福建省厦门双十中学2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析）

这是一份福建省厦门双十中学2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了全卷分三个部分，共25题；等内容，欢迎下载使用。
期中考试试卷
(试卷满分：150分 考试时间： 120分钟)
考生注意：
1．全卷分三个部分，共25题；
2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求) ．
1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．如图将绕点A顺时针旋转到，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．将抛物线yx2平移得到抛物线 y (x 5)2，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移 5个单位B．向右平移 5个单位
C．向上平移 5个单位D．向下平移 5个单位
5．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ）
A．9B．3C．D．
6．若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为（ ）．
A．B．C．D．
7．平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A．（－2 ，l )B．（－2，－l )C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )
8．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．如图，在中，， 点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（ ）
A．B．4C．D．
10．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的值为（ ）
A．4B．1C．﹣2D．﹣1
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．已知抛物线，当时，y随x的增大而 ．
12．请写出一个关于x的一元二次方程；并且方程有两个相等的实数根．则这个一元二次方程可以是 ．
13．如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是 ．
14．若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为 ．
15．二次函数 自变量和对应函数值的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式． 的解集为
16．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；，如此进行下去，直至得，若在第段抛物线上，则 ．
三、解答题(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程：x2+4x+1=0．
18．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
19．如图， 在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D 恰好落在边上时．
(1)作出；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)求的长．
20．如图，x轴上依次有六个点，且从点处向右上方沿抛物线．发出一个带光的点．
(1)求抛物线顶点坐标； 并在图中补画出轴；
(2)若抛物线上点，若，直接写出的取值范围为 ．
21．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
22．综合与实践
数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务．

【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
【收集数据】记录的数据如下：
【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示v与t的函数关系，用二次函数近似地表示y与t的函数关系．请直接写出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．

①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？
②若黑球到达木板A点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由．
23．在平面直角坐标系中，设二次函数(m是实数)．
(1)当时，若点在该函数图象上，求n的值．
(2)小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗? 为什么?
(3)已知点，都在该二次函数图象上，是否存在m， 使得c存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
24．综合与实践：
问题情景：如图1、正方形与正方形的边，在一条直线上，正方形以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接，．

(1)操作发现：当正方形旋转至如图2所示的位置时，求证：；
(2)操作发现：如图3，当点E在延长线上时，连接，求的度数；
(3)问题解决：如图4， 如果，，，请直接写出点G到的距离．
25．已知抛物线的顶点是P，且交x轴于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过原点O的直线与抛物线交于C，D两点，其中点C在y轴的左侧．
①若直线的表达式为，求的面积；
②若C，E两点关于y轴对称，O，Q两点关于P对称，求证：D，E，Q三点共线．
x
0
1
2
y
13
8
5
4
5
8
13
运动时间t/s
0
3
6
9
12
15
…
运动速度V/（）
10
8.5
7
5.5
4
2.5
…
运动距离y/
0
27.75
51
69.75
84
93.75
…
1．A
解：∵一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，
∴此抛物线的解析式为，
故选：A．
2．B
解：将绕点A顺时针旋转到，且，
，，
，
故选B．
3．D
解：由中心对称图形的定义可知：D为中心对称图形，
故选：D ．
4．B
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x-5）2的顶点坐标为（5，0），
而点（0，0）先向右平移5个单位，可得到点（5，0），
所以抛物线y=x2向右平移5个单位，即可得到抛物线y=（x-5）2．
故选：B．
5．D
解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，
∴，解得：．
故选D．
6．B
解：把代入一元二次方程得，
故选：B．
7．A
解：∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，l ）．故选A．
8．C
解：当y=14时，，
解得，，
∴A（，14），C（，14），
∴AC=．
故选：C．
9．D
解：设与交于点D，
∵，点 O 为的中点，
∴，
将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
即两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为，
故选：D．
10．C
解：∵（a+m）（a+n）=2，（b+m）（b+n）=2，
∴a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，
∴ab=mn2，
∴abmn=2．
故选：C．
11．减小
解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
12．
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴符合题意的一元二次方程可以是，即
故答案为：（答案不唯一）．
13．
解：设与墙垂直的边长为，
则墙的对面的一条边的长为，
所以列出方程为．
故答案为：．
14．16
解：令y=0，得到 ．
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴==64-4k=0，解得k=16
故答案为：16．
15．
解：，即，
由题意可知，当，时，，
且时，二次函数 有最小值4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当解集为：，
故答案为：．
16．或
解：∵
∴图象与轴交点坐标为：，，
∴，
∵将绕点旋转得，交轴于点；
∴，同理可得，
，
∴，，，，
∴第段抛物线解析式为，
则当时，，解得：，，
∴点，在第段抛物线上，
∴第段抛物线可以看作第解析式为，向右平移个单位，
∴点，向右平移个单位，
∴对应点的坐标为，，
∴的值为或，
故答案为：或．
17．，．
解：∵a=1，b=4，c=1，
∴△=42﹣4×1×1=16﹣4=12＞0，
∴，
∴，．
18．
解：设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为，由题意得：
，
解得：（舍去），，
答：每次降价的百分率为．
19．(1)见解析
(2)
（1）解：如图：即为所作，
；
（2）解：由旋转的性质可得，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
20．(1)，图形见解析
(2)
（1）解：，
抛物线顶点坐标是，补充图形如下
（2）解：抛物线上点，若，
，
时，，当时，．
抛物线顶点坐标是，
．
故答案为：．
21．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)，
（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵是方程的根，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵是等腰直角三角形，c为斜边，
∴，，
∴，
∴原方程可得化为：，
解得：，．
22．【建立模型】；；①当黑球在水平木板上滚动了64cm时，运动速度是6cm/s；②不能，理由见解析．
解：由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数，
设关于的函数解析式，把，代入解析式得：
，
解得，
∴，
由表格中数据可知运动距离与运动时间是二次函数，
设运动距离与运动时间之间的函数解析式为，
把，，代入解析式得
，
解得，
∴，
①由题可知：当时，，
解得：，．
当时，；
当时，（舍去）；
∴当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是．
②设黑球与小车的距离为，
，
．
，
抛物线开口向上，
当时，w的最小值为6，
，
黑球不会碰到小车．
23．(1)
(2)小明说法对，理由见解析
(3)c存在最大值，最大值为
（1）解：当时，，
∵若点在该函数图象上，
∴，即；
（2）解：小明说法对，理由如下：
∵，
∴二次函数的顶点为，
当时，，
∴顶点在直线上，
（3）解：∵点，都在该二次函数图象上，
∴二次函数的对称轴为直线，
由题意可得可得二次函数的顶点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴c存在最大值，最大值为．
24．(1)见解析
(2)
(3)
解：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解；过F作，垂足为H，

∵，
∴，，
∴，
∵四边形AEFG是正方形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
（3）解：如图，连接，，过点B作于点H，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设点G到的距离为h，
∵，
∴，解得：，
∴点G到的距离为．

25．(1)
(2)①；②证明见解析
（1）解：抛物线交x轴于A-2,0，两点．
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）①如图，过点C作轴，轴，垂足分别为

∵抛物线为：，
∴顶点，
∵直线的表达式为，
∴，
解得：或，
∴，，
∴
；
②如图，

设直线的表达式为，
∵C，D两点在抛物线上，抛物线的表达式为，
∴，整理得，
解得：，
∴，，
∵C，E两点关于y轴对称，O，Q两点关于P对称，顶点，
∴，，
设直线的表达式为y=mx+n，
∴，
解得
∴直线的表达式为，
把代入，解得，
∴符合直线的表达式，
∴D，E，Q三点共线；