专题09 背靠背模型解直角三角形-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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【中考真题】
1、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数．）
解： 过点A作AE⊥MN于E，
过点C作CF⊥MN于F ……………………1分
则EF==0.2 ……………2分
在Rt△AEM中，
∵∠MAE=45°，∴AE=ME …………………………………3分
设AE=ME=（不设参数也可）
∴MF=＋0.2，CF=28 …………………………………………………………………4分
在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°
∴MF=CF·tan∠MCF ……………………………………………………………………5分
∴ …………………………………………………………………… 6分
∴10.0 …………………………………………………………………………………7分
∴MN12 ……………………………………………………………………………………8分
答：旗杆高约为12米．
【精典例题】
1、由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．
解：过点B作BD⊥AC于点D，
由题意得∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80.
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，
∴BD＝AB·sin60°＝40eq \r(3).
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BC＝eq \f(BD,sin45°)＝40eq \r(6).
答：BC的长为40eq \r(6)海里．
2、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是__3eq \r(3)＋9__m(结果保留根号)．
3、放置在水平桌面上的台灯的平面示意图如图所示，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.温馨提示：sin 75°≈0.97，cs 75°≈0.26，eq \r(3)≈1.73)
解：在Rt△ACO中，sin 75°＝eq \f(OC,OA)＝eq \f(OC,40)≈0.97，
解得OC≈38.8 cm.
在Rt△BCO中，tan 30°＝eq \f(OC,BC)≈eq \f(38.8,BC)≈eq \f(1.73,3)，
解得BC≈67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3 cm.
4、如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）
解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．
根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，
在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．
设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，
∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，
∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．
5、在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
(2)若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
解：(1)过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝∠PCB＝90°.
由题意，得PA＝120海里，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴PC＝eq \f(1,2)PA＝60海里，
PB＝eq \f(PC,sinB)＝60eq \r(2)海里．
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60eq \r(2)海里．
(2)救助船A所用的时间为eq \f(120,40)＝3(小时)，
救助船B所用的时间为eq \f(60\r(2),30)＝2eq \r(2)(小时)，
∵3＞2eq \r(2)，∴救助船B先到达．
6、如图，要在江苏省某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程工程需尽快完成．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
解：（1）NM不穿过原始森林保护区．理由如下：
作CD⊥AB于D，
设CD＝x米，
∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x米，
∵∠DCB＝60°，
∴BD＝CD•tan∠DCB＝x，
∵AD+BD＝AB，
∴x+x＝600，
解得，x＝300（﹣1）≈219.6＞200．
∴MN不会穿过森林保护区．
（2）设甲工程队单独完成此项工程需要y天，则乙工程队单独完成此项工程需要（y+10）天．
根据题意得：+＝，
解得：y＝20．
经检验知：y＝20是原方程的根．
则y+10＝30．
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数分别是20天、30天．
7、如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cs67°≈0.38；≈1.732．
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
根据题意，得∠ABD＝67°，AB＝520，∠CBD＝30°，
在Rt△ABD中，AD＝AB•sin67°，
BD＝AB•cs67°，
在Rt△CBD中，CD＝BD•tan30°，
∴AC＝AD+CD
＝AB•sin67°+AB•cs67°•tan30°
≈520×0.92+520×0.38×
≈592（km）．
答：A地到C地之间高铁线路AC的长592km．
8、如图，一架无人机在距离地面高度为21.4米的点B处，测得地面点A的俯角为47°，接着，这架无人机从点B沿仰角为37°的方向继续飞行20米到达点C，此时测得点C恰好在地面点D的正上方，且A，D两点在同一水平线上，求A，D两点之间的距离．（结果精确到1米；参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin47°≈0.73，cs47°≈0.68，tan47°≈1.07，≈2.45）
解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥BE于点F，
由题意可知：
CD⊥AD，
∴四边形AFED是矩形，
∴AD＝EF，
在Rt△BCE中，BC＝20，∠CBE＝37°，
∴BE＝BC•cs37°＝20×0.80≈39.2，
在Rt△ABF中，AF＝21.4，∠ABF＝47°，
∴BF＝＝≈20，
∴EF＝BE﹣BF≈39.2﹣20≈19，
∴AD＝EF≈19（米）．
答：A，D两点之间的距离约为19米．
9、如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离．（精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cs62°≈0.47，tan62°≈1.88）[来源:Z。xx。k.Cm]
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴AE＝BE＝DE，
设BE＝x，则DE＝x，
∵BC＝，
∴CE＝x+20，
在Rt△CDE中，∠CDE＝62°，
，
∴，
∴，
∴AB＝2x＝2×22.72≈45.4，
答：A、B之间的距离为45.4海里．
10、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）
解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝8×＝4（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝4（千米），
∴BC＝BD＝4（千米）．
答：B，C两地的距离是4千米．