2024-2025学年广西壮族自治区南宁市青秀区高一上册10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广西壮族自治区南宁市青秀区高一上册10月月考数学检测试题（含解析），共18页。
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则，则等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 集合，，则下列关系式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 使 “”成立的必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
4. 已知命题，；命题，．若，都是假命题，则实数取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D.
5. 已知不等式的解集为，则的解集为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
6. 已知，若，则实数的取值构成的集合的真子集个数是（ ）
A. 1B. 3C. 7D. 15
7. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 10
8. 已知，，，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 对于实数，下列说法正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，
10. 下列结论不正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “，”是假命题
C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件
D. 命题“，”的否定是“，”
11. 下列函数中，最小值是2的是（ ）
A. B. y=+
C. D. y=+
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合，则______
13 设集合，若，则 _________ .
14. 若a，，且，则的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合；
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16. （1）已知，，求， 的取值范围
（2）已知，且，，试比较与的大小.
17. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
（2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围.
18. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.
（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
19. 已知二次函数．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数取值范围；
（2）设，解关于的不等式．
2024-2025学年广西壮族自治区南宁市青秀区高一上学期10月
月考数学检测试题
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】在数轴上表示出集合，再结合交集的定义即可得解.
【详解】集合在数轴上表示如图所示：
由图可得.
故选：B.
2. 集合，，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先分别求得集合A与集合B,进而即可得集合A与集合B的关系.
【详解】集合,
则,
对比四个选项可知,A、B、C均错误.
因为
所以D正确
故选:D
本题考查了集合的交集运算,注意集合表示的元素属性和特征,属于基础题.
3. 使 “”成立的必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正确答案】A
【分析】解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果.
【详解】不等式可化为解得
则成立，反之不可以.
所以是成立的必要不充分条件.
故选：A
4. 已知命题，；命题，．若，都是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D.
【正确答案】B
【分析】
写出命题p，q的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案.
【详解】因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：为真命题，
解得，
同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即为真命题，
所以，解得或，
综上：，
故选：B
本题考查命题的否定，存在量词命题与全程量词命题的否定关系，考查分析理解，推理判断的能力，属基础题.
5. 已知不等式的解集为，则的解集为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正确答案】C
【分析】由题意可得方程的两个根分别为3和4，结合韦达定理可求得，进而求解即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以方程的两个根分别为3和4，
则，解得，
所以，即，
即，即或，
所以的解集为或.
故选：C.
6. 已知，若，则实数的取值构成的集合的真子集个数是（ ）
A. 1B. 3C. 7D. 15
【正确答案】B
【分析】依题意可得或或，即可求出值，需代入检验是否满足集合元素的互异性，从而求出集合，即可求出其真子集个数.
【详解】因为且，
若，则，则；
若，则或，当时，，不满足互异性，
当时，，不满足互异性；
若，则或，当时，，则，
当时，不满足互异性；
，
所以集合的真子集个数为.
故选：B.
7. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 10
【正确答案】D
【分析】先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，从而可求出两集合的交集，通过长度为4可求出的值，再求两集合的并集及其长度.
【详解】方程的两根为，的两根为，
当时，，
当时，，，则，
当时，，，则，
因为的长度为4，所以或，得或，
当时，，，则，
当时，，，则
所以的长度为10，
故选：D
8. 已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．
【详解】已知，，，
则，
当且仅当 时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 对于实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，
【正确答案】BC
【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，
所以，故C正确；
对于D，取，满足，
而，故D错误.
故选：BC.
10. 下列结论不正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “，”是假命题
C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件
D. 命题“，”的否定是“，”
【正确答案】BC
【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断AC；利用特例法判断B；利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断D.
【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；
，所以“，”是真命题，B错误；
由，可得，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味着，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，C错误；
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“，”的否定是“，”，D正确.
故选：BC
方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
11. 下列函数中，最小值是2的是（ ）
A. B. y=+
C. D. y=+
【正确答案】AC
【分析】由基本不等式可判断AC；由基本不等式等号成立的条件可判断B；利用时，可判断D.
【详解】对于A，，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，由于无解，所以最小值不是2，故B错误；
对于C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，当时，，故最小值不是2，故D错误.
故选：AC.
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 集合，则______
【正确答案】
【分析】联立集合与中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．
【详解】联立集合与中两方程，解得，
则.
故答案为.
13. 设集合，若，则 _________ .
【正确答案】
【分析】根据集合相等列方程由此求得的值.
【详解】依题意，集合，
由于，所以，解得.
故
14. 若a，，且，则的最大值为___________．
【正确答案】
【分析】根据，从而可得，求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合；
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解；
（2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解.
【小问1详解】
当时，，，
所以.
【小问2详解】
因为,
所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
16. （1）已知，，求， 的取值范围
（2）已知，且，，试比较与的大小.
【正确答案】（1），；（2）．
【分析】（1）由不等式的性质直接求范围即可；（2）作差，再结合不等式的性质比较即可.
【详解】（1）∵，，
∴，.
∴.
又，
∴
（2），
因为且，，
所以；
又因为，所以，，
所以．
17. （1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
（2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由真包含于构造不等式即可求解；
（2）通过与同时为真命题，求范围，再求补集即可.
【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于
而，显然
于是，解得，
所以的取值范围为0,2；
（2）当命题为真命题时，
当命题为真命题时，，即，
所以与同时为真命题时有，解得
故与不同时为真命题时，的取值范围是.
18. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.
（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.
【正确答案】（1）
（2）当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元
【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解；
（2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解.
【小问1详解】
设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元，
则月销量为万瓶，
所以提价后月总销售利润万元，
因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润，
所以，即，解得，
所以售价最多为元，
故该饮料每瓶售价最多为元；
【小问2详解】
由题意，每瓶利润元，
月销售量为万瓶，
设下月总利润为，，
整理得：，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当时取等号，
故当售价元时，下月的月总利润最大为万元.
19. 已知二次函数．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，解关于的不等式．
【正确答案】（1） （2）答案见解析.
【分析】（1）由题意得二次函数对一切实数恒成立，根据二次函数的性质列求解即可.
（2）将关于不等式转化为，再分类讨论即可.
【小问1详解】
由题意二次函数对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
所以且，
解得.
所以实数的取值范围为.
小问2详解】
由，且，得，
当时，即时，不等式的解集为；
当a−2时，即时，不等式的解集为；
当时，即时，不等式的解集为.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.