2025年中考复习浙教版数学模型训练--射影、母子、飞鱼、三角形内接矩形相似模型

这是一份2025年中考复习浙教版数学模型训练--射影、母子、飞鱼、三角形内接矩形相似模型，共13页。试卷主要包含了射影定理模型，母子相似模型，梅涅劳斯定理，三角形内接矩形相似等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG=BD，S1+S2=16，则DE的长为（ ）
A．42B．82C．4D．8
2．如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为 D，AE平分∠BAC，分别交 BD，BC于点 F，E．若 AB：BC＝3：4，则BFFD= .
3．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝ ．
4．如图，在△ABC中，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，∠CBD=∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB．
（2）求DH长度．
5．如图，在Rt△ABC中，AB=4，AC=6，以C为圆心，22为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.
（1）当∠PDQ=50°时，求劣弧PQ的度数；
（2）当CE=CF时，求AD的长；
（3）连结CM，BM.
①证明：ME⋅CA=CM⋅AD.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
二、母子相似模型（公共边公共角）
6．如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC= ．
7．如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知ABAD=ACAB．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．
8．如图，D为△ABC边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，BD＝2，AD＝4，则AC＝ ．
9．如图，在△ABC中，D为边AB的中点，点E在边AC上，连结ED，并延长ED至点F，连结AF，使AF∥BC，且AF2=FD×FE．
（1）求证：∠FAD=∠FEA．
（2）若AB=20，AE=13，求EC的长．
10．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=6， AC=3，求CD的长．
11．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
（1）反思归纳：
上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
（3）拓展探究：
如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝22，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
三、梅涅劳斯定理、飞鱼相似模型
13．如图，在圆内接△ABC中，∠ABC>90°，弦BD>AC，延长AD至点E，延长BA至点F，连接EF，使EF=BD，延长CD交EF于点G，使∠EGD+∠DAB=180°，延长CB，DA交于点H．
（1）若∠EGD=75°，CD为直径，求∠BAC的度数．
（2）求证：EFHB=AEAH．
（3）求证：AE=AC．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M，N分别在AB，AC边上，连接MN，将△AMN沿MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC的延长线上，且∠BDM=∠NDM，连接AD，若AD=925，CD=92，则BDAB= .
15．如图，在□ABCD中，∠BAC=45°,AE⊥BC于点E.BE=6,CE=4，则□ABCD的面积为（ ）
A．60B．120C．50D．100
四、三角形内接矩形相似
16．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=1.2m，高AD=0.8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．则该正方形的边长是 m．
17．有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．设MN=xmm，PN=ymm．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
（2）当y=32x时，求加工成的矩形零件的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】53​​​​​​​
3．【答案】30−6
4．【答案】（1）证明：∵DH∥AB，
∴∠A=∠HDC，
∵∠CBD=∠A，
∴∠HDC=∠CBD，
又∵∠CHD=∠DHB，
∴△HCD∽△HDB.
（2）解：∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CAB，
∴CDAC=CHBC，
∵AC=3CD，BC=1，
∴CD3CD=CH3，
∴CH=1，
∴BH=BC+CH=3+1=4，
由（1）知△HCD∽△HDB，
∴DHBH=CHDH，即DH4=1DH，
∴DH2=4×1=4，
∴DH=2（负值舍去），
答：DH的长度为2．
5．【答案】（1）解：如图，连结CP、CQ.
因为DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，所以∠CPD=∠CQD=90°，
所以∠PDQ=PCQ=180°，当∠PDQ=50°时，∠PCQ=130°，则弧PQ为130°
.
（2）解：连结CD，显然ΔCPD≅ΔCQD，当CE=CF时，显然ΔCPE≅ΔCQF，
则∠CEF=∠CFE，即CD平分∠ECF，过点D作DG垂直BC于点G，则AD=AG，
则SΔABC=12AD⋅AC+12BC⋅DG=12AB⋅AC，解得AD=AG=313−9.
（3）解：①根据ΔCME相似于ΔCAD可得CECD=CMCA，即CM⋅CD=CE⋅CA
②由（2）可得，C、D、M三点共线，且PQ⊥CD，则ΔCPM相似于ΔCDP，可得PC2=CM⋅CD，又由①中CM⋅CD=CE⋅CA，得：PC2=CE⋅CA，即(22)2=6CE，解得CE=43，所以点M在以CE为直径的圆上运动，取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，此时最小值为6.
6．【答案】9
7．【答案】（1）证明：∵ABAD=ACAB, ∠A=∠A
∴△ABC~△ADB
∴∠ABD=∠C
（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°－20°－40°＝120°，
∵∠ABD＝∠C＝40°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝120°－40°＝80°．
8．【答案】23
9．【答案】（1）证明：∵AF2=FD×FE，
∴AFFD=FEAF.
∵∠F=∠F，
∴△AFD∽△EFA.
∴∠FAD=∠FEA.
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠B.
∵∠FAD=∠FEA.
∴∠B=∠FEA.
又∵∠DAE=∠CAB ，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB.
∵D为边AB的中点，AB=20，
∴AD=10.
∵AE=13，
∴1013+EC=1320.
解得EC=3113.
10．【答案】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴BCAC=CDBC ，
∴63=CD6 ，
∴CD=2
11．【答案】（1）解：将A（-3，4）代入y=mx，得m=-3×4=-12，
∴反比例函数的解析式为y=-12x；
将B（6，n）代入y=-12x，得6n=-12，
解得n=-2，
∴B（6，-2），
将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得
−3k+b=46k+b=−2，
解得k=−23b=2，
∴所求的一次函数的解析式为y=-23x+2；
（2）解：当y=0时，-23x+2=0，
解得：x=3，
∴C（3，0），
∴S△AOC=12×3×4=6，S△BOC=12×3×2=3，
∴S△AOB=6+3=9；
（3）解：存在．
过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图，
∴∠AP1C=90°，
∵A点坐标为（-3，4），
∴P1点的坐标为（-3，0）；
∵∠P2AC=90°，
∴∠P2AP1+∠P1AC=90°，而∠AP2P1+∠P2AP1=90°，
∴∠AP2P1=∠P1AC，
∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，
∴AP1CP1=P1P2AP1，即46=P1P24，
∴P1P2=83，
∴OP2=3+83=173，
∴P2点的坐标为（-173，0），
∴满足条件的P点坐标为（-3，0）、（-173，0）．
12．【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）45°
（3）解：①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵E点与C点关于AD对称，
∴∠ACD=∠AED，
∴∠AED=∠ABD，
∴A,D,B,E四点共圆；
②AD⋅AF=8，理由如下，
如图，
∵A,D,B,E四点共圆，
∴∠FBD=∠DAE，
∵AE,AC关于AD对称，
∴∠DAE=∠DAC，
∴∠DAC=∠DBF，
∵∠ADC=∠BDF，
∴∠F=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠F=∠ABD，
又∠BAD=∠FAB，
∴△BAD∽△FAB，
∴ABAF=ADAB，
∴AD⋅AF=AB2，
∵AB=22，
∴AD⋅AF=8．
13．【答案】（1）解：连接CD，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠EGD+∠DAB=180°，
∴∠DCB=∠EGD=75°，
∵CD为直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠BAC=∠BDC=15°；
​​​​​​
（2）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠EGD+∠DAB=180°，
∴∠DCB=∠EGD，
∴EF∥BH，
∴△AEF∽△AHB，
∴EFHB=AEAH；
（3）证明：∵EFHB=AEAH，
∴EFAE=HBAH.
∵∠DHB=∠CHA,∠HDB=∠HCA,
∴△HAC∽△HBD，
∴HBAH=BDAC，
∴EFAE=BDAC.
又∵EF=BD，
∴AE=AC.
14．【答案】104
15．【答案】B
16．【答案】0.48
17．【答案】（1）解：∵PN∥BC，AD⊥BC，
∴AD⊥PN．
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴PNBC=AEAD．
∵MN=xmm，PN=ymm．
∴y120=80−x80．
化简，得y=−32x+120（0