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上海市2020年中考物理备考复习资料汇编专题10固体与液体的压强计算
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专题10 固体与液体的压强计算
一、柱体切割、液体抽取（倒入）
一、常见题目类型
1．在柱形物体沿水平方向切切割：切去某一厚度（体积或质量）（图1）。
图2
A
B
A
图3
B乙
图1
甲
乙
2．在柱形容器中抽取（或加入）液体：某一深度（体积或质量）（图2）。
3．在柱形固体切去一部分，同时在柱形容器的液体中抽取（或加入）液体：某一深度（体积或质量）（图3）。
二、例题
【例题1】如图1所示，实心均匀正方体甲、乙放置在水平地面上，它们的重力G均为90牛，甲的边长a为0.3米，乙的边长b为0.2米。求：
图1
甲
乙
正方体甲对地面的压强p甲；
② 若沿水平方向将甲、乙截去相同的厚度Δh后，它们剩余部分对地面的压强p甲′和p乙′相等，请计算截去的厚度Δh。
【答案】①1000帕；②0.16米。
【解析】
p甲＝F甲/s甲＝G /a2＝＝90牛/9×10-2米2＝1000帕
② 先比较原来两个立方体压强的大小关系：它们的重力G均为90牛，对地面的压力均为90牛，因为甲的底面积大于乙的底面积，根据p=F/S=G/S
所以原来两个立方体的压强 p甲´ ＜p乙´。
可以先求出甲乙两立方体密度的大小关系：
它们的重力G均为90牛，所以m甲=m乙 ρ甲V甲=ρ乙V乙
ρ甲（0.3米）3 = ρ乙（0.2米）3
甲乙两立方体密度的大小关系ρ甲︰ρ乙=8︰:27
设截去的厚度Δh时，它们剩余部分对地面的压强相等，即
p甲´＝p乙´
ρ甲g（a−Δh）＝ρ乙g（b−Δh）
8 ×（0.3米−Δh）=27 ×（0.2米−Δh）
Δh=0.16米
【例题2】（2019上海中考题）如图7所示，足够高的薄壁圆柱形容器甲、乙置于水平桌面上，容器甲、乙底部所受液体的压强相等。容器甲中盛有水，水的深度为0.08米，容器乙中盛有另一种液体。
①若水的质量为2千克,求容器甲中水的体积V水。
②求容器甲中水对容器底部的压强P水。
③现往容器甲中加水,直至与乙容器中的液面等高，此时水对容器底部的压强增大了196帕，求液体乙的密度ρ液。
甲 图7 乙
【答案】①2×10-3米3；②784帕；③800千克/米3。
【解析】
① V水=m水／ρ水=2千克/1.0×103千克/米3= 2×10-3米3
② p水＝ρ水gh
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.08米
＝784帕
③ 由甲水对容器底部的压强增大了196帕 可求增加的水的深度△h水：
△P水=ρg△h
△h水=△p水 /（ρ水g）
=196帕/（1000千克/米3×9.8牛/千克）
=0.02米
容器乙中盛液体的深度：h乙= h水'=h水+△h水=0.08米+0.02米 = 0.1米
根据容器甲、乙底部所受液体的压强相等可求液体的密度：
p水＝p乙
ρ水gh水=ρ乙gh乙
1000千克/米3×0.08米=ρ乙0.1米
ρ乙=800千克/米3
【例题3】相同的薄壁圆柱形容器甲、乙置于水平桌面上。甲中盛有水,乙中盛有另一种液体,水和液体的质量均为4千克。现分别从甲、乙容器中抽出相同体积的液体,下表为抽出液体前后两容器底部受到的液体的压强。
①问抽出液体前乙容器底部受到的液体的压强p液,并说明理由。
②求乙容器中抽出液体的质量△m液。
容器底部受到的液体压强
抽出液体前
抽出液体后
p甲水（帕）
1960
980
p乙液（帕）
1078
③求乙容器中液体的密度ρ液。
【答案】
①p液=1960帕；p = = =
水、液体的质量、底面积均相等；
p液 = p水 = 1960帕
②1.8千克；③0.9×103千克/米3。
【解析】
① 注意利用压强的公式进行推导即可，没有必要计算。
p = = = 因为水与液体的质量、底面积均相等，
所以 p液 = p水 = 1960帕
②因为水的密度是已知的可以通过水的压强计算容器的底面积S甲：
p水＝F/S甲＝G水/S甲＝1960帕
S甲＝0.02米2 S乙＝0.02米2
根据液体减小的压强可以计算出减小的压力即抽出的液体的重力，从而得出抽出的液体的质量：
Dp液＝p前－p后＝DF水/ S容液＝ΔG水/ S液＝Δm液g / S液
Δm液=1.8千克
③因为抽出水的体积与抽出液体的体积相等，所以水和液体下降的高度Δh相同
Δ p水=1960帕－980帕=980帕
Δ p液=1960帕－1078帕=882帕
Δh＝Δ p水/ρ水g
＝980帕/1×103千克/米3×9.8牛/千克＝0.1米
ρ液＝Δp＇液/ gΔ h
＝882帕/0.1米×9.8牛/千克
ρ液＝0.9×103千克/米3
三、练习题
1．如图1所示，均匀实心圆柱体A和盛有水的轻质薄壁圆柱形容器B置于水平地面上，它们的底面积分别为S和3S，B容器内水的质量为6千克。
对水平地面或容器底部的压强
切去A或抽出
液体前
切去A或抽出液体后
PA（帕）
1960
490
P水（帕）
1960
980
A
图1
B乙
① 求B容器中水的体积V水。
② 现沿水平方向切去A并从B容器中抽出水，且切去A和抽出水的体积相同，圆柱体A对水平地面和水对容器底部的压强关系如表：
（a）求圆柱体A切去前的质量mA；
（b）求圆柱体A的密度。
【答案】①6×10-3米3 ； ② (a) 2千克； (b) 0.5×103千克/米3
【解析】
① V水＝m水/ρ水＝6千克/1×103千克/米3＝6×10-3米3
② (a) 圆柱体A切去前的压强与水的压强相等；且是柱形容器
所以F＝G＝mg
pA＝p水
mAg/S＝m水g/3S
mA＝m水/3＝6千克/3＝2千克
(b) 因为P’水＝1/2P水
所以 △V水＝V水/2＝3×10-3米3
即 △VA＝△V水
△VA＝3/4VA
VA＝2/3 V水 ＝4×10-3米3
ρA＝mA/VA＝2千克/4×10-3米3
＝0.5×103千克/米3
2．质量、底面积均相等的均匀圆柱体M、N竖直置于水平地面上，M的质量为40千克，N的密度为3.6×103千克/米3。
② 现分别从圆柱体M、N的上部沿水平方向截取相同的体积，截取前后两圆柱体对地面的部分压强值记录在表中。
① 求圆柱体M对地面的压力FM。
圆柱体对地面的压强
截取前
截取后
pM（帕）
3920
1960
pN（帕）
2156
（a）问截取前圆柱体N对地面的压强pN，并说明理由。
（b）求圆柱体N被截取部分的高度∆hN和质量∆mN；
【答案】①392牛；②（a）3920帕；（b）0.05米；18千克。
【解析】
① FM=GM= mMg =40千克×9.8牛/千克=392牛
②（a）根据P=F/S=G/S=mg/S
因为M、N的质量、底面积均相等
所以 pN = pM = 3920帕
（b）△P=ρg△h
∆hN = = =0.05米
∆mN = mN = =
∆mN = mN = ×40千克= 18千克
3．边长为0.2米和0.1米的甲、乙两个实心正方体放在水平地面，甲的密度为4×103千克/米3，乙的质量为2千克。
① 求甲对地面的压强p甲；
② 求乙对地面的压力F乙；
③ 为使甲、乙对地面压强相同，小李设想将甲、乙分别沿水平方向和竖直方向切去相同厚度h，请通过计算判断是否可行。
【答案】①7840帕；② 19.6牛；③不可行。
【解析】
① 正方体放在水平地面上
P甲=F/S=ρ甲gh甲＝4×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝7840帕
② F乙＝G乙＝m乙g＝2千克×9.8牛/千克＝19.6牛
③乙沿竖直方向切割压强不变 P乙＝F乙/ S乙＝1960帕
原来压强 P甲︰P乙＝4︰1
现在 P甲′＝P乙
ρ甲g（h甲−h）＝P乙
P甲−ρ甲g h＝P乙
P甲−ρ甲g h＝P甲/4
h＝3 h甲/4＝0.15米
因为h＞h乙，所以不可行。
4．甲、乙两个完全相同的轻质圆柱形容器放在水平地面上，甲中盛有0.3米深的水，乙中盛有1×10-2米3的酒精。(酒精的密度为0.8×103千克/米3)
①求水对甲容器底部的压强p水；
②求乙容器中酒精的质量m洒；
③若容器的底面积均为2×10-2米2，从两容器中均抽出2×10-3米3的液体后，求两容器对水平地面的压强之比p甲:p乙。
【答案】
① p水=ρ水gh水=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.3米=2940帕
② m酒=ρ酒V酒=0.8×103千克/米3×1×10-2米3=8千克
③
5．如图5所示，置于水平桌面上的A、B是两个完全相同的薄壁柱形容器，质量为0.5千克，底面积为0.01米2，分别装有体积为2.5×10﹣3米3的水和深度为0.3米的酒精，（ρ酒精=0.8×103千克/米3）。求：
图5
A
B
① 水的质量m水。
② A容器对水平桌面的压强pA。
③ 若在两个容器中抽出相同深度的液体△h后，两容器中液体对底部的压强相等，请计算出△h的大小。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1.0×103千克/米3×2.5×10-3米3＝2.5千克
② FA＝GA＝mAg＝（2.5千克＋0.5千克）×9.8牛/千克＝29.4牛
pA=FA/SA＝29.4牛/0.01米2 =2940帕
③ p水′＝ ρ水g h 水′=ρ水g（h 水—∆h）
p酒′＝ ρ酒g h酒′=ρ酒g（h 酒—∆h）
p水′=p酒′
ρ水g（0.25米—∆h）=ρ酒g（0.3米—∆h）
∆h＝0.05米
6．如图6所示，质量为240千克，边长分别为0.3米、0.4米和1米的实心长方体竖立在水平地面上。
0.3米
0.4米
1米
图6
（1）求该长方体的密度ρ。
（2）若沿竖直（或水平）方向将长方体一分为二，再将它们重新放置在水平地面上，使得地面受到的压力大小不变、地面受到的压强均匀且比切割前的压强要小些。
(a)请你说明一种满足上述要求的切割部位和放置方式。
(b)求出它对水平地面的最小压强p最小。
【答案】（1）2×103千克/米3；（2）2352帕。
【解析】
（1） V＝a×b×h＝0.3米×0.4米×1米＝0.12米3
ρ=m/V＝240千克/0.12米3＝2×103千克/米3
（2） (a) 若在长方体的中部沿水平方向将长方体切割成两个完全相同的长方体，再将它们并排放置在水平地面上，则地面受到的压力仍为原来长方体的重，而地面受到压力的受力面积为原来的两倍，因此一句根据压强定义式p′＝F′/S′＝G0/（2S0）＝P0/2＜P0
(b)沿着顶部长方形的对角的连线，顺着竖直方向向下切割，使一个长方体变为两个完全相同的三棱柱，再将它们的截面与地面接触、且并排放置在水平地面上，这样地面受到的压力仍为原来长方体的重，而地面受到压力的受力面积为最大
S最大＝2（ ）h
＝2（ ）×1米＝1米2
F= m0g=240千克×9.8牛/千克=235.2牛
p最小＝F/S最大=235.2牛/1米2 = 2352帕
7． 如图7所示，均匀立方体A和薄壁柱形容器B置于水平地面上，已知A的体积为1×10-3米3，密度为2×103千克/米3；B的底面积为6×10-2米2，其内部盛有质量为6千克的某种液体。
A
B
图7
⑴求立方体A的质量mA。
⑵求液体对容器B底部的压强p液。
⑶若从B容器内抽出2千克液体，求此刻立方体A对水平地面的压强与液体对B容器底部压强之比pA∶p′液。
【答案】
(1) mA＝ρA×VA＝2×103千克/米3×1×10-3米3＝2千克；
（2）p液＝＝＝＝＝9.8×102帕；
（3） ＝＝＝
∴ pA∶p′液＝3∶1
8．如图8所示，均匀圆柱体甲和盛有液体乙的圆柱形容器分别置于高度差为h的两个水平面上。甲物高为5h、底面积为S甲；圆柱形容器高度为7h，液体乙深度为6h、底面积为S乙（S甲=2S乙）、体积为5×10-3米3（ρ乙＝0.8×103千克/米3）。求：
①液体乙的质量m乙。
②距离液面0.1米深处的液体内部压强P乙。
图8
4h
M
N
甲
乙
③如图所示，若沿图示水平面MN处切去部分甲物，从容器中抽取部分乙液体至水平面MN处，发现二者质量的变化是一样。现从甲的上部继续沿水平方向截去高度△h后，甲对水平地面压强为P’甲；向容器中加入深度为△h的液体乙后，乙对容器底部的压强为P’乙。请通过计算比较P’甲和P’乙的大小关系及其对应的△h取值范围。
【答案】
① m乙＝ρ乙V乙＝4千克
② P乙＝ρ乙gh＝0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米=784帕
③ 根据二者质量的变化是一样，可求甲、乙密度间的关系
ρ甲ghS甲＝ρ乙g·3h·S乙
即ρ甲：ρ乙＝3:2
设P’甲＝P’乙
ρ甲g（4h-△h）＝ρ乙g（3h+△h）
可得：△h＝1.2h
若0<△h≤1.2h，则 P’甲≥P’乙
若1.2h <△h<4h，则 P’甲
① A中水的质量m水。
② B对水平地面的压强pB。
图9
A
B
③ 现沿水平方向在圆柱体B上截去一定的厚度，B剩余部分的高度与容器A中水的深度之比hB¢∶h水为2∶3，且B剩余部分对水平地面的压强等于水对容器A底部的压强，求B的密度ρB。
【答案】
① m水＝ρ水V水
＝1×103千克/米3×6×10-3米3＝6千克
② pB＝FB/SB ＝GB/SB
＝250牛/5×10-2米2 ＝5×103帕
③ pB′＝p水 rBghB′＝r水gh水
10．如图10所示，柱形容器A和均匀柱体B置于水平地面上，A中盛有质量为5千克的水，B受到的重力为200牛，B的底面积为。
A B
图10
（1）求A中水的体积；
（2）求B对水平地面的压强；
（3）现沿水平方向在圆柱体B上截去一定的厚度，B剩余部分的高度与容器A中水的深度之比水为，且B剩余部分对水平地面的压强大于水对容器A底部的压强，求B的密度的范围。
【答案】
（1）v = m/ρ = 5千克/1000千克/米3=5×10-3米3
( 2 ) p =F/S=G/S =200牛/(5×10-2米2) =4000帕
（3）根据题意，pB′＞p水 ρBghB＞ρ水gh水 代入数据，化简可得：
ρB＞2.5ρ水，
即：ρB＞2500千克/米3
11.如图11所示，质量为3千克，边长为0.1米、体积为的均匀正方体甲，和底面积为的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器足够高，内盛有0.1米深的水。
图11
甲
乙
（1）求正方体甲的密度；
（2）求水对乙容器底部的压强；
（3）现将甲物体水平切去一部分，乙容器中抽取部分水，当甲物体、乙容器中的水减少体积相同，并使正方体甲对地面的压强等于水对乙容器底部的压强，求切去部分的体积。
【答案】
（1） ρ=m /V=3千克/0.001米3=3´103千克/米3
（2）P=ρgh=1´103千克/米3´0.1米´9.8牛/千克=980帕
（3）P甲=P乙
（m甲－ρ甲△V）g/S甲=ρ乙g（h乙－△V/ S乙）
（3千克－3´103千克/米3△V）/0.01米2=1000千克/米3´（0.1米－△V / 0.04米2）
△V=8´10-4米3
12．相同的薄壁圆柱形容器甲、乙置于水平桌面上。甲中盛有水，乙中盛有另一种液体，水和液体的质量均为4千克。
容器底部受到液体的压强
抽出液体前
抽出液体后
P甲水（帕）
1960
980
P乙液（帕）
1078
① 求甲容器中水的体积V水。
② 分别从甲、乙容器中抽出相同体积的液体，下表为抽出液体前后两容器底部受到的液体的压强。
（a）问抽出液体前乙容器底部受到的液体的压强p液，并说明理由。
（b）求乙容器中抽出液体的质量∆m液。
【答案】
① V水＝m水/ ρ水＝4千克/ 1.0×103千克/米3＝4×10-3米3
② （a）p液＝1960帕
因为是柱形容器，液体对容器底部的压强p＝F/S＝G/S＝ mg/S，液体和水的m、S均相同，所以液体对容器底部的压强等于水对容器底部的压强。
（b）S ＝F/ p＝G/p＝ mg/p＝4千克×9.8牛/千克/1960帕＝2×10-2米2
G′液＝ F＝ pS＝1078帕×2×10-2米2＝21.56牛
m′液＝ G′液/ g＝21.56牛/ 9.8牛/千克＝2.2千克
∆m ＝m液－m′液＝4千克－2.2千克＝1.8千克
13．如图13所示，质量为10千克的实心圆柱体置于水平地面上，其底面积为。
图13
①求地面受到的压力F。
②求地面受到的压强p。
③现将圆柱体沿水平方向切去0.2米的高度，圆柱体对水平地面的压强变化量为3920帕，求圆柱体的密度ρ和原来的高度h。
【答案】
F＝G＝mg＝10千克×9.8牛/千克=98牛
14．如图14所示，底面积分别为S和2S的柱形容器甲和乙放在水平桌面上，容器甲中酒精的深度为3h，容器乙中水的深度为2h。（ρ水＝1.0×103千克/米3，ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
①求乙容器水下0.1米处水的压强p水。
②若从两容器中分别抽出质量均为m的酒精和水后，剩余酒精对甲容器底的压强为
p酒精，剩余水对乙容器底的压强为p水，且p酒精
甲 图14 乙
酒精
水
【答案】
①h水＝2h＝0.2米
p水＝ρ水gh水＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕
②从两容器中分别抽出质量均为m的酒精和水后，
△V =m/ ρ
△H酒精= △H水=
p酒精< p水，根据p＝ρgh
ρ酒精g（3h-）< ρ水g（3h-）
m > 2hS（3ρ酒精-2ρ水）
至少抽去液体的质量为2hS（3ρ酒精-2ρ水）
15．如图15所示，均匀圆柱体A和薄壁柱形容器B置于水平地面上，A的质量是50千克，体积为2×10-2米3；B的底面积为4×10-2米2，其内部盛有重为200牛的某种液体。
图15
A
B
⑴求圆柱体A的密度ρA。
⑵求液体对容器B底部的压强p液。
⑶继续向B容器内注入部分同种液体（没有液体溢出），当容器B底部液体深度与A的高度之比为5∶4时，发现该液体对容器B底部压强等于A对地面压强的二分之一。求液体的密度ρ液。
【答案】
（1） ρA=mA/V A=50千克/2×10-2米3＝2.5×103千克/米3；
（2） p=F/S = G液/S 容器= 200牛 /（4×10-2米2)=5000帕；
（3）p液＝ρ液gh液＝ρ液g×5/4hA
∵ pA＝ρAghA 且p液＝1/2pA；
∴ ρ液＝2/5ρA＝2/5×2.5×103千克/米3＝1×103千克/米3
16．如图16所示，质量分布均匀的实心正方体A和B分别置于高度差为h的水平地面上。物体A的密度为1125千克／米3，物体B的质量为9千克。
图16
B
A
h
(1) 若物体A的体积为8×10-3米3，求物体A的质量mA；
(2) 若物体B的边长为0.3米，求物体B对水平地面的压强pB；
(3) 若A的边长为2h，且A、B它们对地面的压力相等，现将A、B两正方体沿水平方向截去高度相等的一部分，使它们剩余部分对水平地面的压强相等，求截去的高度△h（△h的值用h表示）。
【答案】
(1) mA＝ρAVA＝1125千克/米3×8×10-3米3＝9千克
(2)∵在水平面∴F＝GB＝mBg＝9千克×9.8牛/千克＝88.2牛
p=F/S = 88.2牛 (/0.3米)2=980帕
(3) 根据 FA＝FB GA＝GB ρA（2h）3g＝ρB（3h）3g
A、B密度之间的关系
ρA /ρB＝27/8
再根据 p’A＝p’ B
得ρAg（2h －△h）＝ρBg（3h－△h）
∴△h＝30/19h ≈1.58 h
17．如图17所示，边长为4h的正方体A和轻质薄壁圆柱形容器B置于水平桌面上，容器B中盛有高为5h、体积为5×10－3米3的某液体乙（ρ乙＝0.8×103千克/米3）。
图17
B图14
A
① 求液体乙的质量m乙。
② 若正方体A的质量为5千克，边长为0.1米，求正方体A对地面的压强pA。
③ 已知ρA=1.5ρ乙，从物体A的上方水平切去高为△h的部分，并从容器B中抽出深度同为△h的液体，使物体A和容器B对水平桌面的压强分别为pA'和pB'，通过计算比较pA'和pB'的大小关系及△h对应的取值范围。
【答案】
① m乙＝r乙V乙
＝0.8×103千克/米3×5×10－3米3＝4千克
② FA=GA=mAg=5千克×9.8牛/千克=49牛
pA=FA/SA =49牛/0.01米2=4900帕
③ pA'＝FA'/SA＝rAg（4h－△h）=1.5r乙g（4h－△h）
PB'＝FB'/SB＝r乙g（5h－△h）
设pA'=pB'
则 1.5r乙g（4h－△h）= r乙g（5h－△h）
△h=2h
当切去高0＜△h＜2h时 pA'＞pB'
△h＝2h时 pA'＝pB'
2h＜△h＜4h时 pA'＜pB'
18．如图18所示，甲、乙两圆柱形容器（容器足够高）放在水平桌面上，甲的底面积为9S，乙的底面积为10S，分别盛有1.8×10-3米3体积的水和0.25米高的酒精。（ρ酒＝0.8×103千克/米3）求：
（1）水的质量m水。
（2）若甲容器的质量为0.2千克，底面积为1×10-2米2，求甲容器对水平桌面的压强
p甲。
A
抽出ΔV体积的水和酒精
B
加入Δh高的水和酒精
C
抽出Δh高的水和酒精
（3）若水和酒精对甲、乙容器底部的压强相等，为了使甲、乙容器底部受到的水和酒精的压力相等，以下方法可行的是 （选填“A”、“B”或“C”）。并计算出抽出（或加入）的ΔV或Δh。
图18
乙
甲
【答案】
（1）m水＝ρ水V
＝1×103千克/米3×1.8×10-3米3 ＝ 1.8千克
（2）F甲＝G水+G甲＝（m水+m甲）g
＝（1.8千克+0.2千克）× 9.8牛/千克
＝19.6牛
p甲＝F甲/S 甲
＝19.6牛/（1×10-2米2）
＝1.96×103帕
（3）B； p水＝p酒 ρ水gh水＝ρ酒gh酒
1×103千克/米3 h水＝0.8×103千克/米3 ×0.25米
h水＝0.2米
F水’＝F酒’
ρ水gh水’S水＝ρ酒gh酒’S酒
ρ水g（h水+△h）9S＝ρ酒g（h酒+△h）10S
1×103千克/米3（0.2米+△h）×9＝0.8×103千克/米3（0.25米+△h）×10
△h＝0.2米
19. 相同的薄壁圆柱形容器甲、乙置于水平桌面上，甲中盛有水，乙中盛有另一种液体，水的质量为5千克。
① 求甲容器中水的体积V水。
② 分别从甲、乙两容器中分别抽出相同体积的液体，下表为抽出液体前后两容器底部受到液体的压强。
（a）求抽出液体后甲容器中水的深度h水；
（b）问抽出液体前乙容器中液体的质量m液,并说明理由。
液体对底部的压强
抽出液体前
抽出液体后
P水（帕）
1960
980
P液（帕）
1960
1078
【答案】
① V水=m水／ρ水=5千克/1.0×103千克/米3= 5×10-3米3
②（a）h水=p水/（ρ水g）=980帕/（103千克/米3×9.8牛/千克）=0.1米
（b）m液=m水=5千克
两容器底面积S相等，抽出液体前，两容器底部受到液体的压强均为1960帕，根据F=PS，说明两容器底部受到液体的压力F相等。
圆柱形容器G液=F液，两液体受到的重力G相等。m=G/g,即两液体的质量相等。
20．如图20所示，边长为0.2米、质量为2.4千克的实心正方体A，以及边长为0.1米，质量为0.45千克的实心正方体B分别放置在水平地面上。求：
图20
（1）实心正方体A的密度；
（2）实心正方体B对地面的压强；
（3）为使A、B对水平地面的压强相等，小芳与小丽讨论后认为将正方体A沿水平方向切下厚度h1一块后叠放到正方体B上方，或将正方体A沿竖直方向切下厚度h2一块后叠放到正方体B上方都可以达到目的，请求出h1与h2之比。
【答案】
（1）
（2）FB=GB=mBg=0.45千克×9.8牛/千克=4.41牛
（3） SA：SB=（0.2米）2：（0.1米）2=4:1
pA’＝pB’
水平切：
解得：h1=0.01米
竖直切：
解得：h2＝0.0125米
21．如图21所示，均匀圆柱形物体甲和乙放在水平面上，底面积分别为200厘米2和100厘米2，高度分别为0.1米和0.2米，ρ甲＝1.5×103千克/米3，ρ乙＝1.2×103千克/米3。求：
图21
甲
乙
①乙物体的质量；
②乙物体对地面的压强；
③若将甲和乙沿水平方向分别截去相同质量⊿m后，剩余部分的压强p甲'＞p乙'。求质量⊿m 的取值范围。
【答案】①m乙=ρ乙V乙=ρ乙S乙h乙
=1.2×103千克/米3×100×10-4米2×0.2米=2.4 千克
②F乙=G乙=m乙g=2.4千克×9.8牛/千克=23.52牛
p乙===2352帕
③因为p甲'＞p乙'，根据p=
⊿m>1.8千克
所以，当截去相同质量m 的范围为1.8千克＜m＜2.4千克时，才能满足p甲'＞p乙'。
22．如图22所示，厚底圆柱形容器A、B置于水平桌面中间。A底厚为2h，B底厚为h，容器中液面到水平桌面的高度为6h，A容器中液体甲的体积为5×10－3米3。（ρ甲＝1.0×103千克/米3）
6h
图22
A B
甲
乙
①求液体甲的质量m甲。
②若容器A重4牛，底面积为2×10－3米2，求容器A对水平桌面压强。
③若容器A、B底部受到甲、乙两种液体的压强相等，且B容器底面积为2.1×10-3米2。现向两容器中分别_____高为△h的甲、乙液体后（容器足够高）（选填“倒入”或“抽出”），容器A、B底部受到甲、乙两种液体的压力相等。请通过计算求△h的取值。
【答案】①m甲＝ρ甲V甲
＝1.0×103千克/米3×5×10-3米3＝5千克
②F桌＝GA+G甲＝4牛+5千克×9.8牛/千克＝53牛
p桌＝F桌/SA ＝53牛/（2×10-3米2）＝2.65×104帕
③p甲＝p乙
ρ甲gh甲＝ρ乙gh乙
ρ甲/ρ乙＝h乙/h甲＝5h/4h＝5/4
现从两容器中分别“倒入”高为△h的液体后，
F甲‘＝F乙‘
ρ甲gh甲‘S甲＝ρ乙gh乙‘S乙
ρ甲g（h甲+△h）S甲＝ρ乙g（h乙+△h）S乙
ρ甲g（4h+△h）×2×10-3米2＝ρ乙g（5h+△h）×2.1×10-3米2
△h＝1.25 h
23．如图23所示，质量为0.5千克、底面积为1×10-2米2的圆柱形容器放在水平地面上。容器中盛有质量为2千克的水。
图23
①求水的体积V。
②求容器对地面的压强p。
③若在容器中抽出一定质量的水，使容器对地面的压强小于水对容器底部压强的两倍，求抽出水的质量范围。
【答案】①V＝m/ρ
＝2千克/（1×103千克/米3）＝2×10-3米3
②F＝m总g＝2.5千克×9.8牛/千克＝24.5牛
p＝F/S＝24.5牛/（1×10-2米2）＝2450帕
③p地＜2 p水
[（m容＋m水－D m水）g]/ S＜2（m水－D m水）g/ S
2.5千克－D m水＜2（2千克－D m水）
D m水＜1.5千克
24．如图24所示，置于水平桌面上的A、B是两个完全相同的薄壁柱形容器，质量为0.5千克，底面积为0.01米2，分别装有体积为2.5×10﹣3米3的水和深度为0.3米的酒精，（ρ酒精=0.8×103千克/米3）。求：
图24
A
B
① 水的质量m水。
② A容器对水平桌面的压强pA。
③ 若在两个容器中抽出相同深度的液体△h后，两容器中液体对底部的压强相等，请计算出△h的大小。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1.0×103千克/米3×2.5×10-3米3＝2.5千克
② FA＝GA＝mAg＝（2.5千克＋0.5千克）×9.8牛/千克＝29.4牛
pA=FA/SA＝29.4牛/0.01米2 =2940帕
③ p水′＝ ρ水g h 水′=ρ水g（h 水—∆h）
p酒′＝ ρ酒g h酒′=ρ酒g（h 酒—∆h）
p水′=p酒′
ρ水g（0.25米—∆h）=ρ酒g（0.3米—∆h）
∆h＝0.05米
25．（2020年黄浦一模）22．如图10所示，实心均匀正方体甲和实心均匀圆柱体乙置于水平地面，已知甲的质量为2千克，边长为0.1米。
图10
甲
乙
①求甲的密度ρ甲。
②求甲对地面的压强p甲。
③若圆柱体乙的底面积是甲底面积的一半，且甲、乙对水平地面的压力相等。现将乙沿水平方向切去一部分，使乙与甲等高，已知乙的压强变化了980帕，求乙的密度ρ乙。
【答案】①ρ甲＝m甲/V甲＝2千克/（0.1米）3＝2×103千克/米3
②p甲＝F甲/S甲＝G甲/S甲＝m甲g/S甲＝2千克×9.8牛/千克/（0.1米）2＝1960帕
③F甲＝F乙
p甲S甲＝p乙S乙 S甲＝2 S乙
p乙＝2p甲＝2×1960帕＝3920帕
ρ乙＝p'乙/gh'乙＝（3920帕－980帕）/（9.8牛/千克×0.1米）＝3000千克/米3
26．（2020年静安一模）22．质量均为60千克的均匀圆柱体A、B放置在水平地面上。A的底面积为0.15米2，A的密度为2.0×103千克/米3，B的高度为0.375米。
① 求圆柱体A对水平地面的压强pA。
圆柱体对地面的压强
截取前
截取后
pA（帕）
1960
pB（帕）
2940
② 现分别从圆柱体A、B上部沿水平方向截取相同的厚度h，截取前后两圆柱体对地面的压强值（部分）记录在右表中。
（a）求圆柱体B的密度rB。
（b）求圆柱体B剩余部分的质量m B剩；
【答案】①pA = = = = =3920帕
②（a）ρB = = =0.8×103千克/米3
（b）∆hA = = =0.1米
∆hB =∆hA
m B剩=m B =44千克
27．（2020年长宁、松江一模）24．如图11所示，水平地面上薄壁圆柱形容器甲、乙的底面积分别为2S、S，容器内分别盛有质量相等的水和酒精（ρ酒精=0.8×103千克/米3）。
①求甲容器中0.1米深处水的压强。
②若乙容器中酒精质量为2.4千克，求酒精的体积。
③若在乙容器内抽取0.2米深酒精后，酒精和水对容器底的压强相等，求甲中水的深度。
【答案】 3分
3分
③因为m水= m酒，S甲=2S乙，所以p酒=2p水。当抽取0.2米酒精后
压强相等，说明酒精的压强减小了一半，h′酒=Δh酒=0.2米 1分
1分
1分
二、在柱体甲上或柱形容器里液体乙里加物体丙
一、常见题目类型
1. 将一物体A分别浸没在容器甲的液体中（液体无溢出）、放在圆柱体乙上表面的中央（见图1）。
甲 乙
图2
甲
图1
乙
2. 将一实心物体A分别浸没于甲、乙液体中（液体无溢出）（见图2）
二、例题
【例题1】如图1所示，薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上。容器甲足够高、底面积为5×10﹣2米2，盛有质量为5千克的水。圆柱体乙的重力为160牛、底面积为8×10﹣2米2。
甲
图1
乙
① 求容器甲内水的体积V水。
② 求圆柱体乙对水平地面的压强p乙。
③ 若将一物体A分别浸没在容器甲的水中、放在圆柱体乙上表面的中央时，水对容器甲底部压强的变化量与圆柱体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA。
【答案】①5×10-3米3； ②2×103帕； ③1.6×103千克/米3。
【解析】
① V水＝m水/ρ水＝5千克/(1×103千克/米3)＝5×10-3米3
② p乙＝F乙/S乙＝G乙/S乙＝160牛/(8×10﹣2米2)＝2×103帕
③物体A浸没在容器甲的水中时，水对容器甲底部压强的变化量
Δp水＝r水gDh＝r水g（VA/S甲）
物体A放在圆柱体乙上表面的中央时，圆柱体乙对水平地面压强的变化量
Δp乙＝ΔF乙/S乙＝mAg /S乙＝rAgVA/S乙
因为Δp水＝Δp乙
r水g（VA/S甲）＝rAgVA/S乙
所以 ρA＝1.6×103千克/米3
【例题2】如图2所示，轻质圆柱形容器甲、乙置于水平地面上，甲盛有质量为m的水、乙盛有质量为3m的酒精，甲、乙的底面积分别为3S、5S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
甲 乙
图2
① 求甲容器中质量为2千克水的体积V水。
② 求乙容器中，0.1米深处酒精的压强p酒精。
③ 为使容器甲、乙对水平地面的压力相等，且两容器内液体对各自容器底部的压强相等，需将一实心物体A浸没于某一液体中（此液体无溢出），求物体A的质量mA与密度ρA。
【答案】①2×10-3米3；② 784帕；③2m；2.5ρ水。
【解析】
① V水=m水/ρ水=2千克/1×103千克/米3=2×10-3米3
② p酒精=ρ酒精gh=0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米=784帕
③因为容器甲、乙对水平地面的压力相等，
所以F甲= F乙 即 G甲= G乙 （m+mA）g=3mg
物体A的质量 mA=2m 把A放入甲容器水内。
水的压强 p液甲=ρ水gh水=ρ水g（h水原+Dh）
= p水原+ρ水gVA/3S
= mg/3S+ρ水gVA/3S
酒精的压强p液乙=ρ酒精gh酒精=3 mg/5S
因为 p液甲= p液乙 即 mg/3S+ρ水gVA/3S=3 mg/5S
所以 VA=4m/5ρ水
ρA= mA/ VA
=2m/4m/5ρ水
=2.5ρ水
三、练习题
1．如图1所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量均为m的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
① 求乙容器中0.1米深处酒精的压强p酒精。
② 现有物体A、B（其密度、体积的关系如下表所示），将两物体各放入合适的容器中（液体不会溢出），使甲、乙两容器对地面压强变化量的比值最大，求出该比值。
物体
密度
体积
A
2r
V
B
r
3V
甲 乙
图1
【答案】
① p酒精＝ρ酒精gh
＝0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝784帕
②把物体A放入甲容器中
甲容器对地面压强变化量△p甲＝F甲/ S甲＝GB/S =3ρg V /S
乙两容器对地面压强变化量△p乙＝F乙/ S乙＝GA/3S=2ρg V /2S
△p甲∶△p乙＝3ρg V /S∶2ρg V /2S＝3∶1
2．如图2所示，底面积为S1的均匀圆柱体A和底面积为S2的圆柱形容器B（足够深）置于水平地面上。已知知A的密度为2×103千克/米3，B中盛有重为200牛的液体。
图2
① 若A的体积为4×10-3米3，求A的质量mA。
② 若B的底面积为5×10-2米2，求液体对B容器底部的压强PB。
③现将质量为m，密度为ρ的甲物体分別放在A上面和浸没在B容器的液体中（液体求溢出），当圆柱体体A对桌面压强的变化量与液体对B容器底压强的变化量相等时，求B容器中液体的密度ρ液。
【答案】
① mA＝ρA VA
＝1.0×103千克/米3×4×10-3米3＝8千克
② FB＝GB
pB＝FB/ SB ＝200牛/ 5×10-2米2＝4000帕
③ ΔPA＝ΔPB
ΔFA/ S1＝ρ液gm/ρS2
ρ液＝ρS2/S1
3．如图3所示，水平地面上底面积分别为S、2S的轻质圆柱形容器中分别装有甲、乙两种液体，其质量、高度的关系如表一所示。
甲 乙
图3
表一
液体
质量
高度
甲
M
3h
乙
M
2h
表二
物体
质量
体积
A
10m
2V
B
9m
3V
① 若甲液体是水，高度为0.1米，求水对容器底部的压强p水。
② 求甲、乙两种液体的密度之比。
③ 现有物体A、B，其质量、体积的关系如表二所示。请在物体A、B和液体甲、乙中各选择一个，当把物体浸没在液体中（液体不会溢出），容器对水平地面压强变化量Δp1、液体对容器底部压强变化量Δp2。要求写出选择的液体和放入其中的物体，并求出Δp1比Δp2的最大值。（说明：②和③小题答题所涉及的物理量均用字母表示）
【答案】
①p水=ρ水gh=1.0×103kg/m3×9.8N/kg×0.1m=980Pa
②液体甲的质量：m甲=ρ甲V甲=ρ甲×S×3h
液体乙的质量：m乙=ρ乙V乙=ρ乙×2S×2h
m甲= m乙
则ρ甲×S×3h=ρ乙×2S×2h
解得，甲、乙两种液体的密度之比：
ρ甲：ρ乙=4：3
③对水平地面压强变化量 △P1=△F/ S= mg/S
液体对容器底部压强变化量 △p2=ρ液g△h =ρ液gV物/ S
要使比值最大，故应将A物体放入乙液体中
△P1：△P2 = mg/ρ液gV物= 20mSh/VM
4．如图4所示，柱形薄壁容器甲和均匀柱体乙放在水平地面上，它们的底面积分别为S、2S。已知甲容器中盛有0.3米高的水，柱体乙的质量为2千克。求：
①求甲容器中距水面0.1米处水的压强；
②若乙的体积为1×10-3米3，求乙的密度；
③现有物体A、B、C（其密度、体积的关系如下表所示），请选择其中的一个物体，把物体放入甲容器中（水不溢出）和放置在柱体乙上面，使甲容器底部受到水的压强变化量与柱体乙对地面压强变化量的比值最小，求这个最小比值。
物体
密度
体积
A
3ρ水
2V
B
2ρ水
V
C
0.5ρ水
V
图4
甲
乙乙
【答案】
①p水＝ρ水gh＝1×103kg/m3×9.8N/kg×0.1m＝980Pa
② ρ乙=m乙/V乙=2kg/(0.1m)3=2×103kg/m3
③ 选择A物体
△p甲/△p乙＝(△F甲/S甲)/(△F乙/S乙)＝(ρ水g×2V/S)/ (3ρ水g×2V/2S) ＝2/3
5．足够高的薄壁圆柱形容器甲内盛有0.2米深的水；体积为10-3米3的均匀实心圆柱体乙的质量为2千克；甲、乙均置于水平地面上。
①求水对甲容器底部的压强p水；
②求圆柱体乙的密度ρ乙；
③若甲、乙的底面积分别为S甲、S乙，现将另一底面积S丙的均匀实心圆柱体丙，分别浸没在甲的水中、叠放在乙的上表面正中央时，水对甲容器底部压强的变化量恰为丙对乙压强的0.5倍，求圆柱体丙的密度ρ丙。（用相关字母来表示）
【答案】
(1) p水=ρ水gh水=103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米=1960帕
(2)
(3 ) ①当S丙≤S乙时
② 同理：当S丙≥S乙时，
6．如图6所示，薄壁圆柱形容器甲、乙（足够高）的底面积分别为3S和2S，甲容器中装有0.3米深的水，乙容器中装有等高的某种液体，实心圆柱体丙的高度为7h（小于0.3米）。求：
① 水对甲容器底部的压强p水。
② 如果甲容器的底面积是0.02米2，求甲容器中水的质量m水。
图6
③ 现将丙分别放入甲、乙容器中，发现丙会竖直漂浮在甲容器的水中，且露出水面的高度恰好为h。丙在乙容器中会沉底，已知分别放入丙后水对甲容器底的压强增加量Dp水与液体对乙容器底的压强增加量Dp液之比是5∶7，求乙容器中液体的密度ρ液。
【答案】
①p水=ρ水gh水=1×103kg/m3×9.8N/kg×0.3m=2940Pa
②V甲=S甲h水=0.02 m2×0.3m=6×10-3m3
m水=ρ水V甲=1×103kg/m3×6×10-3m3=6kg
③由于丙竖直漂浮在甲容器的水中，根据漂浮条件可知：F浮=G丙
即：ρ水gV排水=ρ丙gV丙， ρ水gS丙（7h-h）=ρ丙gS丙×7h
ρ丙=6/7ρ水
则水对甲容器底的压力增加量△F甲=G丙=ρ丙gV丙
△p水=△F甲/ S甲=ρ丙gV丙/3S
由于丙在乙容器中会沉底，则液体对乙容器底的压力增加量
△F乙=G丙排=ρ液gV丙排=ρ液gV丙
△p液=△F甲/ S甲=ρ液gV丙/2S
△p水：△p液=5:7
ρ丙gV丙/3S ：ρ液gV丙/2S = 5:7
ρ液=800千克/米3
7．如图7所示，放置在水平桌面上的两个圆柱形容器，甲容器底面积为3×10-2米2，容器内放了正方体物块A；乙容器底面积为2×10-2米2，容器内装有深度为0.2米的水。求：
① 乙容器中水的质量m水。
② 水对乙容器底的压强p水。
图7
甲
乙
A
③ 现将某种液体倒入甲容器中，并使物块A正好浸没，此时液体对容器甲的压强为
p液。再将物块取出浸没在乙容器的水中，水面上升至0.25米（水未溢出）。p液恰好是水对容器乙压强变化量Δp水的1.5倍，求：液体密度ρ液。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1×103kg/m3×2×10-2m2×0.2m＝4kg
② p水＝ρgh=1×103kg/m3×9.8N/kg×0.2m=1960Pa
③ V水=S乙 △h =2×10-2m2×（0.25m-0.2m）=10-3m3
h=0.1m
p液＝1.5△p水
8．如图8所示，底面积为S1的均匀圆柱体A和底面积为S2的圆柱形容器B置于水平地面上。已知A的密度为2×103千克/米3，B中盛有重为200牛的液体。
① 若A的体积为4×10-3米3，求A的质量mA。
② 若B的底面积为5×10-2米2，求液体对B容器底部的压强pB。
③ 现将质量为m，密度为ρ的甲物体分别放在A上面和浸没在B容器的液体中(液体未溢出)，当圆柱体A对桌面压强的变化量与液体对B容器底压强的变化量相等时，求B容器中液体的密度ρ液。
A B
图8
【答案】
① mA＝ρA VA
＝1.0×103千克/米3×4×10-3米3＝8千克
② FB＝GB
pB＝FB/ SB
＝200牛/ 5×10-2米2＝4000帕
③ ΔPA＝ΔPB
ΔFA/ S1＝ρ液gm/ρS2
ρ液＝ρS2/S1
9．如图9所示，边长为0.1米均匀正方体甲和底面积为2´10-2米2的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器高0.3米，内盛有0.2米深的水。正方体甲的密度为5×103千克/
米3。求：
乙
甲乙
图9
①甲的质量。
②水对容器底部的压强。
③现分别把一个体积为3´10-3米3的物体丙放在正方体甲上方和浸没在乙容器内的水中，甲对地面压强的增加量恰好为乙容器对地面压强的增加量的2.5倍，求物体丙的密度。
【答案】
①m甲＝r甲V甲
＝5×103千克/米3×（0.5米）3＝5千克
② p水＝r水gh
＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米
＝1960帕
③
△p甲＝2.5△p乙
△F甲/S 甲＝2.5△F乙/S 乙
r丙V丙g/S 甲＝2.5（r丙V丙g-r水V溢g）/S乙
r丙＝5×103/3千克/米3
＝1.7×103千克/米3
10．如图10（a）所示，甲、乙两个相同的薄壁柱形容器放在水平地面上，容器中分别盛有质量相等的水和酒精，甲中水的深度为0.1米。
（a） 图10 （b）
①求甲中水对容器底的压强p水。
②若乙中酒精的质量为1.6千克，求酒精的体积V酒精（ρ酒精=0.8×103千克/米3）。
③现有足够数量的实心铁质圆柱形薄片（底面积为容器底面积的一半，厚度均为0.01米），如图10（b）所示。现选择适当数量的薄片按原叠放方式分别放入甲、乙容器中后（液体都不溢出），能使水和酒精对各自容器底的压强相等。
（a）若要求放入薄片的个数为最少，则应在甲中放入_______个，乙中放入_______个。
（b）若要求放入甲、乙中薄片的个数必须相等，求甲或乙中应放入薄片的最少个数
n最少。
【答案】
①p水＝ρ水gh＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
②V酒精=m／ρ=1.6千克/0.8×103千克/米3= 2×10-3米3
③（a）4，5
（b）
说明：③（b）有多种解法，过程合理且答案正确均可得分
11．如图11所示，薄壁轻质圆柱形容器甲和正方体乙置于水平地面上。容器甲高度为0.5米、底面积为1×10﹣2米2，里面盛有0.2米深的水。正方体乙的质量为16千克、体积为8×10﹣3米3。
图11
甲
乙
① 求乙的密度ρ乙。
② 求甲容器底部受到水的压强p水。
③ 若将一底面积为5×10﹣3米2的柱体A分别轻轻放入容器甲的水中、放在正方体乙上表面的中央时，使水对容器甲底部压强的变化量与正方体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA范围及对应的体积VA应满足的条件。
【答案】
① ρ乙=m乙/V乙=16kg/8×10-3 m3=2×103kg/m3
② p水＝ρ水gh＝1×103kg/m3×9.8N/kg×0.2m＝1960Pa
③ S甲/S乙＝1/4 h水最大=0.4米
∵△p甲＝△p乙， S甲＜S乙
∴△F甲＜△F乙 △F甲＜GA
当A物体浸没时，
△p甲＝△p乙
△F甲/S甲＝△F乙/S乙
ρ水gVA/S甲＝ρAgVA/S乙
ρA＝4ρ水 = 4×103kg/m3 VA≤2×10-3 m3
当A物体不浸没时，△h＝0.2米
△p甲＝△p乙
ρ水g△h＝mAg/S乙
mA＝8kg
VA＞2×10-3 m3
1×103kg/m3＜ρA＜4×103kg/m3
12．如图12所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量均为m的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
① 求乙容器中0.1米深处酒精的压强p酒精。
② 现有物体A、B（其密度、体积的关系如下表所示），请在物体A、B和容器甲、乙中各选择一个，当把物体放入容器中后（液体不会溢出），可使容器对水平地面的压力最大且压强最大。求该最大压力F最大和最大压强p最大。（本小题答题所涉及的物理量均用字母表示）
物体
密度
体积
A
5r
2V
B
3r
3V
甲 乙
图12
【答案】
① p酒精=ρ酒精g h酒精
=0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米3
=784帕
② F最大=G最大=(10ρV＋m)g
13．如图13所示，边长为0.2米的正方体甲和底面积为0.03米2的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器高0.4米，内盛有0.3米深的水。正方体甲的密度为5×103千克/米3。求：
乙
甲乙
图13
① 甲的质量；
② 水对乙容器底部的压强；
③ 把一个底面积为0.02米2，高0.3米圆柱体A（已知r水＞rA）先后放置在正方体甲上和乙容器的水中，甲对地面压强的增加量与水对乙容器底部的压强增加量相等，求A物体的质量。
【答案】
① m甲＝ρ甲V甲＝5×103kg/m3×(0.2m)3＝40 kg
② p水＝ρ水gh＝1×103kg/m3×9.8N/kg×0.3m＝2940Pa
③ △p甲＝△p乙
△F甲/S甲＝ρ水g△h
GA/S甲＝ρ水g(h容－h水)
mA＝ρ水 S甲(h容－h水)
mA＝1×103kg/m3×(0.2m)2×(0.4m－0.3m)
mA＝4kg
14．如图14所示，质量均为2.4千克的薄壁圆柱形容器A和B放在水平地面上，底面积分别为2×10－2米2和1×10－2米2。容器A中盛有0.1米高的水，容器B中盛有质量为1.6千克的酒精。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）求：
A
水
酒精酒精
B
图14
①容器B中酒精的体积V酒精。
②容器B对水平地面的压强pB。
③现有质量相等的甲、乙两实心物块，若将甲浸没在水中、乙浸没在酒精中后，两液体均未溢出，且两液体各自对容器底部压强的变化量相等，求甲、乙的密度ρ甲、ρ乙之比。
【答案】
①V酒精＝m酒精/ ρ酒精
＝1.6千克/0.8×103千克/米3
＝2×10-3米3
②FB＝G总＝m总g＝（m酒精+mB）g
＝（2.4千克＋1.6千克）×9.8牛/千克＝39.2牛
pB＝FB/SB
＝39.2牛/1×10－2米2＝3920帕
③Dp水＝Dp酒精
ρ水gDh水＝ρ酒精gDh酒精
ρ水gDV水/SA＝ρ酒精gDV酒精/SB
ρ水gV甲/SA＝ρ酒精gV乙/SB
ρ水gm甲/（ρ甲SA）＝ρ酒精g m乙/（ρ乙SB）
ρ甲：ρ乙＝ρ水SB：ρ酒精SA
＝（1000千克/米3×1×10－2米2）：（0.8×103千克/米3×2×10－2米2）
＝5:8
15．如图15所示，水平地面上的完全相同的轻质圆柱形容器甲、乙，高0.12米、底面积0.05米2，它们分别盛有质量为5千克的水和4.4千克的盐水（已知ρ盐水＝1.1×103千克/米3）。求：
图15
（1）水对容器底部的压强；
（2）乙容器中盐水的体积；
（3）现有实心物体A、B，A的质量为2千克、体积为0.001米3，B的质量为2.5千克、体积为0.002米3。请从A、B中选择一个物体浸没在合适的容器中，使该容器对地面的压强变化量最小，并求出容器对地面的压强变化量的最小值。
【答案】
（1）F= G=mg =5千克×9.8牛/千克=49牛
p＝F /S =49牛/0.05米2=980帕
（2）V =m/ρ =4.4千克/1.1×103千克/米3=4×10-3米3
（3）B放入甲
G物=mg =2.5千克×9.8牛/千克=24.5牛
G排=ρ液V排g=1.0×103千克/米3×1.0×10-3米3×9.8牛/千克=9.8牛
Δp最小＝ΔF最小/S= (G物- G排) /S
=14.7牛/0.05米2
=294帕
16．如图16所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量均为m的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
甲 乙
图16
① 若乙容器中酒精的质量为1.6千克，求酒精的体积V酒精。
② 求甲容器中0.1米深处水的压强p水。
③ 将同一物体分别浸没在两液体中时，液体不溢出。若水和酒精对容器底部压强的变化量分别为Dp水、Dp酒，求Dp水与Dp酒的比值。
【答案】
① V酒＝m酒/ρ酒
＝1.6千克/0.8×103千克/米3
＝2×10-3米3
② p水＝ρ水gh
＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米
＝980帕
③ △p水∶△p酒＝（ρ水g V物 ）/S∶（ρ酒g V物 ）/2S＝5∶2
17．如图17所示，装有水的薄壁轻质圆柱形容器底面积为1×10－2米2，静止在水平面上。
①若容器内水的体积为2×10－3米3，求水的质量m水和水对容器底部的压强p水。
图17
物体
密度
体积
A
ρ
2V
B
3ρ
V
②若容器内水的质量为m，现有物体A、B（其密度、体积的关系如右表所示），请选择一个，当把物体浸没在水中时（水不会溢出），可使水对容器底部压强p′水与水平地面受到的压强p′地的比值最小。
选择______物体（选填“A”或“B”）。求p′水与p′地的最小比值。（用m、ρ水、ρ、V表示）
【答案】
①m水＝ρ水V水
＝1×103千克/米3×2×10－3米3
＝2千克
p水＝F水/s＝m水g/s
＝（2千克×9.8牛/千克）/1×10－2米2
＝1960帕
② B；
p′水：p′地＝（p水＋ Δp水）：（p地＋ Δp地）
＝（m＋ρ水V）：（m＋3ρV）
18．（2020年普陀一模）21．如图11所示，轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上。容器甲底面积为5×10﹣2米2。圆柱体乙的重力为180牛、底面积为6×10﹣2米2。容器甲中盛有质量为4千克的水。
① 求容器甲中水的体积V水。甲
图11
乙
② 求圆柱体乙对水平地面的压强p乙。
③ 若将一物体A分别浸没在容器甲的水中（水未溢出）、放在圆柱体乙上表面的中央时，水对容器甲底部压强的变化量与圆柱体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA。
【答案】① V水＝ m水/ ρ冰 ＝4千克/ 1.0×103千克/米3＝4×10-3米3 2分
② p乙＝ F乙/ S乙 ＝G乙/ S乙＝180牛/ 6×10-2米2＝3000帕 3分
Δp＇甲＝Δp＇乙
ρ水gh＇－ρ水gh＝F＇乙/ S乙 －F乙/ S乙
ρ水g V物/ S甲＝m物g/ S乙
m物/V物＝ρ水S乙/ S甲
ρ物＝1.0×103千克/米3×6×10-2米2/ 5×10-2米2＝1.2×103千克/米3 4分
19．（2020年青浦一模）24．如图9所示，薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上。甲的底面积为2×10﹣2米2。乙的重力为60牛、底面积为3×10﹣2米2。
甲
图9
乙
① 求圆柱体乙对水平地面的压强p乙。
② 若将一物体A分别浸没在容器甲的水中（水未溢出）、放在圆柱体乙上表面的中央时，水对容器甲底部压强的变化量与圆柱体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA
【答案】① p乙＝F乙/S乙＝G乙/S乙＝60牛/3×10-2米2＝2000帕
② Δp＇甲＝Δp＇乙
ρ水gh＇－ρ水gh＝F＇乙/ S乙 －F乙/ S乙
ρ水g V物/ S甲＝m物g/ S乙
m物/V物＝ρ水S乙/ S甲
ρ物＝1.0×103千克/米3×3×10-2米2/ 2×10-2米2＝1.5×103千克/米3
三、柱体切割后浸入液体中，无液体溢出
一、常见题目类型
1．将柱形物体沿水平方向切去某一厚度（体积或质量），并将切去部分浸没在容器的液体中（图1）。
图1
乙
甲乙
甲乙
乙
图2
2．将柱形物体沿竖直方向切去某一厚度（体积或质量），并将切去部分浸没在容器的液体中（图2）。
二、例题
【例题1】如图1所示，均匀长方体甲和薄壁圆柱形容器乙置于水平地面上。长方体甲的底面积为3S。容器乙足够高、底面积为2S，盛有体积为5×10-3米3的水。
图1
乙
甲乙
① 若甲的重力为20牛，底面积为5×10-4米2，求甲对地面的压强p甲。
② 求乙容器中水的质量m水。
③ 若将甲沿水平方向切去厚度为h的部分，并将切去部分浸没在乙容器的水中时，甲对水平地面压强的变化量Δp甲恰为水对乙容器底部压强增加量Δp水的2倍。求甲的密度ρ甲。
【答案】①40000帕；②5千克；③3×103千克/米3。
【解析】
① F甲=G甲=20牛
p甲＝F甲/S甲＝20牛/5×10-4米2＝ 40000帕
② m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×5×10-3米3＝5千克
③ 甲对水平地面压强的变化量Δp甲即为切去厚度为h部分的压强
Δp甲＝ΔF甲/S甲＝r甲gh
水对乙容器底部压强增加量Δp水为
水升高的高度 Dh水＝3Sh/2S
Δp水＝r水gDh水＝r水g（3Sh/2S）
因为 Δp甲＝2Δp水
r甲gh ＝2r水g（3Sh/2S）
所以ρ甲＝3×103千克/米3
【例题2】如图2所示，底面积为10-2米2、高为0.4米长方体甲（ρ甲＝2×103千克/米3）和底面积为2×10-2米2的薄壁柱形容器乙放在水平地面上。乙容器足够高，内盛有0.1米深的水。
图2
甲乙
乙
（1）求甲的质量m甲。
（2）求水对乙容器底部的压强p水。
（3）现沿水平方向将长方体甲截取一定的厚度，并将截取部分竖直放入乙容器中，使得水对容器底部的压强最大，且长方体甲对地面的压强减少量最小，请求出甲对地面的压强减少量。
【答案】①8kg ； ② 980Pa ； ③ 3920Pa 。
【解析】
① m甲＝ρ甲V甲＝2×103kg/m3×1×10-2m2×0.4m＝8kg
② p水＝ρgh=1×103kg/m3×9.8N/kg×0.1m=980Pa
③ 注意只有切割部分恰好浸没在水中时，水对容器底部的压强最大，甲对地面的压强减少量最小（见图3）。
甲乙
图3
乙
设水面最终深度为h'，得：S乙h'=V水+ΔV甲
S乙h'=V水+S甲h' 2×10-2m2×h'= 2×10-2m2×0.1m+1×10-2m2×h'
得h'=0.2m
ΔV甲=2×10-2m2×(0.2m-0.1m)=2×10-3m3
△h甲=△V甲/S甲=2×10-3m3/10-2m2=0.2m
Δp甲＝ρgΔh=2×103kg/m3×9.8N/kg×0.2m=3920Pa
三、练习题
1．如图1所示，薄壁柱形容器甲静止在水平地面上，容器底面积为S，内盛有质量为2千克的水。
图1
甲 乙
①求水的体积V水。
②求水对容器底部的压力F水。
③若圆柱体乙的体积为V乙，密度为2ρ水，现将其沿水平方向截去一部分，并将截去部分浸没在甲容器的水中（水不溢出），使水对容器底部压力的增加量∆F水等于乙剩余部分对地面的压力F乙′，求乙截去的体积∆V。（用字母表示）
【答案】①2×10-3m3； ②19.6N； ③2/3V乙。
【解析】
① V水=m水／ρ水=2千克/1.0×103千克/米3= 2×10-3米3
② F= G水= m水＝2千克×9.8牛/千克＝19.6牛
③ △F水 =F乙´
△P水S= G´乙
ρ水g△h 水S=ρ乙g（V乙-△V）
ρ水g△V =2ρ水g（V乙-△V）
△V=2/3 V乙
2．如图2所示，薄壁圆柱形容器甲和均匀圆柱体乙置于水平地面上。甲足够高、底面积为3S，其内盛有体积为3×10-3米3的水；乙的底面积为S，所受重力为G。
甲乙
乙
图2
①求甲中水的质量。
②求乙对水平地面的压强p乙。
③现沿水平方向在圆柱体乙上截去一定的厚度，并将截去部分放入甲的水中，乙剩余部分的高度与容器甲中水的深度之比为h乙¢∶h水¢为3∶2，且乙剩余部分对水平地面的压力等于水对甲底部的压力，求乙的密度ρ乙。
【答案】 ①3千克；② G/S；③ 2000千克/米3。
【解析】
① m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×3×10-3米3＝3千克
② P乙＝F乙/ S乙＝G/S
③ F水 =F乙´
P水3S= G´乙
ρ水g h水¢3S=ρ乙g h乙¢ S
ρ乙=2ρ水2000千克/米3。
3．如图3所示，质量为2千克，边长为0.1米均匀正方体甲和底面积为的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器足够高，内盛有0.1米深的水。
图3
甲
乙
（1）求正方体甲的密度；
（2）求水对乙容器底部的压强；
（3）现将甲物体水平或竖直切去一部分，并将切去部分浸入水中，其中能使正方体甲对地面的压强等于水对乙容器底部的压强的是 （选填“水平切”或“竖直切”）；请通过计算算出切去部分的质量。
【答案】（1）2´103千克/米3 （2）980帕 （3）0.89千克
【解析】
（1）ρ=m /v=2千克/0.001米3=2´103千克/米3
（2）P=ρgh=1´103千克/米3´0.1米´9.8牛/千克=980帕
（3）水平切去一部分；
P甲=P乙
（m甲-△m）g/S甲=ρ乙g（h乙+△m/ρ甲/ S乙）
（2千克-△m）/0.01米2=1000千克/米3（0.1米+△m/2000千克/米3/ 0.04米2）
△m=0.89千克
4．如图4所示，薄壁圆柱形容器甲和均匀圆柱体乙置于水平地面上。
图4
①若甲中盛有质量为3千克的水，求水的体积V水及水对甲底部的压力F水。
②若容器甲足够高、底面积为2S，其内装有深为H、密度为ρ的液体；圆柱体乙的底面积为S、高h。现将乙沿水平方向在上部切去一半，并将切去部分浸没在甲的液体中，此时液体对甲底部压强P恰等于乙剩余部分对水平地面压强P乙。求乙的密度ρ乙。
【答案】①3千克 ②980帕 ③2×103千克/米3
【解析】
①m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×3×10-3米3＝3千克
②p水＝r水gh水＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
③ p乙＝4Δp水
r乙gh乙＝4r水gDh水
r乙h乙＝4r水（V排/ S甲）
r乙h乙＝4r水（S乙h乙/ S甲）
r乙＝4r水（S乙/ S甲）
=2×103千克/米3
5．如图5所示，轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上。甲的底面积为0.01米2（容器足够高），盛有0.2米深的水；圆柱体乙的底面积为0.005米2、高为0.8米，密度为2×103千克/米3。
图5
0.2米
0.8米
乙
①求水对甲容器底的压强p水。
②求乙的质量m乙。
③若在乙上方沿水平方向切去一部分，并将切去部分竖直放在甲容器内，使甲容器对地面的压力等于乙剩余部分对地面的压力，求甲容器底部受到水的压强变化量Δp甲。
【答案】①1960帕； ②8千克； ③1470帕 。
【解析】
① p水＝ ρ水g h＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米 ＝1960帕
② m乙＝ρ乙V乙＝2×103千克/米3×4×10-3米3＝8千克
③ F甲＝F乙 G水+ DG乙＝G乙－DG乙
m水+ Dm乙＝m乙－Dm乙 2千克+Dm乙＝8千克－Dm乙
Dm乙＝3千克
DV乙＝Dm乙/ρ乙＝1.5×10-3米3
Dh乙＝DV乙/S乙＝0.3米 Dh水＝DV乙/S甲＝0.15米
∵h水＝0.35米＞Dh乙 ∴切下部分浸没
Dp甲＝ ρ水g Dh水＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.15米
＝1470帕
6．如图6所示，柱形容器A和均匀柱体B置于水平地面上，A的底面积为，盛有体积为的水，B受到的重力为200牛，B的底面积为。
图6
A
B
（1）求A中水的质量。
（2）求B对水平地面的压强。
（3）现沿水平方向在圆柱体B上方截去一定的厚度，将截去的部分浸没在A容器的水中，此时水对A容器底部的压强变化量等于B对水平地面的压强变化量，求B的密度。
【答案】（1）6千克； ( 2 ) 5000帕；（3）800千克/米3
【解析】
（1） m=ρv= 1000千克/米3×6×10-3米3=6千克
( 2 ) p =F/S=G/S=200牛/(4×10-2米2)=5000帕
（3）根据题意，△P水= △PB
ρ水gΔV物/SA= ρBgΔV物/SB
代入数据，化简可得：
ρB=800千克/米3
7．如图7所示，均匀圆柱体A和薄壁柱形容器B置于水平地面上。容器B的底面积为2×10-2米2，其内部盛有0.2米深的水，求：
B
截取厚度
Δp水（帕）
Δp地
（帕）
△h
980
1960
图7
A
① 水对容器B底部的压强p水；
② 容器中水的质量m水；
③ 现沿水平方向在圆柱体A上截取一定的厚度△h，并将截取部分浸没在容器B水中（无水溢出），容器底部压强的增加量Δp水和容器对水平地面压强的增加量Δp地如下表所示。求圆柱体A的密度ρA。
【答案】
（1） p水＝ρ水gh＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕
（2） m水＝ρ水V水
＝1×103千克/米3×2×10－2米2×0.2米
＝4千克
（3） ⊿G1＝⊿F＝Δp地SB＝1960帕×2×10-2米2 ＝39.2牛
∴⊿m1＝⊿G1/g＝4千克
⊿p水＝ρ水g⊿h
980帕＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×⊿h
⊿h＝0.1米
∴⊿V1＝SB⊿h＝2×10－2米2×0.1米＝2×10－3米3
ρ＝⊿m1/⊿V1＝4千克/2×10－3米3＝2×103千克/米3
8．如图8所示，足够高的薄壁柱形容器A和均匀圆柱体B置于水平地面上。A中盛有体积为2×10-3米3的水，B物体重为20牛，底面积为2×10-2米2。
图8
A
B
① 求A中水的质量m水。
② 求B对水平地面的压强pB。
③ 现将圆柱体B沿水平方向均匀分成若干等份，逐个将每一等份放入容器A中并叠成柱形，直至全部放入容器A。下表记录的是上述过程中水对容器底部的压强p水和容器对桌面的压强p容。
未放入
放入一块
……
……
全部放入
p水（帕）
490
588
……
882
980
p容（帕）
540
640
……
940
1040
请根据上述信息求出容器A的重力G容和圆柱体B的体积VB。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×2×10-3米3＝2千克
② pB＝FB/SB＝GB/SB＝20牛/2×10-2米2＝1×103帕
③ 由 p水＝ρ水gh水 h水＝p水/ρ水g＝5×10-2米 S容＝V水/ h水＝4×10-2米2
由 p容＝F容/S容＝（G容+ G水）/S容
则 G容＝（p容−p水）S容＝2牛
由于每放入一块p容均相等，可判断B最后浸没在水中
由 Dp水＝ρ水gDh＝（pN−p1）
Dh＝（pN−p1）/ρ水g＝5×10-2米
VB＝S容 Dh＝4×10-2米2×5×10-2米＝2×10-3米3
9．如图9所示，薄壁圆柱形容器甲和均匀圆柱体乙置于水平地面上。容器甲足够高、底面积为2S，盛有体积为3×10－3米3的水。圆柱体乙的高为H。
甲乙
乙
图9
①求甲中水的质量m水。
②求水面下0.1米处水的压强p水。
③若将乙沿竖直方向在右侧切去一个底面积为S的部分，并将切去部分浸没在甲容器的水中时，乙剩余部分对水平地面压强p乙恰为水对甲底部压强增加量Δp水的四倍。求乙的密度ρ乙。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×3×10-3米3＝3千克
②p水＝r水gh水＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
③ p乙＝4Δp水
r乙gh乙＝4r水gDh水
r乙H＝4r水（V排/ S甲）
r乙H＝4r水（S H/ 2S）
r乙＝2r水＝2×103千克/米3
10．（2020年杨浦一模）25. 如图15所示，薄壁轻质柱形容器甲与实心柱体乙放置在水平地面上。容器甲中装有水，容器甲的底面积是柱体乙的2倍。在乙的上部沿水平方向切去一部分，并将切去部分浸没在容器甲的水中，水不溢出，此时容器中液面高度与剩余柱体乙的高度相同。下表记录的是放入前后水对容器底部的压强以及切去前后乙对地面的压强。
① 求容器中水增加的深度Δh水。
② 求剩余乙对地面的压强p0。
甲 乙
图15
放入前
放入后
p水(帕)
490
980
切去前
切去后
p乙(帕)
3920
p0
【答案】①
②
。
44
44
一、柱体切割、液体抽取（倒入）
一、常见题目类型
1．在柱形物体沿水平方向切切割：切去某一厚度（体积或质量）（图1）。
图2
A
B
A
图3
B乙
图1
甲
乙
2．在柱形容器中抽取（或加入）液体：某一深度（体积或质量）（图2）。
3．在柱形固体切去一部分，同时在柱形容器的液体中抽取（或加入）液体：某一深度（体积或质量）（图3）。
二、例题
【例题1】如图1所示，实心均匀正方体甲、乙放置在水平地面上，它们的重力G均为90牛，甲的边长a为0.3米，乙的边长b为0.2米。求：
图1
甲
乙
正方体甲对地面的压强p甲；
② 若沿水平方向将甲、乙截去相同的厚度Δh后，它们剩余部分对地面的压强p甲′和p乙′相等，请计算截去的厚度Δh。
【答案】①1000帕；②0.16米。
【解析】
p甲＝F甲/s甲＝G /a2＝＝90牛/9×10-2米2＝1000帕
② 先比较原来两个立方体压强的大小关系：它们的重力G均为90牛，对地面的压力均为90牛，因为甲的底面积大于乙的底面积，根据p=F/S=G/S
所以原来两个立方体的压强 p甲´ ＜p乙´。
可以先求出甲乙两立方体密度的大小关系：
它们的重力G均为90牛，所以m甲=m乙 ρ甲V甲=ρ乙V乙
ρ甲（0.3米）3 = ρ乙（0.2米）3
甲乙两立方体密度的大小关系ρ甲︰ρ乙=8︰:27
设截去的厚度Δh时，它们剩余部分对地面的压强相等，即
p甲´＝p乙´
ρ甲g（a−Δh）＝ρ乙g（b−Δh）
8 ×（0.3米−Δh）=27 ×（0.2米−Δh）
Δh=0.16米
【例题2】（2019上海中考题）如图7所示，足够高的薄壁圆柱形容器甲、乙置于水平桌面上，容器甲、乙底部所受液体的压强相等。容器甲中盛有水，水的深度为0.08米，容器乙中盛有另一种液体。
①若水的质量为2千克,求容器甲中水的体积V水。
②求容器甲中水对容器底部的压强P水。
③现往容器甲中加水,直至与乙容器中的液面等高，此时水对容器底部的压强增大了196帕，求液体乙的密度ρ液。
甲 图7 乙
【答案】①2×10-3米3；②784帕；③800千克/米3。
【解析】
① V水=m水／ρ水=2千克/1.0×103千克/米3= 2×10-3米3
② p水＝ρ水gh
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.08米
＝784帕
③ 由甲水对容器底部的压强增大了196帕 可求增加的水的深度△h水：
△P水=ρg△h
△h水=△p水 /（ρ水g）
=196帕/（1000千克/米3×9.8牛/千克）
=0.02米
容器乙中盛液体的深度：h乙= h水'=h水+△h水=0.08米+0.02米 = 0.1米
根据容器甲、乙底部所受液体的压强相等可求液体的密度：
p水＝p乙
ρ水gh水=ρ乙gh乙
1000千克/米3×0.08米=ρ乙0.1米
ρ乙=800千克/米3
【例题3】相同的薄壁圆柱形容器甲、乙置于水平桌面上。甲中盛有水,乙中盛有另一种液体,水和液体的质量均为4千克。现分别从甲、乙容器中抽出相同体积的液体,下表为抽出液体前后两容器底部受到的液体的压强。
①问抽出液体前乙容器底部受到的液体的压强p液,并说明理由。
②求乙容器中抽出液体的质量△m液。
容器底部受到的液体压强
抽出液体前
抽出液体后
p甲水（帕）
1960
980
p乙液（帕）
1078
③求乙容器中液体的密度ρ液。
【答案】
①p液=1960帕；p = = =
水、液体的质量、底面积均相等；
p液 = p水 = 1960帕
②1.8千克；③0.9×103千克/米3。
【解析】
① 注意利用压强的公式进行推导即可，没有必要计算。
p = = = 因为水与液体的质量、底面积均相等，
所以 p液 = p水 = 1960帕
②因为水的密度是已知的可以通过水的压强计算容器的底面积S甲：
p水＝F/S甲＝G水/S甲＝1960帕
S甲＝0.02米2 S乙＝0.02米2
根据液体减小的压强可以计算出减小的压力即抽出的液体的重力，从而得出抽出的液体的质量：
Dp液＝p前－p后＝DF水/ S容液＝ΔG水/ S液＝Δm液g / S液
Δm液=1.8千克
③因为抽出水的体积与抽出液体的体积相等，所以水和液体下降的高度Δh相同
Δ p水=1960帕－980帕=980帕
Δ p液=1960帕－1078帕=882帕
Δh＝Δ p水/ρ水g
＝980帕/1×103千克/米3×9.8牛/千克＝0.1米
ρ液＝Δp＇液/ gΔ h
＝882帕/0.1米×9.8牛/千克
ρ液＝0.9×103千克/米3
三、练习题
1．如图1所示，均匀实心圆柱体A和盛有水的轻质薄壁圆柱形容器B置于水平地面上，它们的底面积分别为S和3S，B容器内水的质量为6千克。
对水平地面或容器底部的压强
切去A或抽出
液体前
切去A或抽出液体后
PA（帕）
1960
490
P水（帕）
1960
980
A
图1
B乙
① 求B容器中水的体积V水。
② 现沿水平方向切去A并从B容器中抽出水，且切去A和抽出水的体积相同，圆柱体A对水平地面和水对容器底部的压强关系如表：
（a）求圆柱体A切去前的质量mA；
（b）求圆柱体A的密度。
【答案】①6×10-3米3 ； ② (a) 2千克； (b) 0.5×103千克/米3
【解析】
① V水＝m水/ρ水＝6千克/1×103千克/米3＝6×10-3米3
② (a) 圆柱体A切去前的压强与水的压强相等；且是柱形容器
所以F＝G＝mg
pA＝p水
mAg/S＝m水g/3S
mA＝m水/3＝6千克/3＝2千克
(b) 因为P’水＝1/2P水
所以 △V水＝V水/2＝3×10-3米3
即 △VA＝△V水
△VA＝3/4VA
VA＝2/3 V水 ＝4×10-3米3
ρA＝mA/VA＝2千克/4×10-3米3
＝0.5×103千克/米3
2．质量、底面积均相等的均匀圆柱体M、N竖直置于水平地面上，M的质量为40千克，N的密度为3.6×103千克/米3。
② 现分别从圆柱体M、N的上部沿水平方向截取相同的体积，截取前后两圆柱体对地面的部分压强值记录在表中。
① 求圆柱体M对地面的压力FM。
圆柱体对地面的压强
截取前
截取后
pM（帕）
3920
1960
pN（帕）
2156
（a）问截取前圆柱体N对地面的压强pN，并说明理由。
（b）求圆柱体N被截取部分的高度∆hN和质量∆mN；
【答案】①392牛；②（a）3920帕；（b）0.05米；18千克。
【解析】
① FM=GM= mMg =40千克×9.8牛/千克=392牛
②（a）根据P=F/S=G/S=mg/S
因为M、N的质量、底面积均相等
所以 pN = pM = 3920帕
（b）△P=ρg△h
∆hN = = =0.05米
∆mN = mN = =
∆mN = mN = ×40千克= 18千克
3．边长为0.2米和0.1米的甲、乙两个实心正方体放在水平地面，甲的密度为4×103千克/米3，乙的质量为2千克。
① 求甲对地面的压强p甲；
② 求乙对地面的压力F乙；
③ 为使甲、乙对地面压强相同，小李设想将甲、乙分别沿水平方向和竖直方向切去相同厚度h，请通过计算判断是否可行。
【答案】①7840帕；② 19.6牛；③不可行。
【解析】
① 正方体放在水平地面上
P甲=F/S=ρ甲gh甲＝4×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝7840帕
② F乙＝G乙＝m乙g＝2千克×9.8牛/千克＝19.6牛
③乙沿竖直方向切割压强不变 P乙＝F乙/ S乙＝1960帕
原来压强 P甲︰P乙＝4︰1
现在 P甲′＝P乙
ρ甲g（h甲−h）＝P乙
P甲−ρ甲g h＝P乙
P甲−ρ甲g h＝P甲/4
h＝3 h甲/4＝0.15米
因为h＞h乙，所以不可行。
4．甲、乙两个完全相同的轻质圆柱形容器放在水平地面上，甲中盛有0.3米深的水，乙中盛有1×10-2米3的酒精。(酒精的密度为0.8×103千克/米3)
①求水对甲容器底部的压强p水；
②求乙容器中酒精的质量m洒；
③若容器的底面积均为2×10-2米2，从两容器中均抽出2×10-3米3的液体后，求两容器对水平地面的压强之比p甲:p乙。
【答案】
① p水=ρ水gh水=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.3米=2940帕
② m酒=ρ酒V酒=0.8×103千克/米3×1×10-2米3=8千克
③
5．如图5所示，置于水平桌面上的A、B是两个完全相同的薄壁柱形容器，质量为0.5千克，底面积为0.01米2，分别装有体积为2.5×10﹣3米3的水和深度为0.3米的酒精，（ρ酒精=0.8×103千克/米3）。求：
图5
A
B
① 水的质量m水。
② A容器对水平桌面的压强pA。
③ 若在两个容器中抽出相同深度的液体△h后，两容器中液体对底部的压强相等，请计算出△h的大小。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1.0×103千克/米3×2.5×10-3米3＝2.5千克
② FA＝GA＝mAg＝（2.5千克＋0.5千克）×9.8牛/千克＝29.4牛
pA=FA/SA＝29.4牛/0.01米2 =2940帕
③ p水′＝ ρ水g h 水′=ρ水g（h 水—∆h）
p酒′＝ ρ酒g h酒′=ρ酒g（h 酒—∆h）
p水′=p酒′
ρ水g（0.25米—∆h）=ρ酒g（0.3米—∆h）
∆h＝0.05米
6．如图6所示，质量为240千克，边长分别为0.3米、0.4米和1米的实心长方体竖立在水平地面上。
0.3米
0.4米
1米
图6
（1）求该长方体的密度ρ。
（2）若沿竖直（或水平）方向将长方体一分为二，再将它们重新放置在水平地面上，使得地面受到的压力大小不变、地面受到的压强均匀且比切割前的压强要小些。
(a)请你说明一种满足上述要求的切割部位和放置方式。
(b)求出它对水平地面的最小压强p最小。
【答案】（1）2×103千克/米3；（2）2352帕。
【解析】
（1） V＝a×b×h＝0.3米×0.4米×1米＝0.12米3
ρ=m/V＝240千克/0.12米3＝2×103千克/米3
（2） (a) 若在长方体的中部沿水平方向将长方体切割成两个完全相同的长方体，再将它们并排放置在水平地面上，则地面受到的压力仍为原来长方体的重，而地面受到压力的受力面积为原来的两倍，因此一句根据压强定义式p′＝F′/S′＝G0/（2S0）＝P0/2＜P0
(b)沿着顶部长方形的对角的连线，顺着竖直方向向下切割，使一个长方体变为两个完全相同的三棱柱，再将它们的截面与地面接触、且并排放置在水平地面上，这样地面受到的压力仍为原来长方体的重，而地面受到压力的受力面积为最大
S最大＝2（ ）h
＝2（ ）×1米＝1米2
F= m0g=240千克×9.8牛/千克=235.2牛
p最小＝F/S最大=235.2牛/1米2 = 2352帕
7． 如图7所示，均匀立方体A和薄壁柱形容器B置于水平地面上，已知A的体积为1×10-3米3，密度为2×103千克/米3；B的底面积为6×10-2米2，其内部盛有质量为6千克的某种液体。
A
B
图7
⑴求立方体A的质量mA。
⑵求液体对容器B底部的压强p液。
⑶若从B容器内抽出2千克液体，求此刻立方体A对水平地面的压强与液体对B容器底部压强之比pA∶p′液。
【答案】
(1) mA＝ρA×VA＝2×103千克/米3×1×10-3米3＝2千克；
（2）p液＝＝＝＝＝9.8×102帕；
（3） ＝＝＝
∴ pA∶p′液＝3∶1
8．如图8所示，均匀圆柱体甲和盛有液体乙的圆柱形容器分别置于高度差为h的两个水平面上。甲物高为5h、底面积为S甲；圆柱形容器高度为7h，液体乙深度为6h、底面积为S乙（S甲=2S乙）、体积为5×10-3米3（ρ乙＝0.8×103千克/米3）。求：
①液体乙的质量m乙。
②距离液面0.1米深处的液体内部压强P乙。
图8
4h
M
N
甲
乙
③如图所示，若沿图示水平面MN处切去部分甲物，从容器中抽取部分乙液体至水平面MN处，发现二者质量的变化是一样。现从甲的上部继续沿水平方向截去高度△h后，甲对水平地面压强为P’甲；向容器中加入深度为△h的液体乙后，乙对容器底部的压强为P’乙。请通过计算比较P’甲和P’乙的大小关系及其对应的△h取值范围。
【答案】
① m乙＝ρ乙V乙＝4千克
② P乙＝ρ乙gh＝0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米=784帕
③ 根据二者质量的变化是一样，可求甲、乙密度间的关系
ρ甲ghS甲＝ρ乙g·3h·S乙
即ρ甲：ρ乙＝3:2
设P’甲＝P’乙
ρ甲g（4h-△h）＝ρ乙g（3h+△h）
可得：△h＝1.2h
若0<△h≤1.2h，则 P’甲≥P’乙
若1.2h <△h<4h，则 P’甲
① A中水的质量m水。
② B对水平地面的压强pB。
图9
A
B
③ 现沿水平方向在圆柱体B上截去一定的厚度，B剩余部分的高度与容器A中水的深度之比hB¢∶h水为2∶3，且B剩余部分对水平地面的压强等于水对容器A底部的压强，求B的密度ρB。
【答案】
① m水＝ρ水V水
＝1×103千克/米3×6×10-3米3＝6千克
② pB＝FB/SB ＝GB/SB
＝250牛/5×10-2米2 ＝5×103帕
③ pB′＝p水 rBghB′＝r水gh水
10．如图10所示，柱形容器A和均匀柱体B置于水平地面上，A中盛有质量为5千克的水，B受到的重力为200牛，B的底面积为。
A B
图10
（1）求A中水的体积；
（2）求B对水平地面的压强；
（3）现沿水平方向在圆柱体B上截去一定的厚度，B剩余部分的高度与容器A中水的深度之比水为，且B剩余部分对水平地面的压强大于水对容器A底部的压强，求B的密度的范围。
【答案】
（1）v = m/ρ = 5千克/1000千克/米3=5×10-3米3
( 2 ) p =F/S=G/S =200牛/(5×10-2米2) =4000帕
（3）根据题意，pB′＞p水 ρBghB＞ρ水gh水 代入数据，化简可得：
ρB＞2.5ρ水，
即：ρB＞2500千克/米3
11.如图11所示，质量为3千克，边长为0.1米、体积为的均匀正方体甲，和底面积为的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器足够高，内盛有0.1米深的水。
图11
甲
乙
（1）求正方体甲的密度；
（2）求水对乙容器底部的压强；
（3）现将甲物体水平切去一部分，乙容器中抽取部分水，当甲物体、乙容器中的水减少体积相同，并使正方体甲对地面的压强等于水对乙容器底部的压强，求切去部分的体积。
【答案】
（1） ρ=m /V=3千克/0.001米3=3´103千克/米3
（2）P=ρgh=1´103千克/米3´0.1米´9.8牛/千克=980帕
（3）P甲=P乙
（m甲－ρ甲△V）g/S甲=ρ乙g（h乙－△V/ S乙）
（3千克－3´103千克/米3△V）/0.01米2=1000千克/米3´（0.1米－△V / 0.04米2）
△V=8´10-4米3
12．相同的薄壁圆柱形容器甲、乙置于水平桌面上。甲中盛有水，乙中盛有另一种液体，水和液体的质量均为4千克。
容器底部受到液体的压强
抽出液体前
抽出液体后
P甲水（帕）
1960
980
P乙液（帕）
1078
① 求甲容器中水的体积V水。
② 分别从甲、乙容器中抽出相同体积的液体，下表为抽出液体前后两容器底部受到的液体的压强。
（a）问抽出液体前乙容器底部受到的液体的压强p液，并说明理由。
（b）求乙容器中抽出液体的质量∆m液。
【答案】
① V水＝m水/ ρ水＝4千克/ 1.0×103千克/米3＝4×10-3米3
② （a）p液＝1960帕
因为是柱形容器，液体对容器底部的压强p＝F/S＝G/S＝ mg/S，液体和水的m、S均相同，所以液体对容器底部的压强等于水对容器底部的压强。
（b）S ＝F/ p＝G/p＝ mg/p＝4千克×9.8牛/千克/1960帕＝2×10-2米2
G′液＝ F＝ pS＝1078帕×2×10-2米2＝21.56牛
m′液＝ G′液/ g＝21.56牛/ 9.8牛/千克＝2.2千克
∆m ＝m液－m′液＝4千克－2.2千克＝1.8千克
13．如图13所示，质量为10千克的实心圆柱体置于水平地面上，其底面积为。
图13
①求地面受到的压力F。
②求地面受到的压强p。
③现将圆柱体沿水平方向切去0.2米的高度，圆柱体对水平地面的压强变化量为3920帕，求圆柱体的密度ρ和原来的高度h。
【答案】
F＝G＝mg＝10千克×9.8牛/千克=98牛
14．如图14所示，底面积分别为S和2S的柱形容器甲和乙放在水平桌面上，容器甲中酒精的深度为3h，容器乙中水的深度为2h。（ρ水＝1.0×103千克/米3，ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
①求乙容器水下0.1米处水的压强p水。
②若从两容器中分别抽出质量均为m的酒精和水后，剩余酒精对甲容器底的压强为
p酒精，剩余水对乙容器底的压强为p水，且p酒精
甲 图14 乙
酒精
水
【答案】
①h水＝2h＝0.2米
p水＝ρ水gh水＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕
②从两容器中分别抽出质量均为m的酒精和水后，
△V =m/ ρ
△H酒精= △H水=
p酒精< p水，根据p＝ρgh
ρ酒精g（3h-）< ρ水g（3h-）
m > 2hS（3ρ酒精-2ρ水）
至少抽去液体的质量为2hS（3ρ酒精-2ρ水）
15．如图15所示，均匀圆柱体A和薄壁柱形容器B置于水平地面上，A的质量是50千克，体积为2×10-2米3；B的底面积为4×10-2米2，其内部盛有重为200牛的某种液体。
图15
A
B
⑴求圆柱体A的密度ρA。
⑵求液体对容器B底部的压强p液。
⑶继续向B容器内注入部分同种液体（没有液体溢出），当容器B底部液体深度与A的高度之比为5∶4时，发现该液体对容器B底部压强等于A对地面压强的二分之一。求液体的密度ρ液。
【答案】
（1） ρA=mA/V A=50千克/2×10-2米3＝2.5×103千克/米3；
（2） p=F/S = G液/S 容器= 200牛 /（4×10-2米2)=5000帕；
（3）p液＝ρ液gh液＝ρ液g×5/4hA
∵ pA＝ρAghA 且p液＝1/2pA；
∴ ρ液＝2/5ρA＝2/5×2.5×103千克/米3＝1×103千克/米3
16．如图16所示，质量分布均匀的实心正方体A和B分别置于高度差为h的水平地面上。物体A的密度为1125千克／米3，物体B的质量为9千克。
图16
B
A
h
(1) 若物体A的体积为8×10-3米3，求物体A的质量mA；
(2) 若物体B的边长为0.3米，求物体B对水平地面的压强pB；
(3) 若A的边长为2h，且A、B它们对地面的压力相等，现将A、B两正方体沿水平方向截去高度相等的一部分，使它们剩余部分对水平地面的压强相等，求截去的高度△h（△h的值用h表示）。
【答案】
(1) mA＝ρAVA＝1125千克/米3×8×10-3米3＝9千克
(2)∵在水平面∴F＝GB＝mBg＝9千克×9.8牛/千克＝88.2牛
p=F/S = 88.2牛 (/0.3米)2=980帕
(3) 根据 FA＝FB GA＝GB ρA（2h）3g＝ρB（3h）3g
A、B密度之间的关系
ρA /ρB＝27/8
再根据 p’A＝p’ B
得ρAg（2h －△h）＝ρBg（3h－△h）
∴△h＝30/19h ≈1.58 h
17．如图17所示，边长为4h的正方体A和轻质薄壁圆柱形容器B置于水平桌面上，容器B中盛有高为5h、体积为5×10－3米3的某液体乙（ρ乙＝0.8×103千克/米3）。
图17
B图14
A
① 求液体乙的质量m乙。
② 若正方体A的质量为5千克，边长为0.1米，求正方体A对地面的压强pA。
③ 已知ρA=1.5ρ乙，从物体A的上方水平切去高为△h的部分，并从容器B中抽出深度同为△h的液体，使物体A和容器B对水平桌面的压强分别为pA'和pB'，通过计算比较pA'和pB'的大小关系及△h对应的取值范围。
【答案】
① m乙＝r乙V乙
＝0.8×103千克/米3×5×10－3米3＝4千克
② FA=GA=mAg=5千克×9.8牛/千克=49牛
pA=FA/SA =49牛/0.01米2=4900帕
③ pA'＝FA'/SA＝rAg（4h－△h）=1.5r乙g（4h－△h）
PB'＝FB'/SB＝r乙g（5h－△h）
设pA'=pB'
则 1.5r乙g（4h－△h）= r乙g（5h－△h）
△h=2h
当切去高0＜△h＜2h时 pA'＞pB'
△h＝2h时 pA'＝pB'
2h＜△h＜4h时 pA'＜pB'
18．如图18所示，甲、乙两圆柱形容器（容器足够高）放在水平桌面上，甲的底面积为9S，乙的底面积为10S，分别盛有1.8×10-3米3体积的水和0.25米高的酒精。（ρ酒＝0.8×103千克/米3）求：
（1）水的质量m水。
（2）若甲容器的质量为0.2千克，底面积为1×10-2米2，求甲容器对水平桌面的压强
p甲。
A
抽出ΔV体积的水和酒精
B
加入Δh高的水和酒精
C
抽出Δh高的水和酒精
（3）若水和酒精对甲、乙容器底部的压强相等，为了使甲、乙容器底部受到的水和酒精的压力相等，以下方法可行的是 （选填“A”、“B”或“C”）。并计算出抽出（或加入）的ΔV或Δh。
图18
乙
甲
【答案】
（1）m水＝ρ水V
＝1×103千克/米3×1.8×10-3米3 ＝ 1.8千克
（2）F甲＝G水+G甲＝（m水+m甲）g
＝（1.8千克+0.2千克）× 9.8牛/千克
＝19.6牛
p甲＝F甲/S 甲
＝19.6牛/（1×10-2米2）
＝1.96×103帕
（3）B； p水＝p酒 ρ水gh水＝ρ酒gh酒
1×103千克/米3 h水＝0.8×103千克/米3 ×0.25米
h水＝0.2米
F水’＝F酒’
ρ水gh水’S水＝ρ酒gh酒’S酒
ρ水g（h水+△h）9S＝ρ酒g（h酒+△h）10S
1×103千克/米3（0.2米+△h）×9＝0.8×103千克/米3（0.25米+△h）×10
△h＝0.2米
19. 相同的薄壁圆柱形容器甲、乙置于水平桌面上，甲中盛有水，乙中盛有另一种液体，水的质量为5千克。
① 求甲容器中水的体积V水。
② 分别从甲、乙两容器中分别抽出相同体积的液体，下表为抽出液体前后两容器底部受到液体的压强。
（a）求抽出液体后甲容器中水的深度h水；
（b）问抽出液体前乙容器中液体的质量m液,并说明理由。
液体对底部的压强
抽出液体前
抽出液体后
P水（帕）
1960
980
P液（帕）
1960
1078
【答案】
① V水=m水／ρ水=5千克/1.0×103千克/米3= 5×10-3米3
②（a）h水=p水/（ρ水g）=980帕/（103千克/米3×9.8牛/千克）=0.1米
（b）m液=m水=5千克
两容器底面积S相等，抽出液体前，两容器底部受到液体的压强均为1960帕，根据F=PS，说明两容器底部受到液体的压力F相等。
圆柱形容器G液=F液，两液体受到的重力G相等。m=G/g,即两液体的质量相等。
20．如图20所示，边长为0.2米、质量为2.4千克的实心正方体A，以及边长为0.1米，质量为0.45千克的实心正方体B分别放置在水平地面上。求：
图20
（1）实心正方体A的密度；
（2）实心正方体B对地面的压强；
（3）为使A、B对水平地面的压强相等，小芳与小丽讨论后认为将正方体A沿水平方向切下厚度h1一块后叠放到正方体B上方，或将正方体A沿竖直方向切下厚度h2一块后叠放到正方体B上方都可以达到目的，请求出h1与h2之比。
【答案】
（1）
（2）FB=GB=mBg=0.45千克×9.8牛/千克=4.41牛
（3） SA：SB=（0.2米）2：（0.1米）2=4:1
pA’＝pB’
水平切：
解得：h1=0.01米
竖直切：
解得：h2＝0.0125米
21．如图21所示，均匀圆柱形物体甲和乙放在水平面上，底面积分别为200厘米2和100厘米2，高度分别为0.1米和0.2米，ρ甲＝1.5×103千克/米3，ρ乙＝1.2×103千克/米3。求：
图21
甲
乙
①乙物体的质量；
②乙物体对地面的压强；
③若将甲和乙沿水平方向分别截去相同质量⊿m后，剩余部分的压强p甲'＞p乙'。求质量⊿m 的取值范围。
【答案】①m乙=ρ乙V乙=ρ乙S乙h乙
=1.2×103千克/米3×100×10-4米2×0.2米=2.4 千克
②F乙=G乙=m乙g=2.4千克×9.8牛/千克=23.52牛
p乙===2352帕
③因为p甲'＞p乙'，根据p=
⊿m>1.8千克
所以，当截去相同质量m 的范围为1.8千克＜m＜2.4千克时，才能满足p甲'＞p乙'。
22．如图22所示，厚底圆柱形容器A、B置于水平桌面中间。A底厚为2h，B底厚为h，容器中液面到水平桌面的高度为6h，A容器中液体甲的体积为5×10－3米3。（ρ甲＝1.0×103千克/米3）
6h
图22
A B
甲
乙
①求液体甲的质量m甲。
②若容器A重4牛，底面积为2×10－3米2，求容器A对水平桌面压强。
③若容器A、B底部受到甲、乙两种液体的压强相等，且B容器底面积为2.1×10-3米2。现向两容器中分别_____高为△h的甲、乙液体后（容器足够高）（选填“倒入”或“抽出”），容器A、B底部受到甲、乙两种液体的压力相等。请通过计算求△h的取值。
【答案】①m甲＝ρ甲V甲
＝1.0×103千克/米3×5×10-3米3＝5千克
②F桌＝GA+G甲＝4牛+5千克×9.8牛/千克＝53牛
p桌＝F桌/SA ＝53牛/（2×10-3米2）＝2.65×104帕
③p甲＝p乙
ρ甲gh甲＝ρ乙gh乙
ρ甲/ρ乙＝h乙/h甲＝5h/4h＝5/4
现从两容器中分别“倒入”高为△h的液体后，
F甲‘＝F乙‘
ρ甲gh甲‘S甲＝ρ乙gh乙‘S乙
ρ甲g（h甲+△h）S甲＝ρ乙g（h乙+△h）S乙
ρ甲g（4h+△h）×2×10-3米2＝ρ乙g（5h+△h）×2.1×10-3米2
△h＝1.25 h
23．如图23所示，质量为0.5千克、底面积为1×10-2米2的圆柱形容器放在水平地面上。容器中盛有质量为2千克的水。
图23
①求水的体积V。
②求容器对地面的压强p。
③若在容器中抽出一定质量的水，使容器对地面的压强小于水对容器底部压强的两倍，求抽出水的质量范围。
【答案】①V＝m/ρ
＝2千克/（1×103千克/米3）＝2×10-3米3
②F＝m总g＝2.5千克×9.8牛/千克＝24.5牛
p＝F/S＝24.5牛/（1×10-2米2）＝2450帕
③p地＜2 p水
[（m容＋m水－D m水）g]/ S＜2（m水－D m水）g/ S
2.5千克－D m水＜2（2千克－D m水）
D m水＜1.5千克
24．如图24所示，置于水平桌面上的A、B是两个完全相同的薄壁柱形容器，质量为0.5千克，底面积为0.01米2，分别装有体积为2.5×10﹣3米3的水和深度为0.3米的酒精，（ρ酒精=0.8×103千克/米3）。求：
图24
A
B
① 水的质量m水。
② A容器对水平桌面的压强pA。
③ 若在两个容器中抽出相同深度的液体△h后，两容器中液体对底部的压强相等，请计算出△h的大小。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1.0×103千克/米3×2.5×10-3米3＝2.5千克
② FA＝GA＝mAg＝（2.5千克＋0.5千克）×9.8牛/千克＝29.4牛
pA=FA/SA＝29.4牛/0.01米2 =2940帕
③ p水′＝ ρ水g h 水′=ρ水g（h 水—∆h）
p酒′＝ ρ酒g h酒′=ρ酒g（h 酒—∆h）
p水′=p酒′
ρ水g（0.25米—∆h）=ρ酒g（0.3米—∆h）
∆h＝0.05米
25．（2020年黄浦一模）22．如图10所示，实心均匀正方体甲和实心均匀圆柱体乙置于水平地面，已知甲的质量为2千克，边长为0.1米。
图10
甲
乙
①求甲的密度ρ甲。
②求甲对地面的压强p甲。
③若圆柱体乙的底面积是甲底面积的一半，且甲、乙对水平地面的压力相等。现将乙沿水平方向切去一部分，使乙与甲等高，已知乙的压强变化了980帕，求乙的密度ρ乙。
【答案】①ρ甲＝m甲/V甲＝2千克/（0.1米）3＝2×103千克/米3
②p甲＝F甲/S甲＝G甲/S甲＝m甲g/S甲＝2千克×9.8牛/千克/（0.1米）2＝1960帕
③F甲＝F乙
p甲S甲＝p乙S乙 S甲＝2 S乙
p乙＝2p甲＝2×1960帕＝3920帕
ρ乙＝p'乙/gh'乙＝（3920帕－980帕）/（9.8牛/千克×0.1米）＝3000千克/米3
26．（2020年静安一模）22．质量均为60千克的均匀圆柱体A、B放置在水平地面上。A的底面积为0.15米2，A的密度为2.0×103千克/米3，B的高度为0.375米。
① 求圆柱体A对水平地面的压强pA。
圆柱体对地面的压强
截取前
截取后
pA（帕）
1960
pB（帕）
2940
② 现分别从圆柱体A、B上部沿水平方向截取相同的厚度h，截取前后两圆柱体对地面的压强值（部分）记录在右表中。
（a）求圆柱体B的密度rB。
（b）求圆柱体B剩余部分的质量m B剩；
【答案】①pA = = = = =3920帕
②（a）ρB = = =0.8×103千克/米3
（b）∆hA = = =0.1米
∆hB =∆hA
m B剩=m B =44千克
27．（2020年长宁、松江一模）24．如图11所示，水平地面上薄壁圆柱形容器甲、乙的底面积分别为2S、S，容器内分别盛有质量相等的水和酒精（ρ酒精=0.8×103千克/米3）。
①求甲容器中0.1米深处水的压强。
②若乙容器中酒精质量为2.4千克，求酒精的体积。
③若在乙容器内抽取0.2米深酒精后，酒精和水对容器底的压强相等，求甲中水的深度。
【答案】 3分
3分
③因为m水= m酒，S甲=2S乙，所以p酒=2p水。当抽取0.2米酒精后
压强相等，说明酒精的压强减小了一半，h′酒=Δh酒=0.2米 1分
1分
1分
二、在柱体甲上或柱形容器里液体乙里加物体丙
一、常见题目类型
1. 将一物体A分别浸没在容器甲的液体中（液体无溢出）、放在圆柱体乙上表面的中央（见图1）。
甲 乙
图2
甲
图1
乙
2. 将一实心物体A分别浸没于甲、乙液体中（液体无溢出）（见图2）
二、例题
【例题1】如图1所示，薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上。容器甲足够高、底面积为5×10﹣2米2，盛有质量为5千克的水。圆柱体乙的重力为160牛、底面积为8×10﹣2米2。
甲
图1
乙
① 求容器甲内水的体积V水。
② 求圆柱体乙对水平地面的压强p乙。
③ 若将一物体A分别浸没在容器甲的水中、放在圆柱体乙上表面的中央时，水对容器甲底部压强的变化量与圆柱体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA。
【答案】①5×10-3米3； ②2×103帕； ③1.6×103千克/米3。
【解析】
① V水＝m水/ρ水＝5千克/(1×103千克/米3)＝5×10-3米3
② p乙＝F乙/S乙＝G乙/S乙＝160牛/(8×10﹣2米2)＝2×103帕
③物体A浸没在容器甲的水中时，水对容器甲底部压强的变化量
Δp水＝r水gDh＝r水g（VA/S甲）
物体A放在圆柱体乙上表面的中央时，圆柱体乙对水平地面压强的变化量
Δp乙＝ΔF乙/S乙＝mAg /S乙＝rAgVA/S乙
因为Δp水＝Δp乙
r水g（VA/S甲）＝rAgVA/S乙
所以 ρA＝1.6×103千克/米3
【例题2】如图2所示，轻质圆柱形容器甲、乙置于水平地面上，甲盛有质量为m的水、乙盛有质量为3m的酒精，甲、乙的底面积分别为3S、5S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
甲 乙
图2
① 求甲容器中质量为2千克水的体积V水。
② 求乙容器中，0.1米深处酒精的压强p酒精。
③ 为使容器甲、乙对水平地面的压力相等，且两容器内液体对各自容器底部的压强相等，需将一实心物体A浸没于某一液体中（此液体无溢出），求物体A的质量mA与密度ρA。
【答案】①2×10-3米3；② 784帕；③2m；2.5ρ水。
【解析】
① V水=m水/ρ水=2千克/1×103千克/米3=2×10-3米3
② p酒精=ρ酒精gh=0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米=784帕
③因为容器甲、乙对水平地面的压力相等，
所以F甲= F乙 即 G甲= G乙 （m+mA）g=3mg
物体A的质量 mA=2m 把A放入甲容器水内。
水的压强 p液甲=ρ水gh水=ρ水g（h水原+Dh）
= p水原+ρ水gVA/3S
= mg/3S+ρ水gVA/3S
酒精的压强p液乙=ρ酒精gh酒精=3 mg/5S
因为 p液甲= p液乙 即 mg/3S+ρ水gVA/3S=3 mg/5S
所以 VA=4m/5ρ水
ρA= mA/ VA
=2m/4m/5ρ水
=2.5ρ水
三、练习题
1．如图1所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量均为m的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
① 求乙容器中0.1米深处酒精的压强p酒精。
② 现有物体A、B（其密度、体积的关系如下表所示），将两物体各放入合适的容器中（液体不会溢出），使甲、乙两容器对地面压强变化量的比值最大，求出该比值。
物体
密度
体积
A
2r
V
B
r
3V
甲 乙
图1
【答案】
① p酒精＝ρ酒精gh
＝0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝784帕
②把物体A放入甲容器中
甲容器对地面压强变化量△p甲＝F甲/ S甲＝GB/S =3ρg V /S
乙两容器对地面压强变化量△p乙＝F乙/ S乙＝GA/3S=2ρg V /2S
△p甲∶△p乙＝3ρg V /S∶2ρg V /2S＝3∶1
2．如图2所示，底面积为S1的均匀圆柱体A和底面积为S2的圆柱形容器B（足够深）置于水平地面上。已知知A的密度为2×103千克/米3，B中盛有重为200牛的液体。
图2
① 若A的体积为4×10-3米3，求A的质量mA。
② 若B的底面积为5×10-2米2，求液体对B容器底部的压强PB。
③现将质量为m，密度为ρ的甲物体分別放在A上面和浸没在B容器的液体中（液体求溢出），当圆柱体体A对桌面压强的变化量与液体对B容器底压强的变化量相等时，求B容器中液体的密度ρ液。
【答案】
① mA＝ρA VA
＝1.0×103千克/米3×4×10-3米3＝8千克
② FB＝GB
pB＝FB/ SB ＝200牛/ 5×10-2米2＝4000帕
③ ΔPA＝ΔPB
ΔFA/ S1＝ρ液gm/ρS2
ρ液＝ρS2/S1
3．如图3所示，水平地面上底面积分别为S、2S的轻质圆柱形容器中分别装有甲、乙两种液体，其质量、高度的关系如表一所示。
甲 乙
图3
表一
液体
质量
高度
甲
M
3h
乙
M
2h
表二
物体
质量
体积
A
10m
2V
B
9m
3V
① 若甲液体是水，高度为0.1米，求水对容器底部的压强p水。
② 求甲、乙两种液体的密度之比。
③ 现有物体A、B，其质量、体积的关系如表二所示。请在物体A、B和液体甲、乙中各选择一个，当把物体浸没在液体中（液体不会溢出），容器对水平地面压强变化量Δp1、液体对容器底部压强变化量Δp2。要求写出选择的液体和放入其中的物体，并求出Δp1比Δp2的最大值。（说明：②和③小题答题所涉及的物理量均用字母表示）
【答案】
①p水=ρ水gh=1.0×103kg/m3×9.8N/kg×0.1m=980Pa
②液体甲的质量：m甲=ρ甲V甲=ρ甲×S×3h
液体乙的质量：m乙=ρ乙V乙=ρ乙×2S×2h
m甲= m乙
则ρ甲×S×3h=ρ乙×2S×2h
解得，甲、乙两种液体的密度之比：
ρ甲：ρ乙=4：3
③对水平地面压强变化量 △P1=△F/ S= mg/S
液体对容器底部压强变化量 △p2=ρ液g△h =ρ液gV物/ S
要使比值最大，故应将A物体放入乙液体中
△P1：△P2 = mg/ρ液gV物= 20mSh/VM
4．如图4所示，柱形薄壁容器甲和均匀柱体乙放在水平地面上，它们的底面积分别为S、2S。已知甲容器中盛有0.3米高的水，柱体乙的质量为2千克。求：
①求甲容器中距水面0.1米处水的压强；
②若乙的体积为1×10-3米3，求乙的密度；
③现有物体A、B、C（其密度、体积的关系如下表所示），请选择其中的一个物体，把物体放入甲容器中（水不溢出）和放置在柱体乙上面，使甲容器底部受到水的压强变化量与柱体乙对地面压强变化量的比值最小，求这个最小比值。
物体
密度
体积
A
3ρ水
2V
B
2ρ水
V
C
0.5ρ水
V
图4
甲
乙乙
【答案】
①p水＝ρ水gh＝1×103kg/m3×9.8N/kg×0.1m＝980Pa
② ρ乙=m乙/V乙=2kg/(0.1m)3=2×103kg/m3
③ 选择A物体
△p甲/△p乙＝(△F甲/S甲)/(△F乙/S乙)＝(ρ水g×2V/S)/ (3ρ水g×2V/2S) ＝2/3
5．足够高的薄壁圆柱形容器甲内盛有0.2米深的水；体积为10-3米3的均匀实心圆柱体乙的质量为2千克；甲、乙均置于水平地面上。
①求水对甲容器底部的压强p水；
②求圆柱体乙的密度ρ乙；
③若甲、乙的底面积分别为S甲、S乙，现将另一底面积S丙的均匀实心圆柱体丙，分别浸没在甲的水中、叠放在乙的上表面正中央时，水对甲容器底部压强的变化量恰为丙对乙压强的0.5倍，求圆柱体丙的密度ρ丙。（用相关字母来表示）
【答案】
(1) p水=ρ水gh水=103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米=1960帕
(2)
(3 ) ①当S丙≤S乙时
② 同理：当S丙≥S乙时，
6．如图6所示，薄壁圆柱形容器甲、乙（足够高）的底面积分别为3S和2S，甲容器中装有0.3米深的水，乙容器中装有等高的某种液体，实心圆柱体丙的高度为7h（小于0.3米）。求：
① 水对甲容器底部的压强p水。
② 如果甲容器的底面积是0.02米2，求甲容器中水的质量m水。
图6
③ 现将丙分别放入甲、乙容器中，发现丙会竖直漂浮在甲容器的水中，且露出水面的高度恰好为h。丙在乙容器中会沉底，已知分别放入丙后水对甲容器底的压强增加量Dp水与液体对乙容器底的压强增加量Dp液之比是5∶7，求乙容器中液体的密度ρ液。
【答案】
①p水=ρ水gh水=1×103kg/m3×9.8N/kg×0.3m=2940Pa
②V甲=S甲h水=0.02 m2×0.3m=6×10-3m3
m水=ρ水V甲=1×103kg/m3×6×10-3m3=6kg
③由于丙竖直漂浮在甲容器的水中，根据漂浮条件可知：F浮=G丙
即：ρ水gV排水=ρ丙gV丙， ρ水gS丙（7h-h）=ρ丙gS丙×7h
ρ丙=6/7ρ水
则水对甲容器底的压力增加量△F甲=G丙=ρ丙gV丙
△p水=△F甲/ S甲=ρ丙gV丙/3S
由于丙在乙容器中会沉底，则液体对乙容器底的压力增加量
△F乙=G丙排=ρ液gV丙排=ρ液gV丙
△p液=△F甲/ S甲=ρ液gV丙/2S
△p水：△p液=5:7
ρ丙gV丙/3S ：ρ液gV丙/2S = 5:7
ρ液=800千克/米3
7．如图7所示，放置在水平桌面上的两个圆柱形容器，甲容器底面积为3×10-2米2，容器内放了正方体物块A；乙容器底面积为2×10-2米2，容器内装有深度为0.2米的水。求：
① 乙容器中水的质量m水。
② 水对乙容器底的压强p水。
图7
甲
乙
A
③ 现将某种液体倒入甲容器中，并使物块A正好浸没，此时液体对容器甲的压强为
p液。再将物块取出浸没在乙容器的水中，水面上升至0.25米（水未溢出）。p液恰好是水对容器乙压强变化量Δp水的1.5倍，求：液体密度ρ液。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1×103kg/m3×2×10-2m2×0.2m＝4kg
② p水＝ρgh=1×103kg/m3×9.8N/kg×0.2m=1960Pa
③ V水=S乙 △h =2×10-2m2×（0.25m-0.2m）=10-3m3
h=0.1m
p液＝1.5△p水
8．如图8所示，底面积为S1的均匀圆柱体A和底面积为S2的圆柱形容器B置于水平地面上。已知A的密度为2×103千克/米3，B中盛有重为200牛的液体。
① 若A的体积为4×10-3米3，求A的质量mA。
② 若B的底面积为5×10-2米2，求液体对B容器底部的压强pB。
③ 现将质量为m，密度为ρ的甲物体分别放在A上面和浸没在B容器的液体中(液体未溢出)，当圆柱体A对桌面压强的变化量与液体对B容器底压强的变化量相等时，求B容器中液体的密度ρ液。
A B
图8
【答案】
① mA＝ρA VA
＝1.0×103千克/米3×4×10-3米3＝8千克
② FB＝GB
pB＝FB/ SB
＝200牛/ 5×10-2米2＝4000帕
③ ΔPA＝ΔPB
ΔFA/ S1＝ρ液gm/ρS2
ρ液＝ρS2/S1
9．如图9所示，边长为0.1米均匀正方体甲和底面积为2´10-2米2的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器高0.3米，内盛有0.2米深的水。正方体甲的密度为5×103千克/
米3。求：
乙
甲乙
图9
①甲的质量。
②水对容器底部的压强。
③现分别把一个体积为3´10-3米3的物体丙放在正方体甲上方和浸没在乙容器内的水中，甲对地面压强的增加量恰好为乙容器对地面压强的增加量的2.5倍，求物体丙的密度。
【答案】
①m甲＝r甲V甲
＝5×103千克/米3×（0.5米）3＝5千克
② p水＝r水gh
＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米
＝1960帕
③
△p甲＝2.5△p乙
△F甲/S 甲＝2.5△F乙/S 乙
r丙V丙g/S 甲＝2.5（r丙V丙g-r水V溢g）/S乙
r丙＝5×103/3千克/米3
＝1.7×103千克/米3
10．如图10（a）所示，甲、乙两个相同的薄壁柱形容器放在水平地面上，容器中分别盛有质量相等的水和酒精，甲中水的深度为0.1米。
（a） 图10 （b）
①求甲中水对容器底的压强p水。
②若乙中酒精的质量为1.6千克，求酒精的体积V酒精（ρ酒精=0.8×103千克/米3）。
③现有足够数量的实心铁质圆柱形薄片（底面积为容器底面积的一半，厚度均为0.01米），如图10（b）所示。现选择适当数量的薄片按原叠放方式分别放入甲、乙容器中后（液体都不溢出），能使水和酒精对各自容器底的压强相等。
（a）若要求放入薄片的个数为最少，则应在甲中放入_______个，乙中放入_______个。
（b）若要求放入甲、乙中薄片的个数必须相等，求甲或乙中应放入薄片的最少个数
n最少。
【答案】
①p水＝ρ水gh＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
②V酒精=m／ρ=1.6千克/0.8×103千克/米3= 2×10-3米3
③（a）4，5
（b）
说明：③（b）有多种解法，过程合理且答案正确均可得分
11．如图11所示，薄壁轻质圆柱形容器甲和正方体乙置于水平地面上。容器甲高度为0.5米、底面积为1×10﹣2米2，里面盛有0.2米深的水。正方体乙的质量为16千克、体积为8×10﹣3米3。
图11
甲
乙
① 求乙的密度ρ乙。
② 求甲容器底部受到水的压强p水。
③ 若将一底面积为5×10﹣3米2的柱体A分别轻轻放入容器甲的水中、放在正方体乙上表面的中央时，使水对容器甲底部压强的变化量与正方体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA范围及对应的体积VA应满足的条件。
【答案】
① ρ乙=m乙/V乙=16kg/8×10-3 m3=2×103kg/m3
② p水＝ρ水gh＝1×103kg/m3×9.8N/kg×0.2m＝1960Pa
③ S甲/S乙＝1/4 h水最大=0.4米
∵△p甲＝△p乙， S甲＜S乙
∴△F甲＜△F乙 △F甲＜GA
当A物体浸没时，
△p甲＝△p乙
△F甲/S甲＝△F乙/S乙
ρ水gVA/S甲＝ρAgVA/S乙
ρA＝4ρ水 = 4×103kg/m3 VA≤2×10-3 m3
当A物体不浸没时，△h＝0.2米
△p甲＝△p乙
ρ水g△h＝mAg/S乙
mA＝8kg
VA＞2×10-3 m3
1×103kg/m3＜ρA＜4×103kg/m3
12．如图12所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量均为m的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
① 求乙容器中0.1米深处酒精的压强p酒精。
② 现有物体A、B（其密度、体积的关系如下表所示），请在物体A、B和容器甲、乙中各选择一个，当把物体放入容器中后（液体不会溢出），可使容器对水平地面的压力最大且压强最大。求该最大压力F最大和最大压强p最大。（本小题答题所涉及的物理量均用字母表示）
物体
密度
体积
A
5r
2V
B
3r
3V
甲 乙
图12
【答案】
① p酒精=ρ酒精g h酒精
=0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米3
=784帕
② F最大=G最大=(10ρV＋m)g
13．如图13所示，边长为0.2米的正方体甲和底面积为0.03米2的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器高0.4米，内盛有0.3米深的水。正方体甲的密度为5×103千克/米3。求：
乙
甲乙
图13
① 甲的质量；
② 水对乙容器底部的压强；
③ 把一个底面积为0.02米2，高0.3米圆柱体A（已知r水＞rA）先后放置在正方体甲上和乙容器的水中，甲对地面压强的增加量与水对乙容器底部的压强增加量相等，求A物体的质量。
【答案】
① m甲＝ρ甲V甲＝5×103kg/m3×(0.2m)3＝40 kg
② p水＝ρ水gh＝1×103kg/m3×9.8N/kg×0.3m＝2940Pa
③ △p甲＝△p乙
△F甲/S甲＝ρ水g△h
GA/S甲＝ρ水g(h容－h水)
mA＝ρ水 S甲(h容－h水)
mA＝1×103kg/m3×(0.2m)2×(0.4m－0.3m)
mA＝4kg
14．如图14所示，质量均为2.4千克的薄壁圆柱形容器A和B放在水平地面上，底面积分别为2×10－2米2和1×10－2米2。容器A中盛有0.1米高的水，容器B中盛有质量为1.6千克的酒精。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）求：
A
水
酒精酒精
B
图14
①容器B中酒精的体积V酒精。
②容器B对水平地面的压强pB。
③现有质量相等的甲、乙两实心物块，若将甲浸没在水中、乙浸没在酒精中后，两液体均未溢出，且两液体各自对容器底部压强的变化量相等，求甲、乙的密度ρ甲、ρ乙之比。
【答案】
①V酒精＝m酒精/ ρ酒精
＝1.6千克/0.8×103千克/米3
＝2×10-3米3
②FB＝G总＝m总g＝（m酒精+mB）g
＝（2.4千克＋1.6千克）×9.8牛/千克＝39.2牛
pB＝FB/SB
＝39.2牛/1×10－2米2＝3920帕
③Dp水＝Dp酒精
ρ水gDh水＝ρ酒精gDh酒精
ρ水gDV水/SA＝ρ酒精gDV酒精/SB
ρ水gV甲/SA＝ρ酒精gV乙/SB
ρ水gm甲/（ρ甲SA）＝ρ酒精g m乙/（ρ乙SB）
ρ甲：ρ乙＝ρ水SB：ρ酒精SA
＝（1000千克/米3×1×10－2米2）：（0.8×103千克/米3×2×10－2米2）
＝5:8
15．如图15所示，水平地面上的完全相同的轻质圆柱形容器甲、乙，高0.12米、底面积0.05米2，它们分别盛有质量为5千克的水和4.4千克的盐水（已知ρ盐水＝1.1×103千克/米3）。求：
图15
（1）水对容器底部的压强；
（2）乙容器中盐水的体积；
（3）现有实心物体A、B，A的质量为2千克、体积为0.001米3，B的质量为2.5千克、体积为0.002米3。请从A、B中选择一个物体浸没在合适的容器中，使该容器对地面的压强变化量最小，并求出容器对地面的压强变化量的最小值。
【答案】
（1）F= G=mg =5千克×9.8牛/千克=49牛
p＝F /S =49牛/0.05米2=980帕
（2）V =m/ρ =4.4千克/1.1×103千克/米3=4×10-3米3
（3）B放入甲
G物=mg =2.5千克×9.8牛/千克=24.5牛
G排=ρ液V排g=1.0×103千克/米3×1.0×10-3米3×9.8牛/千克=9.8牛
Δp最小＝ΔF最小/S= (G物- G排) /S
=14.7牛/0.05米2
=294帕
16．如图16所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量均为m的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）
甲 乙
图16
① 若乙容器中酒精的质量为1.6千克，求酒精的体积V酒精。
② 求甲容器中0.1米深处水的压强p水。
③ 将同一物体分别浸没在两液体中时，液体不溢出。若水和酒精对容器底部压强的变化量分别为Dp水、Dp酒，求Dp水与Dp酒的比值。
【答案】
① V酒＝m酒/ρ酒
＝1.6千克/0.8×103千克/米3
＝2×10-3米3
② p水＝ρ水gh
＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米
＝980帕
③ △p水∶△p酒＝（ρ水g V物 ）/S∶（ρ酒g V物 ）/2S＝5∶2
17．如图17所示，装有水的薄壁轻质圆柱形容器底面积为1×10－2米2，静止在水平面上。
①若容器内水的体积为2×10－3米3，求水的质量m水和水对容器底部的压强p水。
图17
物体
密度
体积
A
ρ
2V
B
3ρ
V
②若容器内水的质量为m，现有物体A、B（其密度、体积的关系如右表所示），请选择一个，当把物体浸没在水中时（水不会溢出），可使水对容器底部压强p′水与水平地面受到的压强p′地的比值最小。
选择______物体（选填“A”或“B”）。求p′水与p′地的最小比值。（用m、ρ水、ρ、V表示）
【答案】
①m水＝ρ水V水
＝1×103千克/米3×2×10－3米3
＝2千克
p水＝F水/s＝m水g/s
＝（2千克×9.8牛/千克）/1×10－2米2
＝1960帕
② B；
p′水：p′地＝（p水＋ Δp水）：（p地＋ Δp地）
＝（m＋ρ水V）：（m＋3ρV）
18．（2020年普陀一模）21．如图11所示，轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上。容器甲底面积为5×10﹣2米2。圆柱体乙的重力为180牛、底面积为6×10﹣2米2。容器甲中盛有质量为4千克的水。
① 求容器甲中水的体积V水。甲
图11
乙
② 求圆柱体乙对水平地面的压强p乙。
③ 若将一物体A分别浸没在容器甲的水中（水未溢出）、放在圆柱体乙上表面的中央时，水对容器甲底部压强的变化量与圆柱体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA。
【答案】① V水＝ m水/ ρ冰 ＝4千克/ 1.0×103千克/米3＝4×10-3米3 2分
② p乙＝ F乙/ S乙 ＝G乙/ S乙＝180牛/ 6×10-2米2＝3000帕 3分
Δp＇甲＝Δp＇乙
ρ水gh＇－ρ水gh＝F＇乙/ S乙 －F乙/ S乙
ρ水g V物/ S甲＝m物g/ S乙
m物/V物＝ρ水S乙/ S甲
ρ物＝1.0×103千克/米3×6×10-2米2/ 5×10-2米2＝1.2×103千克/米3 4分
19．（2020年青浦一模）24．如图9所示，薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上。甲的底面积为2×10﹣2米2。乙的重力为60牛、底面积为3×10﹣2米2。
甲
图9
乙
① 求圆柱体乙对水平地面的压强p乙。
② 若将一物体A分别浸没在容器甲的水中（水未溢出）、放在圆柱体乙上表面的中央时，水对容器甲底部压强的变化量与圆柱体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA
【答案】① p乙＝F乙/S乙＝G乙/S乙＝60牛/3×10-2米2＝2000帕
② Δp＇甲＝Δp＇乙
ρ水gh＇－ρ水gh＝F＇乙/ S乙 －F乙/ S乙
ρ水g V物/ S甲＝m物g/ S乙
m物/V物＝ρ水S乙/ S甲
ρ物＝1.0×103千克/米3×3×10-2米2/ 2×10-2米2＝1.5×103千克/米3
三、柱体切割后浸入液体中，无液体溢出
一、常见题目类型
1．将柱形物体沿水平方向切去某一厚度（体积或质量），并将切去部分浸没在容器的液体中（图1）。
图1
乙
甲乙
甲乙
乙
图2
2．将柱形物体沿竖直方向切去某一厚度（体积或质量），并将切去部分浸没在容器的液体中（图2）。
二、例题
【例题1】如图1所示，均匀长方体甲和薄壁圆柱形容器乙置于水平地面上。长方体甲的底面积为3S。容器乙足够高、底面积为2S，盛有体积为5×10-3米3的水。
图1
乙
甲乙
① 若甲的重力为20牛，底面积为5×10-4米2，求甲对地面的压强p甲。
② 求乙容器中水的质量m水。
③ 若将甲沿水平方向切去厚度为h的部分，并将切去部分浸没在乙容器的水中时，甲对水平地面压强的变化量Δp甲恰为水对乙容器底部压强增加量Δp水的2倍。求甲的密度ρ甲。
【答案】①40000帕；②5千克；③3×103千克/米3。
【解析】
① F甲=G甲=20牛
p甲＝F甲/S甲＝20牛/5×10-4米2＝ 40000帕
② m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×5×10-3米3＝5千克
③ 甲对水平地面压强的变化量Δp甲即为切去厚度为h部分的压强
Δp甲＝ΔF甲/S甲＝r甲gh
水对乙容器底部压强增加量Δp水为
水升高的高度 Dh水＝3Sh/2S
Δp水＝r水gDh水＝r水g（3Sh/2S）
因为 Δp甲＝2Δp水
r甲gh ＝2r水g（3Sh/2S）
所以ρ甲＝3×103千克/米3
【例题2】如图2所示，底面积为10-2米2、高为0.4米长方体甲（ρ甲＝2×103千克/米3）和底面积为2×10-2米2的薄壁柱形容器乙放在水平地面上。乙容器足够高，内盛有0.1米深的水。
图2
甲乙
乙
（1）求甲的质量m甲。
（2）求水对乙容器底部的压强p水。
（3）现沿水平方向将长方体甲截取一定的厚度，并将截取部分竖直放入乙容器中，使得水对容器底部的压强最大，且长方体甲对地面的压强减少量最小，请求出甲对地面的压强减少量。
【答案】①8kg ； ② 980Pa ； ③ 3920Pa 。
【解析】
① m甲＝ρ甲V甲＝2×103kg/m3×1×10-2m2×0.4m＝8kg
② p水＝ρgh=1×103kg/m3×9.8N/kg×0.1m=980Pa
③ 注意只有切割部分恰好浸没在水中时，水对容器底部的压强最大，甲对地面的压强减少量最小（见图3）。
甲乙
图3
乙
设水面最终深度为h'，得：S乙h'=V水+ΔV甲
S乙h'=V水+S甲h' 2×10-2m2×h'= 2×10-2m2×0.1m+1×10-2m2×h'
得h'=0.2m
ΔV甲=2×10-2m2×(0.2m-0.1m)=2×10-3m3
△h甲=△V甲/S甲=2×10-3m3/10-2m2=0.2m
Δp甲＝ρgΔh=2×103kg/m3×9.8N/kg×0.2m=3920Pa
三、练习题
1．如图1所示，薄壁柱形容器甲静止在水平地面上，容器底面积为S，内盛有质量为2千克的水。
图1
甲 乙
①求水的体积V水。
②求水对容器底部的压力F水。
③若圆柱体乙的体积为V乙，密度为2ρ水，现将其沿水平方向截去一部分，并将截去部分浸没在甲容器的水中（水不溢出），使水对容器底部压力的增加量∆F水等于乙剩余部分对地面的压力F乙′，求乙截去的体积∆V。（用字母表示）
【答案】①2×10-3m3； ②19.6N； ③2/3V乙。
【解析】
① V水=m水／ρ水=2千克/1.0×103千克/米3= 2×10-3米3
② F= G水= m水＝2千克×9.8牛/千克＝19.6牛
③ △F水 =F乙´
△P水S= G´乙
ρ水g△h 水S=ρ乙g（V乙-△V）
ρ水g△V =2ρ水g（V乙-△V）
△V=2/3 V乙
2．如图2所示，薄壁圆柱形容器甲和均匀圆柱体乙置于水平地面上。甲足够高、底面积为3S，其内盛有体积为3×10-3米3的水；乙的底面积为S，所受重力为G。
甲乙
乙
图2
①求甲中水的质量。
②求乙对水平地面的压强p乙。
③现沿水平方向在圆柱体乙上截去一定的厚度，并将截去部分放入甲的水中，乙剩余部分的高度与容器甲中水的深度之比为h乙¢∶h水¢为3∶2，且乙剩余部分对水平地面的压力等于水对甲底部的压力，求乙的密度ρ乙。
【答案】 ①3千克；② G/S；③ 2000千克/米3。
【解析】
① m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×3×10-3米3＝3千克
② P乙＝F乙/ S乙＝G/S
③ F水 =F乙´
P水3S= G´乙
ρ水g h水¢3S=ρ乙g h乙¢ S
ρ乙=2ρ水2000千克/米3。
3．如图3所示，质量为2千克，边长为0.1米均匀正方体甲和底面积为的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器足够高，内盛有0.1米深的水。
图3
甲
乙
（1）求正方体甲的密度；
（2）求水对乙容器底部的压强；
（3）现将甲物体水平或竖直切去一部分，并将切去部分浸入水中，其中能使正方体甲对地面的压强等于水对乙容器底部的压强的是 （选填“水平切”或“竖直切”）；请通过计算算出切去部分的质量。
【答案】（1）2´103千克/米3 （2）980帕 （3）0.89千克
【解析】
（1）ρ=m /v=2千克/0.001米3=2´103千克/米3
（2）P=ρgh=1´103千克/米3´0.1米´9.8牛/千克=980帕
（3）水平切去一部分；
P甲=P乙
（m甲-△m）g/S甲=ρ乙g（h乙+△m/ρ甲/ S乙）
（2千克-△m）/0.01米2=1000千克/米3（0.1米+△m/2000千克/米3/ 0.04米2）
△m=0.89千克
4．如图4所示，薄壁圆柱形容器甲和均匀圆柱体乙置于水平地面上。
图4
①若甲中盛有质量为3千克的水，求水的体积V水及水对甲底部的压力F水。
②若容器甲足够高、底面积为2S，其内装有深为H、密度为ρ的液体；圆柱体乙的底面积为S、高h。现将乙沿水平方向在上部切去一半，并将切去部分浸没在甲的液体中，此时液体对甲底部压强P恰等于乙剩余部分对水平地面压强P乙。求乙的密度ρ乙。
【答案】①3千克 ②980帕 ③2×103千克/米3
【解析】
①m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×3×10-3米3＝3千克
②p水＝r水gh水＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
③ p乙＝4Δp水
r乙gh乙＝4r水gDh水
r乙h乙＝4r水（V排/ S甲）
r乙h乙＝4r水（S乙h乙/ S甲）
r乙＝4r水（S乙/ S甲）
=2×103千克/米3
5．如图5所示，轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上。甲的底面积为0.01米2（容器足够高），盛有0.2米深的水；圆柱体乙的底面积为0.005米2、高为0.8米，密度为2×103千克/米3。
图5
0.2米
0.8米
乙
①求水对甲容器底的压强p水。
②求乙的质量m乙。
③若在乙上方沿水平方向切去一部分，并将切去部分竖直放在甲容器内，使甲容器对地面的压力等于乙剩余部分对地面的压力，求甲容器底部受到水的压强变化量Δp甲。
【答案】①1960帕； ②8千克； ③1470帕 。
【解析】
① p水＝ ρ水g h＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米 ＝1960帕
② m乙＝ρ乙V乙＝2×103千克/米3×4×10-3米3＝8千克
③ F甲＝F乙 G水+ DG乙＝G乙－DG乙
m水+ Dm乙＝m乙－Dm乙 2千克+Dm乙＝8千克－Dm乙
Dm乙＝3千克
DV乙＝Dm乙/ρ乙＝1.5×10-3米3
Dh乙＝DV乙/S乙＝0.3米 Dh水＝DV乙/S甲＝0.15米
∵h水＝0.35米＞Dh乙 ∴切下部分浸没
Dp甲＝ ρ水g Dh水＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.15米
＝1470帕
6．如图6所示，柱形容器A和均匀柱体B置于水平地面上，A的底面积为，盛有体积为的水，B受到的重力为200牛，B的底面积为。
图6
A
B
（1）求A中水的质量。
（2）求B对水平地面的压强。
（3）现沿水平方向在圆柱体B上方截去一定的厚度，将截去的部分浸没在A容器的水中，此时水对A容器底部的压强变化量等于B对水平地面的压强变化量，求B的密度。
【答案】（1）6千克； ( 2 ) 5000帕；（3）800千克/米3
【解析】
（1） m=ρv= 1000千克/米3×6×10-3米3=6千克
( 2 ) p =F/S=G/S=200牛/(4×10-2米2)=5000帕
（3）根据题意，△P水= △PB
ρ水gΔV物/SA= ρBgΔV物/SB
代入数据，化简可得：
ρB=800千克/米3
7．如图7所示，均匀圆柱体A和薄壁柱形容器B置于水平地面上。容器B的底面积为2×10-2米2，其内部盛有0.2米深的水，求：
B
截取厚度
Δp水（帕）
Δp地
（帕）
△h
980
1960
图7
A
① 水对容器B底部的压强p水；
② 容器中水的质量m水；
③ 现沿水平方向在圆柱体A上截取一定的厚度△h，并将截取部分浸没在容器B水中（无水溢出），容器底部压强的增加量Δp水和容器对水平地面压强的增加量Δp地如下表所示。求圆柱体A的密度ρA。
【答案】
（1） p水＝ρ水gh＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕
（2） m水＝ρ水V水
＝1×103千克/米3×2×10－2米2×0.2米
＝4千克
（3） ⊿G1＝⊿F＝Δp地SB＝1960帕×2×10-2米2 ＝39.2牛
∴⊿m1＝⊿G1/g＝4千克
⊿p水＝ρ水g⊿h
980帕＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×⊿h
⊿h＝0.1米
∴⊿V1＝SB⊿h＝2×10－2米2×0.1米＝2×10－3米3
ρ＝⊿m1/⊿V1＝4千克/2×10－3米3＝2×103千克/米3
8．如图8所示，足够高的薄壁柱形容器A和均匀圆柱体B置于水平地面上。A中盛有体积为2×10-3米3的水，B物体重为20牛，底面积为2×10-2米2。
图8
A
B
① 求A中水的质量m水。
② 求B对水平地面的压强pB。
③ 现将圆柱体B沿水平方向均匀分成若干等份，逐个将每一等份放入容器A中并叠成柱形，直至全部放入容器A。下表记录的是上述过程中水对容器底部的压强p水和容器对桌面的压强p容。
未放入
放入一块
……
……
全部放入
p水（帕）
490
588
……
882
980
p容（帕）
540
640
……
940
1040
请根据上述信息求出容器A的重力G容和圆柱体B的体积VB。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×2×10-3米3＝2千克
② pB＝FB/SB＝GB/SB＝20牛/2×10-2米2＝1×103帕
③ 由 p水＝ρ水gh水 h水＝p水/ρ水g＝5×10-2米 S容＝V水/ h水＝4×10-2米2
由 p容＝F容/S容＝（G容+ G水）/S容
则 G容＝（p容−p水）S容＝2牛
由于每放入一块p容均相等，可判断B最后浸没在水中
由 Dp水＝ρ水gDh＝（pN−p1）
Dh＝（pN−p1）/ρ水g＝5×10-2米
VB＝S容 Dh＝4×10-2米2×5×10-2米＝2×10-3米3
9．如图9所示，薄壁圆柱形容器甲和均匀圆柱体乙置于水平地面上。容器甲足够高、底面积为2S，盛有体积为3×10－3米3的水。圆柱体乙的高为H。
甲乙
乙
图9
①求甲中水的质量m水。
②求水面下0.1米处水的压强p水。
③若将乙沿竖直方向在右侧切去一个底面积为S的部分，并将切去部分浸没在甲容器的水中时，乙剩余部分对水平地面压强p乙恰为水对甲底部压强增加量Δp水的四倍。求乙的密度ρ乙。
【答案】
① m水＝ρ水V水＝1×103千克/米3×3×10-3米3＝3千克
②p水＝r水gh水＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
③ p乙＝4Δp水
r乙gh乙＝4r水gDh水
r乙H＝4r水（V排/ S甲）
r乙H＝4r水（S H/ 2S）
r乙＝2r水＝2×103千克/米3
10．（2020年杨浦一模）25. 如图15所示，薄壁轻质柱形容器甲与实心柱体乙放置在水平地面上。容器甲中装有水，容器甲的底面积是柱体乙的2倍。在乙的上部沿水平方向切去一部分，并将切去部分浸没在容器甲的水中，水不溢出，此时容器中液面高度与剩余柱体乙的高度相同。下表记录的是放入前后水对容器底部的压强以及切去前后乙对地面的压强。
① 求容器中水增加的深度Δh水。
② 求剩余乙对地面的压强p0。
甲 乙
图15
放入前
放入后
p水(帕)
490
980
切去前
切去后
p乙(帕)
3920
p0
【答案】①
②
。
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