北师大版（2024）七年级下册（2024）3 乘法公式示范课课件ppt

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）3 乘法公式示范课课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了x2-49b2，n2-m2，10000-9，100²-3²，120²-2²，6x－25，＝10n2-10，n为正整数，所以n2-1为整数，观察·思考等内容，欢迎下载使用。
1. 掌握平方差公式，会进行平方差公式的变形计算.2. 理解平方差公式的几何意义，培养数学感知能力.
1. 平方差公式是怎样的？
(a+b)(a-b)=a2-b2
2. 利用平方差公式计算： (1) (2x+7b)(2x-7b)= (2) (-m+3n)(m+3n)=
3. 你能快速的计算 201×199 吗？
如图1，边长为 a 的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
(1)请表示图1 中的阴影部分的面积；
阴影部分的面积：a2-b2
(2)小颖将图1 中的阴影部分拼成了如图2 所示的长方形，如何表示这个长方形的面积？
长=a+b； 宽=a-b； 面积= (a+b)(a-b).
(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
由于阴影部分面积一定，所以由(1)(2)可得，a2-b2 =(a+b)(a-b)
(4) 对于图1阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗？
将阴影部分分成两个矩形进行计算：阴影①： a·(a-b) ；阴影②： (a-b)·b ；阴影部分面积= a·(a-b)+ (a-b)·b =(a-b)·(a+b) =a2-b2
方法二：如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2.
例1 计算：(1)103×97. (2)118×122.
解：(1)103×97
=(100+3)(100-3)
解：(2)118×122
=(120-2)(120+2)
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
例2 计算：(1)a2(a＋b)(a－b)+a2b2. (2)(2x＋5)(2x－5)-2x(2x－3).
解：(1)a2(a＋b)(a－b)+a2b2
=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
解：(2)(2x＋5)(2x－5)－2x(2x－3)
=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
例3 对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2-1-(9-n2)
因为(10n2-10)÷10=n2-1.
在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
(1)计算下列各组算式:(2)观察上述算式及其结果，你发现了什么规律？(3)请用字母表示你发现的规律.
11×13=12×12=
79×81=80×80=
143 144
6399 6400
两个连续奇数的积等于中间所夹偶数的平方减1.
(a－1)(a＋1)＝ a2－1.
1.若m+982-1=1022，则m的值为( )
A.100 B.799 C.800 D.801
2.从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形(如图1)，然后拼成—个平行四边形(如图2)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为( )
A.a2-b2=(a-b)2 B.(a+b2)=a2+2ab + b2 C.(a-b2)=a2-2ab + b2 D.a2-b2=(a+b) (a-b)
3. 利用平方差公式计算：(1) 51×49； (2)102 × 98；
(3) 992-1 ；
(4) 20182-2016×2020 .
4. 计算:(1)(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2； (2)(x+y)2-(x-y)2 .
解：(1)(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
=(3mn)2-1-8m2n2
=9m2n2-1-8m2n2
解：(2)(x+y)2-(x-y)2
=(x+y+x-y)(x+y-x+y)
5. 先化简，再求值：(x+1)(x-1)+x2(1-x)+x3，其中x=2.
解：原式=x2-1+x2-x3+x3
原式=2×22-1=7.
6. 小红家有一块L型的菜地，如图所示，要把L型的菜地，按图那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是a m，下底都是b m，高都是(b－a)m，请你帮小红家算一算这块菜地的面积共有多少？并求出当a＝10，b＝30时，L型菜地的总面积．
解：由题意，得这块菜地的面积为2× (a＋b)(b－a)＝b2－a2(m2)．当a＝10，b＝30时， 原式＝302－102＝800(m2)．
1. 利用平方差公式简化一些数字计算.
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
2. 逆用平方差公式进行简化、计算.
知识点1　利用图形验证平方差公式1考
1. (教材素材改编)如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小 正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则 根据两个图形中阴影面积相等可以验证的数学算式为(　B　)
2. 如图所示的大正方形是由四个完全相同的等腰梯形拼接而成，其中大 正方形的边长为a，小正方形的边长为b.(1)请你用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
解：方法一：阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积＝a2 －b2，
(2)此图可以验证的整式数学公式是什么？
此图可以验证平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
4. (教材例题改编)利用平方差公式进行简便计算：(1)1.3×0.7；(2)106×94.
解：(1)原式＝(1＋0.3)×(1－0.3) ＝12－0.32 ＝1－0.09 ＝0.91；
(2)原式＝(100＋6)×(100－6) ＝1002－62 ＝10 000－36 ＝9 964.
知识点3　与平方差公式有关的综合运算27考5. 计算：a2－(a＋4)(a－4)＝ ⁠.6. 计算：(1)(3m－n)(3m＋n)＋n(m＋n)；
解：原式＝9m2－n2＋mn＋n2 ＝9m2＋mn；
7. 计算2 0242－2 023×2 025的结果为(　C　)
8. 有三个连续奇数，若中间的数字为t，则这三个数的积是 ⁠.
9. 已知a2－2b2＝5，求代数式(a＋b)(a－b)＋(2a＋3b)(2a－3b)的值.
解：原式＝a2－b2＋(2a)2－(3b)2 ＝a2－b2＋4a2－9b2 ＝5a2－10b2，因为a2－2b2＝5，所以原式＝5(a2－2b2)＝5×5＝25.
10.陈叔叔承包了一片正方形的鱼塘，现准备将鱼塘改造一下，他将鱼塘的一组对边增加5米，另一组对边减少5米.这样改造以后，鱼塘的面积有没有变化？如果有变化，面积增大或减少了多少平方米？
解：有变化，设原来正方形鱼塘的边长为x米，则原来鱼塘的面积为x2平 方米，改造后鱼塘的面积为(x＋5)(x－5)＝(x2－25)平方米，所以变化的面积为x2－(x2－25)＝25(平方米)，所以鱼塘的面积减少了，减少了25平方米.
11.在《几何原本》中，记载了一种利用几何图形验证平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的方法.如图，已知AC＝BC＝BF＝a，EG＝EL＝b，请根据图形写出平方差公式的验证过程(已知图中各四边形均为长方形或正方形).
解：由题意可知，四边形BCEF和四边形EGHL都是正方形，因为AC＝BC＝BF＝a，EG＝EL＝b，所以AK＝BM＝BF－MF＝a－b，BD＝BC－CD＝BC－EG＝a－b，所以S长方形AKLC＝AC·AK＝a(a－b)＝BF·BD＝S长方形DBFG，所以S正方形BCEF＝a2＝S长方形CDHL＋S长方形DBFG＋S正方形EGHL＝S长方形CDHL＋S长 方形AKLC＋b2，所以a2＝S长方形AKHD＋b2，即S长方形AKHD＝a2－b2，因为S长方形AKHD＝AK·AD＝(a－b)(a＋b)，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
12. (补充思路过程)数学中的很多问题利用合适的方法可以将复杂问题简 单化.例如计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)时，小刚同学想到用一个“引 子”就可以使这个式子的计算有规律，思路如下：
所以(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)
＝( )(24＋1)(28＋1)
＝(28－1)(28＋1)
＝( ).
[此考法北京、江西等地中考已考查]
(1)根据小刚同学的解题思路，将上述过程补充完整；