2024~2025学年山西省晋城市高二上学期12月大联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年山西省晋城市高二上学期12月大联考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知点在双曲线(，)的一条渐近线上，则该双曲线的离心率为( )
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为，
因为点在一条渐近线上，所以，所以，
所以该双曲线的离心率.
故选：D.
2. 已知数列的前项积，则的值为（ ）
A. 9B. 5C. D.
【答案】C
【解析】数列前项积，即，
则当时，，
两式相除，得，
所以.
故选：C.
3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】由余弦定理可得，
所以.
由正弦定理可得，则，又，故.
故选：B.
4. 已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点,且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，∵为底面圆的直径，∴，∵，∴，
∴点为中点，即
如图：
在圆柱中可得，，
∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，
∴，，
设直线与的夹角为，则.
故选：A.
5. 已知直线经过椭圆的左焦点，且与轴的正半轴交于点，若满足的点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，故为的中点，故，
故，而，故，其中
整理得到：，
故，故，
故长轴长为，
故选：D.
6. 定义行列式，若各项均为正数的等比数列，其前项和为，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】由题意可得，.
由等比数列的性质，可得，所以原式.
故选：A.
7. 设抛物线的焦点为,过的直线与抛物线交于，两点，且，是坐标原点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为，
联立，得，显然，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
由，可得，所以，，
所以，所以.
所以的面积为.
故选：A.
8. 已知函数，若不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
令，
∵，∴是奇函数，
，∵，∴单调递减
∴是上的增函数.
由题可得对恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立.
令，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，，所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 直线与圆相离
C. 过圆心且与直线垂直的直线方程为
D. 到直线的距离等于的点只有1个
【答案】BD
【解析】对于A，圆：的标准方程为
，
所以圆心，半径，
由圆的半径为2，则，解得，故A错误；
对于B，因为直线方程为，
则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故B正确；
对于C，因为直线垂直的直线斜率为，
则过圆心且与直线垂直的直线方程为，
即，故C错误；
对于D，因为圆心到直线的距离，
由，所以到直线的距离等于的点只有1个，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 函数在区间内单调递增
D. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到的图象
【答案】ABD
【解析】A，因为，
所以函数的最大值为，故A正确；
B，因为，
所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；
C，当时，，
所以函数在区间内是先减后增，故C错误；
D，将函数图象横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，
再向左平移个单位长度，得到的图象，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，已知正方体的棱长为2，点为棱AB的中点，点在平面内及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A. 若点是的中点，则
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 若动点满足，则PM的最小值为
D. 若点到点的距离等于点到直线的距离，且，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意得，，，四边形是矩形，
则，在中，，
若点是的中点，则，
在中，，，
由余弦定理可得
，故A正确；
对于B，因为，所以点的轨迹是以AB为直径的半圆，
半径长为1，则轨迹长度为，故B错误；
对于C，若点满足，则点的轨迹是以，分别为左、右焦点，
长轴长为，焦距为椭圆，是椭圆的中心，
则椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长，
由，，得短半轴长为，
则PM的最小值为，故C正确；
对于D，因为点到点的距离等于点到直线的距离，
过点作于点，过点作于点，则，
又，则，则，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为______.
【答案】70
【解析】因为，所以数列的首项为，
故，
所以，
故数列的前5项和为.
故答案为：70
13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】由正弦定理，可知，又，
由双曲线定义，可知，解得，，
又，所以为的靠近的一个三等分点，
所以，，
因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，所以，
所以.
又在中，，所以，
所以，得，则，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
14. 已知在平面内，点Px0,y0到直线（，）的距离.此公式可推广到空间内,为求解点到平面的距离多添了一种方法.现在空间直角坐标系中,定义：平面的一般方程为(,
)，则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于______.
（备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面）
【答案】
【解析】如图，以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面PAB的一般方程为（，），
因为不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面，
所以将坐标代入，得
解得，，，
由题知不全为0，所以，
所以，
即，
所以点到侧面PAB的距离.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上.
（1）求抛物线的方程；
（2）若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积.
解：（1）因为抛物线：过点，
所以，，则抛物线方程为.
（2）由题可得，设Ax0,y0，则，，，
所以，.
因为，所以，解得或（舍），
故，，，.
又点，，所以，又，
所以四边形是平行四边形，
设为坐标原点，所以四边形的面积为.
16. 如图，三棱柱中，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）在中，由余弦定理，可得，
则，化简得，解得，
则有，所以，
又，平面ABC，所以平面ABC，
又平面ABC，所以，
又，，平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）易知，AC，BC两两相互垂直，
以为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，，，
设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，
则，可得，
所以，令，则，，
设平面的法向量为，
则,可得,
令，则，，故，
设平面与平面的夹角为，
则，解得，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，如图，椭圆的四个顶点与左右焦点围成的阴影部分的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，以AB为直径的圆经过坐标原点，求面积的最大值.
解：（1）由题意，得，则，.
又阴影部分的面积为，
得，即，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，则，.
①当直线AB的斜率不存在时，即，，
因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以，则，
即，得，
又在椭圆上，所以，解得，，
所以.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为.
由，消得，
则，，，
因为以AB为直径圆过坐标原点，所以，则，
即，
故
，
即，
整理得.
又
，
故.
又到直线AB的距离，
所以
，
当且仅当，即，即时，等号成立，即.
又，所以面积最大值为.
18. 已知数列与数列的通项公式分别是点的横、纵坐标,即点,且满足.
（1）若数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项，求数列的前10项和；
（2）若，设过两点，的直线在轴上的截距为，求数列的前项和.
解：（1）设数列的公差为，，
则，①
又因为是和的等比中项，
所以，即，
整理得，②
由①②解得，
所以，
又因为，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故数列的前10项和为.
（2）由，得，则点，点.
所以，
所以直线的方程为，
令，可得，
所以，
所以
，
所以，
故，
两式相减得
，
所以.
19. 几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究方法.其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为：.已知椭圆：的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为，，（，，均存在）.
（1）求极线的方程；
（2）求证：.
解：（1）由椭圆：的长轴长为，
则，解得，
又椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，
所以，解得.
所以椭圆的方程为.
由题意可知，对于椭圆，
极点对应的极线的方程为，即.
（2）如图：

显然不存在时，不存在交点，∴一定存在，
设，联立方程组，
整理得，
，即，
设交点，则，，
设，则，，，
，
，
，
，
即.