2020_2021学年高中数学课时分层作业14变量间的相关关系新人教A版必修3 练习
展开课时分层作业(十四) 变量间的相关关系
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是( )
A．①③ B．②③
C．② D．③
C [①是负相关；②是正相关；③不是相关关系．]
2．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程为＝x＋，那么下面说法不正确的是( )
A．直线＝x＋必经过点(，)
B．直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线＝ x＋的斜率为
D．直线＝x＋是最接近y与x之间真实关系的一条直线
B [回归直线一定经过样本点的中心，故A正确；直线＝x＋可以不经过样本点中的任何一点，故B错误．由回归方程的系数可知C正确；在直角坐标系中，直线＝x＋与所有样本点的偏差的平方和最小，故D正确；]
3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
D [由正负相关的定义知①④一定不正确．]
4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：
父亲身高x(cm) | 174 | 176 | 176 | 176 | 178 |
儿子身高y(cm) | 175 | 175 | 176 | 177 | 177 |
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
C [＝＝176，＝＝176.根据回归直线过样本中心点(、)验证知C符合．]
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元 | 4 | 2 | 3 | 5 |
销售额y/万元 | 49 | 26 | 39 | 54 |
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
B [＝(4＋2＋3＋5)＝3.5，＝(49＋26＋39＋54)＝42，所以＝－ ＝42－9.4×3.5＝9.1.所以回归方程为＝9.4x＋9.1.令x＝6，得＝65.5(万元)．]
二、填空题
6．若回归直线＝x＋的斜率估值为1.23，样本中心点为(4,5)，当x＝2时，估计y的值为________．
2.54 [因为回归直线＝x＋的斜率估值为1.23，所以＝1.23，＝1.23x＋.
因为样本中心点为(4,5)，
所以5＝1.23×4＋，＝0.08，＝1.23x＋0.08，
代入x＝2，y＝1.23×2＋0.08＝2.54.]
7．如图，有5组(x，y)数据，去掉________点对应的数据后，剩下的4组数据的线性相关程度最大．
D [去掉D点对应的数据后，其余四点大致在一条直线附近，相关性最强．]
8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
命中率y | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.6 | 0.4 |
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为________．
0.5 0.53 [＝＝＝0.5，
＝＝3.
由公式，得＝0.01，
从而＝－ ＝0.5－0.01×3＝0.47.
所以回归方程为＝0.47＋0.01x.
所以当x＝6时，＝0.47＋0.01×6＝0.53.]
三、解答题
9．两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．
表1
A | 26 | 18 | 13 | 10 | 4 | －1 |
B | 20 | 24 | 34 | 38 | 50 | 64 |
表2
C | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
D | 541.67 | 602.66 | 672.09 | 704.99 | 806.71 | 908.59 | 975.42 | 1 034.75 |
[解] 散点图分别如图(1)和图(2)．
从图中可以看出两图中的点各自分布在一条曲线附近，因此两对变量都具有相关关系．
图(1)中，当A的值由小变大时，B的值却是由大变小，故A和B成负相关；
图(2)中，当C的值由小变大时，D的值也是由小变大，故C和D成正相关．
10．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线．
[解] (1)散点图如图：
(2)＝＝4.5，
＝＝3.5，
iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
所以＝
＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
所以所求的线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
1．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2<r1<0 B．0<r2<r1
C．r2<0<r1 D．r2＝r1
C [由数据知变量X与Y成正相关，U与V成负相关即r1>0，r2<0.∴r2<0<r1.]
2．已知x与y之间的几组数据如下表：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 0 | 2 | 1 | 3 | 3 | 4 |
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，<a′
C.<b′，>a′ D.<b′，<a′
C [由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，
a′＝0－2×1＝－2.
求，时，
iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴<b′，>a′.]
3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程为＝7.8x＋40.2.
零件数x(个) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工时间y(min) | 50 | 67 | 71 | 79 |
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )
A．55 B．55.8
C．59 D．51
D [设表中模糊的数据为m.由表中的数据可得＝＝3，＝＝，
又由回归直线的方程为＝7.8x＋40.2，所以＝7.8×3＋40.2，解得m＝51.即表中模糊的数据为51.故选D.]
4．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
20 [令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.]
5．根据《中国统计年鉴》计算整理某城市最近十年蔬菜需求量的统计数据，截取部分统计数据如下表：
年份 | 2009 | 2011 | 2013 | 2015 | 2017 |
需求量(万吨) | 336 | 346 | 357 | 376 | 386 |
(1)画出散点图；
(2)根据(1)画出的散点图判断需求量与年份是否线性相关，若相关，求出线性回归方程，若不相关，说明理由；
(3)利用(2)中所求的线性回归方程预测该市2020年的蔬菜需求量．
附：参考公式＝，＝－.
[解] (1)画出散点图如图．
(2)由散点图可知，需求量与年份线性相关．
将所给表格中的数据进行处理如下表：
t(年份－2013) | －4 | －2 | 0 | 2 | 4 |
m(需求量－357) | －21 | －11 | 0 | 19 | 29 |
由表可知＝(－4－2＋0＋2＋4)＝0，
＝(－21－11＋0＋19＋29)＝3.2.
所以＝
＝6.5，
所以＝3.2－0×6.5＝3.2，
∴＝6.5t＋3.2，
所以线性回归方程是
－357＝6.5(x－2 013)＋3.2，
即＝6.5x－12 724.3.
(3)当x＝2 020时，＝6.5×2 020－12 724.3＝405.7，
即预测该地2020年蔬菜需求量是405.7万吨．
