定圆也符合题意.【详解】解：（1）设椭圆的方程为，．∵，，∴．∴，即．∴．由已知得，解得．由得．∴椭圆的方程为．（2）当动直线的斜率为0或不存在时，根据图象的对称性不难发现，若满足条件的定圆存在，则圆心只能为原点设圆，设圆的半径为，则斜率为0的动直线有两条，方程分别为和；斜率不存在的动直线有两条，方程分别为和．这四条直线与定圆都相切，则点在椭圆上．∴，解得，即．∴若满足条件的定圆存在，则其方程只能是．下面证明方程为的圆满足题设要求•①当直线的斜率不存在时，显然直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，，．由得，即．∵动直线与椭圆交于两点，∴方程有两个不相等的实数根．∴，即，且∵，∴．∴．∵圆心即原点到直线的距离，∴直线与圆：相切．综上述，存在一个定圆，动直线都与圆相切，且圆的方程为．【点睛】本题考查平面几何中的相似、椭圆方程求解、探究性问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对直线斜率是否存在的讨论.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）直接写出曲线的普通方程；（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用互化公式即可将曲线的极坐标方程化成普通方程； （2）消去参数，求出曲线的普通方程为，从而得出的参数方程，由题可知，，设，利用两点间的距离公式求出，运用二次函数的性质求出，从而得出的最大值．【详解】解：（1）曲线的普通方程为；（2）由曲线的参数方程为（为参数），得曲线的普通方程为，它是一个以为圆心，半径等于2的圆，则曲线的参数方程为：为参数），∵是曲线上的点，是曲线上的点，∴．设，则，∴当时，，∴．【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，利用消参法将参数方程化为普通方程，运用曲线的参数方程表示点坐标，以及结合两点间的距离和二次函数的性质，求出距离最值，考查转化思想和计算能力.23．己知，是的最小值．（1）求；（2）若，，且，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）根据绝对值不等式的性质，即可求出的最小值，即可得出； （2）由已知，得出，则，即可得出，即可得出证明.【详解】（1）解：由绝对值不等式的性质得：，又∵，∴．（2）证明：∵，，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查利用绝对值不等式的性质求函数最值，以及通过综合分析法证明不等式，考查计算能力.