北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试优秀巩固练习

这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试优秀巩固练习，共17页。
考试时间：100分钟；满分：120分


姓名：___________班级：___________学号：___________成绩:___________


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．（3分）下列长度的3条线段能构成直角三角形的是（ ）


①8，15，17；②4，5，6；③7.5，4，8.5；④24，25，7；⑤5，8，17．


A．①②④B．②④⑤C．①③⑤D．①③④


2．（3分）一块矩形场地的长为16m，宽为12m，则它的对角线为（ ）


A．17mB．18mC．19mD．20m


3．（3分）Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）


A．25B．7C．12D．25或7


4．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）





A．10 mB．15 mC．18 mD．20 m


5．（3分）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）


A．2：3：4B．3：4：6C．4：6：7D．7：24：25


6．（3分）下列说法中正确的有（ ）


（1）如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形；


（2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；


（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；


（4）如果三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则ABC是直角三角形．


A．1个B．2个C．3个D．4个


7．（3分）斜边为17cm，一条直角边长为15cm的直角三角形的面积是（ ）


A．60B．30C．90D．120


8．（3分）直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ）


A．121B．120C．132D．以上都不对


9．（3分）在△A BC中，若a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n），则△ABC是（ ）


A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形


10．（3分）如图，最大的正方形为第1个正方形．第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第1个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第2013个正方形的边长a2013为（ ）





A．a2013＝4B．a2013＝2


C．a2013＝4D．a2013＝2


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．（4分）在△ABC中，AC＝17，AB＝8，BC＝15，则∠ABC＝ ．


12．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b＝ ，c＝ ．





13．（4分）一座桥横跨由西向东的一条河，桥长24m，一小船从桥南头出发，向正北方向驶去，由于水流原因，到达北岸后，发现已偏离桥北头10m，则小船实际行驶了 ．


14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a：b＝3：4，c＝20，则b＝ ．


15．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边关系为a2+c2＝b2，则 是直角．


16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则以AB为直径的半圆的面积为 ．





三．解答题（共10小题，满分66分）


17．（5分）如图，一辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的工厂厂门（上方为半圆）已知卡车高为3.0米，宽为1.6米，说明你的理由．





18．（5分）一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？


19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝15，求a、b的值．


20．（6分）如图，已知D是△ABC边BC上的一点，且AC2＝AD2+DC2．小明说，由上面条件可得到AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2，你认为小明说得对吗？为什么？





21．（6分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．试判断△ACD的形状，并说明理由．





22．（7分）如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．





23．（7分）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？





24．（7分）如图，圆柱底面圆的半径为 cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根棉线的长度最短是多少？





25．（8分）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，D为AC边的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．


（1）试判断线段DE与DF是否相等？并说明理由；


（2）若AE＝4，FC＝3，求线段EF的长．





26．（9分）如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．


（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；


（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；


（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？








北师大版数学八年级上册第1章勾股定理单元检测


参考答案与试题解析


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．（3分）下列长度的3条线段能构成直角三角形的是（ ）


①8，15，17；②4，5，6；③7.5，4，8.5；④24，25，7；⑤5，8，17．


A．①②④B．②④⑤C．①③⑤D．①③④


【解答】解：①152+82＝172，故能构成直角三角形；


②42+52≠62，故不能构成直角三角形；


③7.52+42＝8.52，故能构成直角三角形；


④242+72＝252，故能构成直角三角形；


⑤52+82≠172，故不能构成直角三角形；


故选：D．


2．（3分）一块矩形场地的长为16m，宽为12m，则它的对角线为（ ）


A．17mB．18mC．19mD．20m


【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，


∴∠C＝90°；


Rt△BCD中，BC＝16m，CD＝12m；


由勾股定理，得：BD＝＝＝20m．


故此矩形的对角线长为20m．


故选：D．





3．（3分）Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）


A．25B．7C．12D．25或7


【解答】解：若4为斜边时，根据勾股定理得第三边平方为42﹣32＝7；


若4不为斜边，根据勾股定理得第三边平方为42+32＝16+9＝25，


则第三边的平方为25或7．


故选：D．


4．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）





A．10 mB．15 mC．18 mD．20 m


【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5m，AB＝12m，


∴AC＝＝＝13m，


∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝5+13＝18m．


答：棵树原来高18m．





5．（3分）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）


A．2：3：4B．3：4：6C．4：6：7D．7：24：25


【解答】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误；


B、因为32+42≠62，所以不能组成直角三角形，故选项错误；


C、因为42+62≠72，所以不能组成直角三角形，故选项错误；


D、因为72+242＝252，所以能组成直角三角形，故选项正确；


故选：D．


6．（3分）下列说法中正确的有（ ）


（1）如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形；


（2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；


（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；


（4）如果三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则ABC是直角三角形．


A．1个B．2个C．3个D．4个


【解答】解：（1）不正确，因为根据三角形的内角和得不到90°的角；


（2）正确，由三角形内角和定理可求出∠C为90度；


（3）正确，设三边分别为6x，8x，10x，则有6x2+8x2＝10x2；


（4）正确，因为（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2．所以正确的有三个，


故选：C．


7．（3分）斜边为17cm，一条直角边长为15cm的直角三角形的面积是（ ）


A．60B．30C．90D．120


【解答】解：＝8．


（15×8）÷2＝60．


故选：A．


8．（3分）直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ）


A．121B．120C．132D．以上都不对


【解答】解：设另一直角边为x，斜边为y．


根据勾股定理得：


y2＝x2+121，


y2﹣x2＝121，


（y+x）（y﹣x）＝121＝121×1，


∵x，y为自然数，


∴x+y＝121，y﹣x＝1，


∴x＝60，y＝61，


∴周长为：11+61+60＝132．


故选：C．


9．（3分）在△A BC中，若a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n），则△ABC是（ ）


A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形


【解答】解：∵a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n），


∴a2＝m4﹣2m2n2+n4，b2＝4m2n2，c2＝m4+2m2n2+n4，


∴c2＝a2+b2，


∴△ABC是直角三角形．


故选：D．


10．（3分）如图，最大的正方形为第1个正方形．第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第1个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第2013个正方形的边长a2013为（ ）





A．a2013＝4B．a2013＝2


C．a2013＝4D．a2013＝2


【解答】解：设第1个正方形的边长a1＝2，


根据题意得，第2个正方形的边长为a2＝a1，


第3个正方形的边长为a3＝a2＝（a1）＝（）2a1，


第4个正方形的边长为a4＝a3＝（）2a1＝（）3a1，


…，


第2013个正方形的边长a2013＝（）2012a1，


∵a1＝2，


∴a2013＝2（）2012．


故选：B．


二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）


11．（4分）在△ABC中，AC＝17，AB＝8，BC＝15，则∠ABC＝ 90° ．


【解答】解：∵△ABC中，AC＝17，AB＝8，BC＝15，


∵152+82＝172，即BC2+AB2＝AC2，


∴∠ABC＝90°．


故答案为90°．


12．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b＝ 12 ，c＝ 10 ．





【解答】解：b＝＝12；


c＝＝10，


故答案为：12；10．


13．（4分）一座桥横跨由西向东的一条河，桥长24m，一小船从桥南头出发，向正北方向驶去，由于水流原因，到达北岸后，发现已偏离桥北头10m，则小船实际行驶了 26m ．


【解答】解：小船要行驶的路程为向南行驶了24米，偏离桥北头的距离为与桥的方向垂直的方向，


即AB＝24米，BC＝10米，


在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，


所以实际行驶的路程为AC＝＝26（米）．


故答案为：26m．





14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a：b＝3：4，c＝20，则b＝ 16 ．


【解答】解：a＝3x，b＝4x，则c＝5x．又c＝20，即5x＝20，所以x＝4，因此b＝4x＝16．


15．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若三边关系为a2+c2＝b2，则 ∠B 是直角．


【解答】解：∵在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边关系为a2+c2＝b2，


∴∠B是直角．


故答案为：∠B．


16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则以AB为直径的半圆的面积为 π ．





【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，


∴AB＝＝＝13，


∴以AB为直径的半圆的面积＝π（）2＝π（）2＝π．


故答案为：π．


三．解答题（共10小题，满分66分）


17．（5分）如图，一辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的工厂厂门（上方为半圆）已知卡车高为3.0米，宽为1.6米，说明你的理由．





【解答】解：设BB′与矩形的宽的交点为C，


∵AB＝1，AC＝0.8，∠ACB＝90°，


∴BC＝＝＝0.6米，


∵BB′＝BC+CB′＝2.3+0.6＝2.9＜3.0，


∴不能通过．





18．（5分）一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？


【解答】解：如图所示，直角三角形的两条直角边分别是OA＝20×＝40km，OB＝15×2＝30km．


再根据勾股定理，得两条船相距AB＝＝50km．





19．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝15，求a、b的值．


【解答】解：∵a：b＝3：4，


∴设a＝3k，b＝4k；


由勾股定理得：


（3k）2+（4k）2＝152，


解得：k＝3，


∴a＝9，b＝12．


20．（6分）如图，已知D是△ABC边BC上的一点，且AC2＝AD2+DC2．小明说，由上面条件可得到AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2，你认为小明说得对吗？为什么？





【解答】解：小明说得对，理由如下：


∵AC2＝AD2+DC2，


∴AD⊥BC，


∴在Rt△ABD及Rt△ACD中，


AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，


∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2，


故小明的说法正确．


21．（6分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．试判断△ACD的形状，并说明理由．





【解答】解：△ACD是直角三角形．理由是：


∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝9+16＝25，∴AC＝5，


又∵AC2+CD2＝25+144＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2，


∴△ACD是直角三角形．


22．（7分）如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．





【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，


∴AB2＝AC2+CB2，


∴AB＝15．


∵AD＝8，BD＝17，


∴DB2＝AD2+AB2，


∴∠DAB＝90°，


∴△ABD的面积＝AB×AD＝60．


答：△ABD的面积为60．


23．（7分）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？





【解答】解：将台阶展开，如下图，


因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，


所以AB2＝AC2+BC2＝169，


所以AB＝13（cm），


所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．


答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．





24．（7分）如图，圆柱底面圆的半径为 cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根棉线的长度最短是多少？





【解答】解：圆柱体的展开图如图所示，


用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB，


即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短，


∵圆柱底面半径为cm，


∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长＝2π×＝4cm，


又∵圆柱高为9cm，


∴小长方形的一条边长是3cm，


根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝5cm，


∴AC+CD+DB＝15cm，


答：这根棉线的长度最短是15cm．





25．（8分）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，D为AC边的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．


（1）试判断线段DE与DF是否相等？并说明理由；


（2）若AE＝4，FC＝3，求线段EF的长．





【解答】解：（1）DE＝DF，理由如下：


如图，连接BD．


∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，


∴BD⊥AC，BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，


∴∠C＝45°，


∴∠ABD＝∠C．


∵DE丄DF，


∴∠FDC+∠BDF＝∠EDB+∠BDF，


∴∠FDC＝∠EDB．


在△EDB与△FDC中，


∵，


∴△EDB≌△FDC（ASA），


∴DE＝DF；





（2）∵△EDB≌△FDC，


∴BE＝FC＝3，


∴AB＝AE+BE＝4+3＝7，则BC＝AB＝7，


∴BF＝BC﹣CF＝7﹣3＝4．


在Rt△EBF中，∵∠EBF＝90°，


∴EF2＝BE2+BF2＝32+42，


∴EF＝5．


故线段EF的长为5．





26．（9分）如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．


（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；


（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；


（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？





【解答】解：（1）由题意得：EF＝5m，CF＝4m，


则EC＝＝＝3（m）．


答：梯子的顶端距地面的垂直距离是3m；





（2）由题意得：BF＝1m，则CB＝4﹣1＝3（m），


AC＝＝＝4（m），


则AE＝AC﹣EC＝1m．


答：梯子的顶端升高了1m；





（3）若AC＝4.8m，则BC＝＝＝1.4（m），


应将梯子再向墙推进3﹣1.4＝1.6（m）．


答：应将梯子再向墙推进1.6m．