2020届云南省高三毕业生复习统一检测数学（文）试题（解析版）

2020届云南省高三毕业生复习统一检测数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，，若，则常数的值为（    ）A．0或2 B．0或 C．2 D．【答案】A【解析】根据题意，求得，讨论和时，满足，求出的值.【详解】解：由题可知：，，，即，当时，，无解，则，符合题意，当时，，，,，可知，解得，综上得：或，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集的概念和集合间的关系，属于基础题.2．已知为虚数单位，若．则复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标，即可求出答案.【详解】解：，则复数在复平面内对应的点的坐标为：，位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义.3．设向量，，若，则（    ）A． B． C．-2 D．2【答案】D【解析】根据，则，构造关于的方程，解方程即可求出的值.【详解】解：，，，解得：.故选：D.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题.4．为得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位【答案】D【解析】把函数化简为，根据三角函数平移的规律，即可求出答案.【详解】解：，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的平移伸缩的规律，三角函数的平移原则为：左加右减上加下减.5．执行如图所示的程序框图．若输入的，则输出的（    ）A．20 B．40 C．62 D．77【答案】B【解析】根据程序框图的流程计算，直到时，退出循环，得输出的的值.【详解】解：输入，，，否，循环：，否，，否，，是，退出循环，输出.故选：B.【点睛】本题考查循环结构的程序框图，属于基础题.6．—个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】观察三视图，可知几何体是由棱长为4的四棱柱截去四分之一的圆柱，利用柱体的体积公式，即可求得几何体的体积.【详解】解：由三视图可知，几何体是由棱长为4四棱柱截去四分之一的圆柱得来的，则：，，几何体的体积为：，即：.故选：C.【点睛】本题考查由三视图求原几何体的体积，涉及柱体的体积，考查计算能力.7．已知实数满足约束条件则的最大值等于（    ）A．10 B．12 C．16 D．22【答案】B【解析】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数通过的特殊点求出目标函数的最大值即可.【详解】解：满足条件，表示的可行域如图：当经过的交点时，取得最大值，最大值为：.故选：B.【点睛】本题考查简单的线性规划，正确画出约束条件表示的可行域，找出目标函数经过的特殊点是解题的关键，考查计算能力与数形结合.8．己知抛物线的焦点为，经过点作直线，与拋物线在第一象限交于两点．若点在以为直径的圆上，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由题可知，点在以为直径的圆上，则，设直线：，代入抛物线中，写出韦达定理，结合，化简后即可求出直线的斜率.【详解】解：由题意与抛物线在第一象限交于两点，且点在以为直径的圆上，，即，抛物线的焦点为，设直线：，代入抛物线中，化简得：，，解得，，，，，，，解得：.故选：B.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的基本性质、韦达定理和向量垂直的坐标运算，考查化简和计算能力.9．己知，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值.【详解】解：，则，，，.故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系和二倍角的正弦公式的运用，熟练掌握三角函数基本关系是解本题的关键.10．己知正的顶点都在球的球面上，正的边长为．若球心到所在平面的距离为，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出正外接圆的半径，再求出球的半径，由此能求出球的表面积.【详解】解：边长为正的顶点都在球的球面上，正外接圆的半径：，球心到所在平面的距离为，球的半径：，球的表面积：.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，还涉及球的截面性质和三角形外接圆的半径，考查计算能力.11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右顶点，点是双曲线的右支上一点，．若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】根据图象可知，，根据余弦定理运算得出，即可求出求出离心率.【详解】解：已知点是双曲线的右支上一点，，根据双曲线的定义，，求得，因为是以为顶角的等腰三角形，则：，由图可知，且，，则由余弦定理得：即：，所以，则：，所以，即，所以，即，解得：或（舍去）故选：D    .【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率，余弦定理的应用，考查计算能力.12．已知在单调递减，则的取值范围为（    ）A． B．（-3,3） C． D．(-5,5)【答案】C【解析】求出函数的导函数，由函数在单调递减，则在上恒成立，即可求出的取值范围.【详解】解：，，要使函数在单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，则：，即：，解得：则的取值范围为：.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数范围，通过导数解决函数恒成立问题.  二、填空题13．对总数为的一批零件抽取一个容量为40的样本．若每个零件被抽取的概率为0.2，则=___________．【答案】200；【解析】对总数为的一批零件抽取一个容量为40的样本，则每个零件被抽取的概率都相等，据此即可求出.【详解】解：每个零件被抽取的概率都相等，，解得：.故答案为：200.【点睛】本题考查概率的求法，以及抽样方法的特点是每个个体被抽到的机会都相等.14．已知，若函数的图象关于原点成中心对称图形，则常数的值为___________．【答案】；【解析】根据题意，可知函数定义域为且为奇函数，得到，即可求出的值.【详解】解：由题意知，函数的图象关于原点成中心对称图形，函数为奇函数，且定义域为，，，化简得：，解得：，常数的值为：.故答案为：.【点睛】本题考查奇函数的性质和图像特征，属于基础题.15．已知的三个内角分别为．若，则的值是___________．【答案】；【解析】运用正弦定理角化边公式和余弦定理解三角形，即可得的值.【详解】解：设的三个的对边分别为：，中，，由正弦定理化简得：，可得：，则余弦定理得：，.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力.16．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则的最小值为___________．【答案】【解析】利用向量的加减法运算，求出，即可得出，运用向量的数量积运算求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最小值.【详解】解：由题可知，平行四边形的图象如下：设，，，，则，所以，又，则有：，解得：，即，平行四边形的面积为，即，，，即：，，即：，，即，所以，，当且仅当：时，取等号，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的应用，涉及向量加减法运算、向量的数量积运算和模以及运用基本不等式求最值，考查转化思想和计算能力. 三、解答题17．某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩（单位：分），得到如下图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．其中30名男生该学科成绩分成以下六组，，．（1）请完成下面的列联表（单位：人）： 成绩优良人数成绩非优良人数总计男生  30女生  20总计  50 （2）根据（1）中的列联表，能否有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？附：，其中．0.150.100.050.0250.010.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879  【答案】（1）见解析（2）有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【解析】（1）根据频率分布直方图，计算出男生成绩优良人数，再根据茎叶图数据，得出女生优良的人数，即可求出其他数据，即可写出列联表； （2）根据题给公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.【详解】解：（1）根据题意，可知不低于80分为成绩优良，由频率分布直方图可知，男生成绩优良人数为：（人），则男生中成绩不优良的人数为：（人），由茎叶图可知，女生成绩优良人数为：11人，成绩不优良人数为9人，得出列联表如下： 成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050 （2）因为，∴有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．【点睛】本题考查独立性检验的应用，以及根据茎叶图和频率分布直方图求频数．18．已知数列的前项和为，，，设，数列的前项和为；．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由于，根据，得出，可证出数列为等比数列，根据等比数列的通项公式，求出，即可求出，对进行检验，即可得出数列的通项公式； （2）由（1）知：，求得，利用裂项公式得出，再利用裂项相消法求出的前项和为.【详解】（1）解：∵，∴，得，即，所以数列为等比数列，首项为，公比，∴．当时，，当时，，∴数列的通项公式为．（2）证明：由（1）知：，∴．∴∴．【点睛】本题考查根据和的关系和利用公式求等比数列的通项公式，考查证明等比数列，以及利用裂项相消法求数列的前项和，考查计算能力.19．如图，在三棱柱中，，分别是的中点，设到平面的距离为，到平面的距离为．（1）求证：；（2）若三棱柱是直三棱柱，，，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为是的中点，，通过等腰三角形的性质，可得出，利用三角形的中位线性质，得出，根据棱柱的性质，进而可证出； （2）设，由题设得，，分别求出和，通过三棱锥等体积法，，即可求出的值.【详解】（1）证明：∵是的中点，，∴．∵分别是的中点，∴．在三棱柱中，．∴．∴．（2）设，由题设得，，所以，∵，，∴，，由题设可得，，∵，∴，即，∴．【点睛】本题考查线线垂直的证明和利用等体积法求点到面的距离，还涉及等腰三角形的性质、三角形的中位线性质和棱锥的体积公式，考查转化思想和推理能力.20．已知函数．（1）当，时，求曲线在点处的切线方程；（2）当，时，求证：曲线与有公共点．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）当，时，，则，通过导数的几何意义求出切线斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）由，构造函数，求导，通过导数求出函数的单调性和最小值，由题知，则，即，进而可得出结论.【详解】解：（1）当，时，，∴，∴，∴所求切线的斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．（2）证明：的定义域为，，设，则，，∵，∴当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，∴当时，取得最小值，即.∵，∴，即，又∵，，∴曲线与有公共点，即方程有实数解，∴方程有实数解，即曲线与有公共点，∴当，时，曲线与有公共点．【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和最值，考查计算能力.21．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，以线段为直径的圆经过点，线段与轴交于点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆交于两点，且．求证：动直线与圆相切．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）根据双曲线和圆的性质可知，且，所以，由相似比得出，根据离心率求出，再根据，求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）根据题意，分类讨论动直线的斜率不存在时和斜率存在时，联立直线和椭圆方程，求出韦达定理，结合，以及点到直线的距离，化简后即可得出证明.【详解】解：（1）由双曲线和圆的性质，可知：设椭圆的方程为，，∵，，∴，∴，即，∴，由已知得，解得，由，得，∴椭圆的方程为．（2）证明：①当动直线的斜率不存在时，设的方程为，，，由，得，∵直线与椭圆交于两点，∴方程有两个不相等的实数根，∵，且，∵，∴，即，∵圆心到直线的距离，∴直线与圆相切；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，，，由得，即，∵动直线与椭圆交于两点，∴方程有两个不相等的实数根，∴，即，且，∵，∴．化简得，∵圆心即原点到直线的距离，∴直线与圆相切，综上所述，动直线与圆相切．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及联立方程组、韦达定理、点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系，考查计算能力.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）直接写出曲线的普通方程；（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用互化公式即可将曲线的极坐标方程化成普通方程； （2）消去参数，求出曲线的普通方程为，从而得出的参数方程，由题可知，，设，利用两点间的距离公式求出，运用二次函数的性质求出，从而得出的最大值．【详解】解：（1）曲线的普通方程为；（2）由曲线的参数方程为（为参数），得曲线的普通方程为，它是一个以为圆心，半径等于2的圆，则曲线的参数方程为：为参数），∵是曲线上的点，是曲线上的点，∴．设，则，∴当时，，∴．【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，利用消参法将参数方程化为普通方程，运用曲线的参数方程表示点坐标，以及结合两点间的距离和二次函数的性质，求出距离最值，考查转化思想和计算能力.23．己知，是的最小值．（1）求；（2）若，，且，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）根据绝对值不等式的性质，即可求出的最小值，即可得出； （2）由已知，得出，则，即可得出，即可得出证明.【详解】（1）解：由绝对值不等式的性质得：，又∵，∴．（2）证明：∵，，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查利用绝对值不等式的性质求函数最值，以及通过综合分析法证明不等式，考查计算能力.