山西省太原市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间：上午 8：00—10：00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间 120 分钟，满分 150 分.
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 抛物线 y2=4x 的焦点坐标是
A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0）
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： 的焦点坐标为 ，故选 D.
【考点】抛物线的性质
【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要
内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．
2. 双曲线 的顶点坐标为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的几何性质即可求解.
【详解】由双曲线方程 可知双曲线焦点在 轴上， ，所以双曲线 的顶点坐标为
， .
故选：B.
3. 已知抛物线以圆 的圆心为焦点，则其标准方程为（ ）
A B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得到圆心为 ，可得 ，再利用标准方程的形式，即可求解.
【详解】因为 的圆心为 ，所以 ，得到 ，
又焦点在 轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为 ，
故选：D.
4. 已知双曲线的一个焦点为 ，其离心率 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件求得 ，再根据焦点位置确定渐近线方程．
【详解】由题意 ， ， ，所以 ，
焦点在 轴，则渐近线方程为 ，
故选：A．
5. 已知双曲线 C 以椭圆方程 E： 的焦点为顶点，以 E 的顶点为焦点，则双曲线 C 的标准方程为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出椭圆的顶点和焦点，即可得出双曲线方程.
【详解】∵椭圆方程 E： 的焦点坐标为 ， ，上、下顶点为 ，
.
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∴设双曲线方程 C： ，则 ，
，∴设双曲线方程 C：
故选：C.
6. 已知点 P 是抛物线 上一点，则点 P 到直线 的距离的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点 P 在抛物线 上，设 ，结合点到直线的距离公式与二次函数的性质即可求
解.
【详解】∵点 P 在抛物线 上，∴设 ，
∴点 到直线 的距离 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
点 P 到直线 距离的最小值为 .
故选：A.
7. 已知直线 与双曲线 相交于 、 两个不同点，点 是
的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】利用点差法可求得 ，结合 可得出双曲线 的离心率的值.
【详解】设点 、 ，由题意可得 ，
因为点 是 的中点，则 ，
因为 ，这两个等式作差可得 ，
所以， ，
因此，双曲线 的离心率为 .
故选：D.
8. 古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定直
线的距离的比是常数 e 的点的轨迹叫做圆锥曲线.当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；
当 时，轨迹为双曲线.若方程 表示的曲线是双曲线，则实数 k 的取值范
围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把方程化为点 到定点的距离与到定直线距离之比的形式后，由定义可得．
【详解】由 得 ，即 ，
该方程表示双曲线，则 ，解得 ，
故选：B．
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
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项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知 ， ，双曲线 ： 与 ： ，则下列结论正确的是（ ）
A. 它们的实轴长相等 B. 它们的焦点相同
C. 它们的离心率相等 D. 它们的渐近线相同
【答案】AC
【解析】
【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项．
【详解】对于 A，由题意可知双曲线 的长轴长均为 ，所以它们的实轴长相等，故 A 正确；
对于 B，双曲线 的焦点分别在 轴和 y 轴上，所以它们的焦点不相同，故 B 错误；
对于 C，双曲线 的焦距均为 ，所以它们的离心率均为 ，即它们的离心率相等，
故 C 正确；
对于 D，双曲线 的渐近线分别为 和 ，
所以当 即 时，它们的渐近线不相同，故 D 错误.
故选：AC．
10. 已知直线 l： ，抛物线 C： ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 l 过定点
B. 当 时，直线 l 与抛物线 C 相切
C. 当 时，直线 l 与抛物线 C 有两个公共点
D. 当直线 l 与抛物线 C 无公共点时， 或
【答案】BD
【解析】
【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断 A，利用特例判断 C，由直线方程与抛物线方程组成方程
组，由方程组的解的情况判断 BD．
【详解】选项 A，因为 ，因此 不是直线 所过定点，A 错；
选项 B， 时，直线方程为 ，代入抛物线方程得 ，解得 ，从而
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，
又直线 与抛物线的对称轴不平行，所以直线 与抛物线相切，切点为 ，B 正确；
选项 C， 时，直线方程为 ，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C 错；
选项 D， 得 ，
由 ，得 或 ，D 正确．
故选：BD．
11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年法国天文学家卡西尼在研
究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中， ， ，动点 P 满足
，记动点 P 的轨迹为曲线 C，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 C 关于原点对称 B. 点 P 的横坐标的取值范围为
C. 面积的最大值为 2 D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用对称性判断 A，结合曲线方程判断 BC，利用平面几何性质及对勾函数性质求解判断 D．
【详解】设 ，由题意 ，变形得
，
点 代入有 ，
所以点 为 关于原点对称的点，也在曲线上，即曲线关于原点对称，A 对，
曲线方程整理为 ，
令 ，则 ，此关于 的方程有实数解，
则 ，
又 ，即方程有非负数解，
所以 ，解得 ，当 时， ，即 和 是曲线上的
点，
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所以横坐标范围是 ，B 错，
选项 C，曲线 方程整理为 ，
因此 ，解得 ，
时， ， 时, ，即点 在曲线 上，
所以 ，C 正确；
选项 D，首先 ，当 是 中点时， ， ，
不妨设 ，则 ， ，
， ，解得 ，
，由对称性得 ，
，记 ，则 ， ，
由对勾函数性质知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
时， ， 时， ，
所以 ，D 正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：利用两点式得到 所在的曲线方程 ，令
有 ，应用方程及函数思想为关键.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 抛物线 的准线方程是___________________.
【答案】
【解析】
【分析】将 化成抛物线的标准方程 ，利用抛物线的性质求解即可．
【详解】由 得： ，所以 ，即：
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所以抛物线 的准线方程为： ．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
13. 已知过抛物线 C： （ ）的焦点 F 且斜率为 的直线与 C 相交于 A，B 两个不同点，若
，则 （O 是坐标原点）的面积为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】设直线 方程为 ，设 ，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理
结合弦长公式求得 ，再求出 到直线 的距离后，由面积公式计算．
【详解】由题意 ，直线 方程为 ，设 ，
由 得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，解得 （负值舍去），即直线 方程为 ，
所以 到直线 的距离为 ，
，
故答案为：1.
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14. 已知双曲线 E： 的左焦点为 F，点 M 是 E 右支上的动点，点 N 是圆 上的
动点，则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得 ，再根据定点到圆上一动点
的距离最值的解法即可求解.
【详解】设双曲线 E： 的右焦点为 ，则 ， .
由双曲线定义可得 ，即 .
，
当且仅当 三点共线时， 取得最大值 .
∵点 N 是圆 上的动点，
∴ 圆心设为 ，半径 ，
， .
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）已知抛物线 C 经过点 ，求 C 的标准方程和焦点坐标；
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（2）已知双曲线 C 经过点 ， ，求 C 的标准方程和焦点坐标.
【答案】（1）标准方程为 ，其焦点坐标为 或 ，焦点坐标为 ；（2）
，其焦点坐标为 .
【解析】
【分析】（1）根据焦点在 x 轴正半轴上，或在 y 轴正半轴上分类讨论设出抛物线方程，代入点的坐标求得参
数值，得结论；
（2）根据焦点在 x 轴上，或在 y 轴上分类讨论设出双曲线方程，代入点的坐标求得参数值，得结论；
【详解】（1）由题意知抛物线的焦点在 x 轴正半轴上，或在 y 轴正半轴上.
当焦点在 x 轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为 （ ），则 ，
∴ .
故抛物线的标准方程为 ，其焦点坐标为 .
同理可得，当焦点在 y 轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为 （ ），则 ，
∴ .
故抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为 .
（2）当双曲线的焦点在 x 轴上时，设其标准方程为 （ ， ），
由 得 ，
∴ ，焦点坐标为 .
当双曲线的焦点在 y 轴上时，设其标准方程为 （ ， ），
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因 无解，所以双曲线的焦点在 y 轴上不成立.
综上，双曲线的标准方程为 ，其焦点坐标为 .
16. 已知点 在抛物线 C： （ ）上，且点 P 到 C 的准线的距离为 2.
（1）求 C 的方程；
（2）设圆 与抛物线 C 相交于 A，B 两个不同点，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义求得 ，得抛物线方程；
（2）圆方程与抛物线方程联立，求得交点坐标后可得两点间距离．
【小问 1 详解】
由题意得 ，
∴ ，
∴抛物线 C 的方程为 .
【小问 2 详解】
设 ， ，由 得 ，
解得 或 （舍去），
当 时，则 ，
∴ .
17. 已知点 ， ，动点 P 满足 ，记点 P 的轨迹为曲线 C.
（1）求曲线 C 的方程，并说明曲线 C 的形状；
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（2）若双曲线 E 的右焦点是曲线 C 的对称中心，其渐近线是曲线 C 的切线，求双曲线 E 的标准方程.
【答案】（1） ，曲线 C 是以 为圆心， 为半径的圆
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，根据两点间距离公式得到方程，化简即可求解.
（2）由（1）可设双曲线 E 的方程为 （ ， ），且 ，结合点到直线的距离公式与
双曲线渐近线方程，即可求解.
【小问 1 详解】
设 ，由题意得 ，
化简并整理可得曲线 C 的方程 ，
∴曲线 C 是以 为圆心， 为半径的圆.
【小问 2 详解】
由（1）可设双曲线 E 的方程为 （ ， ）， ，
圆心 到双曲线 E 的渐近线 的距离 ，
∴ ， ，∴双曲线 E 的标准方程为 .
18. 已知点 ， ，直线 PM 与 PN 相交于点 P，且它们的斜率之积为 ，记点 P 的轨迹
为曲线 C.
（1）求曲线 C 的标准方程；
（2）若直线 l： 交曲线 C 于 A，B 两点，点 （不在直线 l 上），是否存在实数 k，使得直
线 QA 与 QB 的斜率之和为 0？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） （ ）
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（2）存在实数 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设 ，运用直线的斜率公式，结合题意化简可得曲线 C 的方程；
（2）假设存在实数 k，使得直线 QA 与 QB 的斜率之和为 0.设 ， ，联立直线方程与
双曲线方程、消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合斜率公式与
求解即可.
【小问 1 详解】
设 ，由题意得直线 PM 斜率为 （ ），
直线 PN 斜率为 （ ），
∴ ，
化简，得曲线 C 的标准方程 （ ）.
【小问 2 详解】
假设存在实数 k，使得直线 QA 与 QB 的斜率之和为 0.设 ， ，
由 得 ，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ 或 ，
当 时，直线 l 的方程为 ，即 l 过点 Q，不符合题意；
当 时，则 ， ， ，符合题意；
综上所述，存 实数 .
【点睛】方法点睛：直线与双曲线的综合应用的解题通法为：联立方程组、
消元、利用韦达定理得到直线与双曲线交点坐标满足的关系式，再结合题中已知条件求解即可.
19. 椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆 C 的一个焦点 发出的光线，被椭圆上点 P 反射后，反射光线经
过另一个焦点 ，且椭圆在点 P 处的切线 l 与 的平分线 l＇（即法线）垂直.已知椭圆 C 的中心为坐
标原点 O，左、右顶点分别为 A，B，焦点为 ， .由 发出的光线经椭圆 C 两次反射
后回到 所经过的路程为 8c.过点 作直线 l 的垂线，垂足为 D， .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）当点 P，A，B 不共线时，设 内切圆的圆心为 ，求实数 n 的取值范围；
（3）过点 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点（均与 A，B 不重合），直线 AM 交直线 于点 G，证明：
B，N，G 三点共线.
【答案】（1）
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（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）延长 交 的延长线于点 Q，易得 ，即可求
解椭圆方程；
（2）设 （ ），根据三角形面积公式可得 ，根据椭圆的范围即可求解；
（3）设直线 MN 的方程为 ， ， ，求出 ， 的坐标，即可证明.
【小问 1 详解】
由题意设椭圆 C 的方程 （ ），则 ，∴ .
如图所示，延长 交 的延长线于点 Q，由直线 l＇平分 ，且 ，∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴椭圆 C 的方程为 .
【小问 2 详解】
由题意设 （ ），由 得 ，
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由 的面积 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，且 ，
∴实数 n 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
由（1）得 ， ， ，设直线 MN 的方程为 ，
设 ， ，直线 BN 与直线 交于点 E，如图所示.
直线 AM 的方程为 ，令 ，则 ，∴ ，
直线 BN 的方程为 ，令 ，则 ，∴ ，
由 得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴点 G 与 E 重合，
∴B，N，G 三点共线.
【点睛】方法点睛：椭圆与直线的综合应用的解题通法为联立方程组、消元、利用韦达定理得到直线与椭
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圆交点坐标满足的关系式，再结合题中已知条件求解即可.
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