数学七年级下册（2024）第一章 整式的乘除3 乘法公式教案及反思

这是一份数学七年级下册（2024）第一章 整式的乘除3 乘法公式教案及反思，共4页。教案主要包含了导入新课，合作探究，当堂检测，课堂小结【板书设计】等内容，欢迎下载使用。
第2课时 完全平方公式

1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力，会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；
2．通过实例，了解完全平方公式的几何背景，会运用完全平方公式进行一些简便运算；
3．通过观察图形的拼接，验证完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想．
重点：理解并掌握完全平方公式的推导和应用．
难点：掌握完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算．
一、导入新课
知识链接
1．多项式的乘法法则是什么？
(a＋b)(m＋n)＝________；
2．多项式乘法法则的几何意义是什么？
二、合作探究
探究一：完全平方公式的认识
算一算：
(1)(1＋p)2；
原式＝(1＋p)(1＋p)
＝12＋p＋p＋p2
＝1＋2p＋p2.
(2)(m＋3)2；
原式＝(m＋3)(m＋3)
＝m2＋3m＋3m＋9
＝m2＋2×3m＋9
＝m2＋6m＋9.
(3)(2＋3x)2.
原式＝(2＋3x)(2＋3x)
＝22＋2×3x＋2×3x＋9x2
＝4＋2×2×3x＋9x2
＝4＋12x＋9x2.
追问1：上述式子的左边有什么共同特征？计算的结果都是几次几项式？
左边都是两项和或差的平方，结果都是二次三项式.
追问2：计算结果的每一项分别与括号里的每项有什么关系？
结果的首尾项分别是左边括号里每项的平方，结果的中间项是括号里两项乘积的2倍．
比一比：
根据发现的特征，写出下面式子的答案：
(1)(a＋b)2＝________； (2)(a－b)2＝________．
观察并比较(1)(2)两个式子，等式左边(右边)相同的项．
追问1：(1)(2)两个式子等式右边不同的是哪一项？它的符号与什么有关？
＋2ab和－2ab.与两数中间的符号有关．
追问2：能否描述你们发现的规律？(分别从文字语言和符号语言角度引导)
文字语言：两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍．符号语言：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
要点归纳：
文字说明：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．这两个公式叫作完全平方公式．
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
符号表述：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
探究二：完全平方公式的几何验证
填一填：
一块边长为a的正方形实验田，因需要将其边长增加b，形成四块实验田，以种植不同的新品种．(如图)
(1)四块实验田面积分别为：a2、ab、
b2、ab；
(2)两种形式表示实验田的总面积：
①从整体看：边长为(a＋b)的大正方形，S大正方形＝(a＋b)2；
②从部分看：四块面积的和S＝a2＋2ab＋b2．
画一画：
我们能否将上面图形中表示边长的字母稍作调整，画一个图形验证(a－b)2＝a2－2ab＋b2 ?
如图所示．(画出一个即可)
教材P21例5，课件出示，学生独立完成．
思考1：(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？
(a－b)2与(b－a)2相等吗？
(－a－b)2＝(－a)2－2·(－a)·b＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
(b－a)2＝b2－2ba＋a2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
思考2：怎样计算1022，1972更简便呢？
分组讨论，试试哪一组算的又快又好．
运用乘法公式计算：
(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；
(2)(a＋b＋c)2.
(1)
原式＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9.
学生独立完成例题(2)的计算．
原式＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)＝(a＋b)2＋2(a＋b)·c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值．
因为a＋b＝7，
所以(a＋b)2＝49.
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29，
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
思考：本节课情境导入的问题你会了吗？(再次出示课件，解决问题，首尾呼应)
三、当堂检测
1．计算(2x－1)2的结果是（ C ）
A．2x2＋4x＋1 B．4x2－4x－1
C．4x2－4x＋1 D．4x2＋1
2．若(x＋a)2＝x2－10x＋b，则a，b的值分别为（ D ）
A．2，4 B．5，－25
C．－2，25 D．－5，25
3．计算：
(1)(x－2)2＝x2－4x＋4； (2)(m＋2n)2＝m2＋4mn＋4n2．
4．如图所示的图形验证了一个等式，则这个等式是(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．
5．运用完全平方公式计算：
(1)10.12＝(10＋0.1)2＝102.01；
(2)1982＝(200－2)2＝39 204.
6．若x＋y＝17，xy＝60，则x2＋y2＝169，(x－y)2＝49．
四、课堂小结【板书设计】
本节课是整式的乘除一章中的重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算．学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度．在教学过程中，应注重引导学生归纳公式的等号两边的结构特征，特别注意让学生用自己的语言描述公式的结构特征，同时引导学生发现在运用公式过程中容易出现的问题和注意的细节，比如二倍乘积在中间的时候，符号问题．然后再通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用，为完全平方公式第二节课的实际应用和提高应用做好充分的准备．