2025年中考复习浙教版数学模型训练--解直角三角形之背靠背模型

这是一份2025年中考复习浙教版数学模型训练--解直角三角形之背靠背模型，共13页。
A．3−12B．32+1C．3+12D．3+1
2．如图，在△ABC中，∠B和∠C都是锐角，若∠B=α,∠C=β，则（ ）
A．AB⋅csβ=AC⋅csαB．AB⋅sinα=AC⋅csβ
C．AB⋅sinα=AC⋅sinβD．AB⋅sinβ=AC⋅sinα
3．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150m，则这栋楼的高度为（ ）
A．503mB．1503mC．2003mD．300m
4．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A．4kmB．23kmC．22kmD．（3+1）km
5．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30海里B．60海里
C．120海里D．（30＋303）海里
6．如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度．小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°．已知CD为12米，则雕塑AB的高度是 ．（参考数值：2≈1.414,3≈1.732，结果精确到0.1米）．
7．如图，A，B两地间隔着海岛，直线距离为100海里，已知B地在A地的北偏东30°的方向上，货轮从A地出发向正北方向航行到达灯塔C处，再从灯塔C沿北偏东75°方向航行到达B地，则货轮从A地出发到达灯塔C航行的距离为 海里(结果保留根号).
8．如图，河宽CD为100 3 米，在C处测得对岸A点在C点南偏西30°方向、对岸B点在C点南偏东45°方向，则A、B两点间的距离是 米.（结果保留根号）
9．已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：asinA=bsinB=csinC．
（1）如图1，若a=6,∠B=45°,∠C=75°，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB,AC=14米，AB=10米，sin∠ACB=5314，求景观桥CD的长度．
10．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东 60° 方向上，位于B市北偏西 45° 方向上.已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域.为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明.（参考数据： 3≈1.73 ）
11．如图，一架无人机在距离地面高度为14.3米的点A处，测得地面上点M的俯角为
53°，这架无人机沿仰角为350的方向飞行了56米到达点B，恰好在地面上点N的正
上方，M，N在同一水平线上.求M，N两点之间的距离. (结果精确到1米.参考数据： sin53°≈0.80 ，cs53°≈0.60，tan53°≈1 .33， sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，
tan35°≈0.70 )
12．如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1000m，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：2≈1.4142，3≈1.7321）
13．如图，某防洪大坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡CD的坡角为30°，坝顶AD宽度为2米，坝高AE为4米，背水坡AB的坡度主i=1：1.
（1）求该堤坝的横截面积.
（2）为更好应对可能来临的汛情，防洪指挥部决定加固堤坝，要求坝高不变，坝顶宽度增加1米，背水坡的坡度改为i=1：1.5，求加固后的堤坝的横截面积.（结果均保留根号）
14．如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据： 3 ≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
15．如图，在东西方向的海绵线MN上，有A，B两艘巡逻船和观测点D（A，B，D在直线MN上），两船同时收到渔船C在海绵停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A，B北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里，渔船在观测点D北偏东15°方向．（说明：结果取整数．参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
（1）求巡逻船B与观测点D间的距离；
（2）已知观测点D处45海里的范围内有暗礁．若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C有没有触礁的危险？并说明理由．
16．如图
（问题背景）如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；
（尝试应用）如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
（拓展创新）如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若 AHAD=79，ADAC=2827 ，请直接写出 ADAB 的值 ▲ .
17．【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：
（1）【问题解决】计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
（2）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
乙小组的方案用到了 ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】8.2米
7．【答案】(1003−100)
8．【答案】100+100 3
9．【答案】（1）26；（2）83
10．【答案】解：高速公路AB不穿过风景区.
过点C作 CH⊥AB 于点H，如图所示.
根据题意，得： ∠CAB=30° ， ∠CBA=45° ，
在 Rt△CHB 中，
∵tan∠CBH=CHHB=1 ，
∴CH=BH .
设 BH=tkm ，则 CH=tkm ，
在 Rt△CAH 中，
∵tan∠CAH=CHAH=33 ，
∴AH=3tkm .
∵AB=150km ，
∴3t+t=150 ，
∴t=753−75≈75×1.73−75=54.75 .
∵54.75>50 ，
∴高速公路AB不穿过风景区.
11．【答案】解：如图，过点A作 AC⊥BN 于点C，过点M作 MD⊥AC 于点D.
在 Rt△AMD 中， DM=14.3 米， ∠DAM=53° ，
∴AD=DMtan53°≈10.8 米
在 Rt△ABC 中， AB=56 米， ∠BAC=35° ，
∴AC=AB⋅cs35°≈56×0.82=45.92 （米）.
∵AC⊥BN ， MD⊥AC ， MN⊥BN ，
∴四边形 MDCN 是矩形，
∴MN=DC=AC−AD=45.92−10.8≈35 （米）.
答：M，N两点之间的距离约为 35 米.
12．【答案】解：如图，∵CE∥DB，
∴∠CAD=∠ACE=45°，∠CBD=∠BCE=30°，
在Rt△ACD中，∵∠CAD=45°，
∴AD=CD=1000米，
在Rt△DCB中，∵tan∠CBD=CDBD，
∴BD=CDtan∠CBD＝100033=10003（米），
∴AB=BD−AD=10003−1000=1000(3−1)≈732（米） ，
答：这条江的宽度AB约为732米．
13．【答案】（1）解：如下图所示，作DF⊥BC：
由题意背水坡AB的坡度i=1：1可知，BE=AE=DF=4米，EF=AD=2米，
∵∠C=30°，
∴FC=DFtan30°=43米，
∴BC=DE+EF+FC=6+43米，
∴ 堤坝的横截面积 =（AD+BC）·AE2=（16+83）平方米，
（2）解：坝顶延长至G，作GQ⊥BC，
由题意可知AG=1米，GQ=AE=4米，
∵背水坡的坡度i=1：1.5，
∴HQ=1.5GQ=6米，
∵QF=QE+EF=GD=AG+AD=3米，FC=43米，
∴HC=HQ+QF+FC=12+43米，
∴加固后的堤坝的横截面积=（GD+HC）·AE2=（24+83）平方米，
14．【答案】（1）解：理由如下：
如图，过C作CH⊥AB于H．
设CH=x，
由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°，
则∠CAH=45°，∠CBA=30°．
在Rt△ACH中，AH=CH=x，
在Rt△HBC中，tan∠HBC= CHHB
∴HB=CHtan30°=x33=3x ，
∵AH+HB=AB，
∴x+ 3 x=600，
解得x= 6001+3 ≈220（米）＞200（米）．
∴MN不会穿过森林保护区．
（2）解：设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y﹣5）天．
根据题意得： 1y−5 =（1+25%）× 1y
解得：y=25．
经检验知：y=25是原方程的根．
答：原计划完成这项工程需要25天．
15．【答案】（1）解：如图，过点C作CE⊥MN 于点E
∴∠CEA=∠CEB=90° ，∠ACE=30°，∠BCE=45°，∠DCE=15°，AC=120
∴AE=12AC=60 ，∠ABC=45°
∴CE=BE=AC2−AE2=1202−602=603
∴AB=AE+BE=60+603
∵∠ACD=∠ACE+∠DCE=45°=∠ABC ，∠CAD=∠BAC
∴ΔACD∼ΔABC
∴ADAC=ACAB
即AD120=12060+603
解得AD=1203−120
BD=AB−AD=60+603−(1203−120)=180−603≈76 （海里）
所以，巡逻船B与观测点D间的距离约为76海里；
（2）解：没有触礁危险，理由如下
如图，过点D作DF⊥BC于点F
∴∠BFD=90°
∵∠ABC=45°
∴ΔBDF 是等腰直角三角形
∴DF=22BD=22×76=382≈54 （海里）
∵54>45
∴没有触礁危险
16．【答案】解：（问题背景）证明：∵∠BAD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴△BAD∼△BCA ，
∴BABC=BDBA ，
∴BA2＝BD•BC；
（尝试应用）解：由（1）可得 △BAD∼△BCA ，
又∵3AD＝2AC
∴BABC=BDBA=ADAC=23 ，
设BD=4x，则BA=6x，BC=9x，
如解图2，过F点作 FM//AG ，交BC于M点，
∴∠ABD＝∠FMD，
∵BE＝ED，
∴∠ABD＝∠EDB，
又∵∠MDF＝∠EDB，
∴∠MDF＝∠FMD，
∴MF＝DF＝1，
由 FM//AG 可得 △BED∼△MFD ， △CMF∼△CBG ，
∴BDMD=BEFM ， MFBG=CMBC ，
由∵BG＝2，MF＝DF＝1，
∴CM=12BC=92x ，
∴MD=CD−CM=5x−92x=12x ，
∴BDMD=BEFM=4x12x=8 ，
∴BE=8FM=8 ；
（拓展创新）解：延长BC到G，使CG=AC，过C点作CM⊥AG垂足为M，
∴∠CAG＝∠G，
∴∠ACB＝∠CAG+∠G=2∠CAG＝2∠G，
∵∠ACB＝2∠BAD，
∴∠BAD=∠CAG＝∠G，
∵cs∠BAD=AHAD=79 ，
∴cs∠CAG＝cs∠G=79 ，即 AMAC=MGCG=79 ，
∴AG=2AM=149AC ，
∵ADAC=2827 ，即 AD=2827AC
∴ADAG=(2827AC)：(149AC)=23
又∵∠B=∠B，∠BAD＝∠G，
∴△BAD∼△BGA ，
∴BDAB=ADAG=23 ，
设 BD=2x ， AD=9y ，则 AB=3x ， AH=7y ， BH=3x−7y ，
在 Rt△AHD 中， HD2=AD2−AH2=(9y)2−(7y)2=32y2 ，
在 Rt△BHD 中， HD2=BD2−BH2=(2x)2−(3x−7y)2=−5x2+42xy−49y2 ，
∴−5x2+42xy−49y2=32y2 ，
解关于x的方程得： x1=3y ， x2=275y ，
当 x=3y 时， AB=AD=9y 不合题意舍去；
当 x=275y 时， AB=815y ， ADAB=9y815y=59 .
综上所述： ADAB=59
17．【答案】（1）解：如图，过B作BH⊥AP于H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，
∴AH＝AB•cs79°≈60×0.19＝11.4（米），
BH＝AB•sin79°≈60×0.98＝58.8（米），
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，
∴tan∠APB=tan37∘=BHPH≈0.75，
∴PH≈（米），
∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；
即A，P两点间的距离为89.8米；
（2）②阅卷人
一、选择题
得分
阅卷人
二、填空题
得分
阅卷人
三、解答题
得分
阅卷人
四、实践探究题
得分