江苏省扬州市高邮市2024-2025学年九年级上学期1月期末 数学试题

这是一份江苏省扬州市高邮市2024-2025学年九年级上学期1月期末 数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．打开电视，正在播放新闻节目是必然事件
B．抛一枚硬币，正面朝上的概率为，表示每抛两次就有一次正面朝上
C．抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为
D．任意画一个三角形，它的内角和等于
2．边长为2的正三角形的外接圆的半径是（ ）
A．B．2C．D．
3．某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示：
则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（ ）
A．6.4B．7C．7.2D．8
6．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2+2
C．y＝﹣2（x﹣1）2+2D．y＝﹣2（x﹣1）2+1
第5题 第7题
7．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（ ）
A．6B．9﹣C．D．25﹣3
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＞0）的图象上有四点A（﹣1，y1），B（3，y1），C
决赛成绩/分
人数/名
（2，y2），D（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2

二、填空题
9．已知，则 ．
10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ．
11．某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据：
为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为 L．
12．如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．
13．若实数a，b满足a+b2＝1，则a2+4b2的最小值是 ．
14．开口向上的抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a的值是 ．
15．已知点A（4，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）上．则y1，y2，y3的大小关系为 ．
16．如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若∠BEF＝2∠ACO，则m的值为 ．
第16题
三、解答题
17．解方程：(1)； (2)．
18．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．
（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
19．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分进行统计：
七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87．
八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79．
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
20．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
21．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈0.4）
22．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝9，EF＝15，求AD的长．
23．如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．

24．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
25．为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地ABCD一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个面积相等的矩形．已知栅栏的总长度为27m．
（1）若矩形地ABCD的面积为42m2，求AB的长；
（2）当AB边为多少时，矩形地ABCD的面积最大，最大面积是多少？
26．【提出问题】
如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．
连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
27．如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，P点为劣弧上一个动点，且、．

(1)的度数为 °；
(2)如图2，连结，取中点，则的最大值为 ；
(3)如图3，连接、、、．若平分交于点，求的长；
(4)如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
参考答案
1-5CCCAD 6-8CCB
9． 10．k＜1且k≠0 11．29
12.3 13.1 14. 15.y1＜y2＜y3 16./2
17.(1)，；
(2)，．
18.解：（1）列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果．
（2）由表格可知，小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种，
∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为＝．
19.解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数b＝87，
A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
（2）×200+×200＝220（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；
（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．
20.（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．
21.解：（1）过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，则BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
（2）在Rt△ABF中，cs∠BAF＝，则AF＝ABcs∠BAF＝3×cs37°≈2.4（米），
∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，则AD＝≈＝3.25（米），
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
22.解：（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下：
连接OE，OC，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴∠COE＝∠BOE，
∵OC＝OB，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）在Rt△OEF中，由勾股定理得：
OE2+EF2＝OF2，
∵OE＝OB，
∴OE2+EF2＝（OE+BF）2，
即：OE2+152＝（OE+9）2，
解得：OE＝8，
∴⊙O的半径为8；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OEF＝90°，
∴∠BEF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴，
∴AEBE，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即BE2+（BE）2＝162，
解得：BE，
∴AE，
∵BC∥EF，
∴，即，
∴AD．
23.原空地的长为，宽为
24.（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，
∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，
∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝，
∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，
∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22＝2﹣﹣π．

25.解：设AB的长为x m，则BC的长为（27﹣3x）m，
根据题意得：（27﹣3x）x＝42，解得x＝2或x＝7，
当x＝2时，27﹣3x＝21＞12，不合题意，舍去，
当x＝7时，27﹣3x＝6＜12，符合题意，∴x＝7，
答：AB的长为7m；
（2）设矩形的面积为S m2，则S＝（27﹣3x）x＝﹣3x2+27x＝﹣3（x﹣9x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵BC＝27﹣3x≤12，∴x≥5，∵﹣3＜0，∴当x＝5时，S有最大值，最大值为60，
∴当AB边为5时，矩形地ABCD的面积最大，最大面积是60m2．
26.解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．
∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
27.（1）（1）连接，，
、，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
（2）由题可得，为直径，且，

由垂径定理可得，，
连接，如图2，
又为的中点，
，且，
当，，三点共线时，此时取得最大值，
且，
的最大值为2，
（3）连接，，
直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
．
（4）由题可得，直径，
垂直平分，
如图4，连接，，则，

由（1）得，，
将绕A点顺时针旋转至，
，
，，
四边形为圆内接四边形，
，
，
、、三点共线，
，
过A作于，则，
，
在中，，
设，则，
，

，

为定值．容量/L
23
25
27
29
31
33
人数/人
4
3
5
23
3
2
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
6.6
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）