重庆市朝阳中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市朝阳中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数有意义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
2. 已知幂函数，则（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由幂函数定义得到参数的值，求出幂函数，求得的函数值.
【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，.
故选：A.
3. “为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】判断“为三角形的一个内角”和“为第一、二象限角”之间逻辑推理关系，即得答案.
【详解】为三角形的一个内角，当时，不是第一、二象限角，
故“为三角形的一个内角”推不出“为第一、二象限角”；
当为第一、二象限角时，不妨取，不是三角形的一个内角，
故“为第一、二象限角”推不出“为三角形的一个内角”；
故“为三角形的一个内角”是“为第一、二象限角”的既不充分又不必要条件，
故选：D
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据与大小关系比较即可
【详解】依题意得，，
，
，所以，
故，
故选：B.
5. 下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的几个命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.
那么以上叙述中，正确的个数为 ( )
A. 0B. 1C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】①、且满足f()=0，则是f(x)的一个零点，而不是(,0)，所以①错误；
②、例如，不可以用二分法求零点，所以②错误；
③、方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点，所以③错误；
④、用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④也错误．
故选A.
点睛：函数零点的概念是个易错点，函数零点是指满足f()=0，则是f(x)的一个零点，不是指的点，指的是横坐标，且二分法不是所有零点都适用的，当函数连续“穿过”x轴时才可以.
6. 函数的部分图像如图（粗实曲线），则（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由函数图像知道定义域，从而求出参数的值，再代入点即可求出的值.
【详解】由函数图像可知，函数定义域，
即的解集为，也就是即的解为,
∴，∴，∴，
∵函数图像经过点，∴，∴.
故选：B.
7. 已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数的单调性和对称性，求出和的解集，进而即可得到答案.
【详解】根据题意，为奇函数且，则，
又由在上单调递增，
则在上，；在上，，
又由为奇函数，则在上，；在上，，
则的解集为，
的解集为，
或，
解得或，
故不等式的解集为.
故选：B.
8. 已知函数，且函数满足，则函数的零点个数为（ ）
A. 0B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，根据其对称性，以及函数图像，根据图像交点判断函数零点个数.
【详解】由知，
令，则
所以有，即的图像关于直线对称.
当时，；
当时，
.
作出的图像可知，当时，有两个零点.
故选：D.
【点睛】本题考查函数零点个数的求解，涉及数形结合，函数对称性的判断，属综合中档题.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. （多选）有下列式子，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】通过作差，基本不等式等证明A，B，D正确，通过举反例说明C错误即可．
【详解】对于A， 故A错误；
对于B，当时，（当且仅当x＝1时取“＝”）；
当时，（当且仅当x＝－1时取“＝”），故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，（当且仅当x＝0时取“＝”），故D正确．
故选：BD．
10. （多选）下列选项正确的是（ ）
A. 是第二象限角
B.
C. 经过4小时，时针转了
D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据象限角的定义，以及角度与弧度的转化关系，扇形面积公式，即可判断选项.
【详解】选项A，在第三象限，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角，每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确；
选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确．
故选：BCD
11. 已知定义在上的函数满足：，且当时，，若，则（ ）
A.
B. 在上单调递减
C. 不等式的解集是
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】令，判断A；利用函数单调性定义可判断出在上单调递增，判断B；利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断C；，求和判断D.
【详解】对于，令，得，即，正确；
对B，根据题意，，
对任意，则，
所以，即，
所以在上单调递增，B错误；
对于，又，
所以原不等式等价于，
因为在上单调递增，所以，解得正确.
根据，则，
，
，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：选项B，，根据单调性定义判断.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 在0到范围内，与角终边相同的角是_____________（用弧度制表示）.
【答案】
【解析】
【分析】根据终边相同的角的表示方法得解.
【详解】与角终边相同的角为（）
当时，得.
故答案为：
13. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得.把温度是的物体，放在的空气中冷却后，物体的温度是，那么的值约等于_________.（保留两位有效数字，参考数据：取.）
【答案】
【解析】
【分析】理解题中定义的公式，代入相关数值，即可计算出的值.
【详解】根据条件，令，，，
所以，所以，
所以，所以，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数函数模型的简单应用与对数计算，难度一般.解答本题的关键是理解定义的公式，将指数化为对数完成计算.
14. 已知，当______________.时，取得最小值.
【答案】
【解析】
【分析】由可得，原式化为，展开后利用基本不等式求最值，根据等号成立的条件求解即可.
【详解】，
，
，
当且仅当时“=”成立，
又，
可得，
，
，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合指数运算性质化简；
（2）结合对数运算性质化简.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
16. 已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得集合B，结合集合间的运算求解；
（2）分析可知，分和两种情况，结合包含关系运算求解.
【小问1详解】
因为，则或，
若，则，
所以，.
【小问2详解】
若，可知，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
所以a的取值范围.
17. 已知，关于x的一元二次不等式的解集为.
（1）求b，c的值；
（2）若为非负实数，解关于的不等式.
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得.
（2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以和是方程两个根.
根据韦达定理，可得，.
解得，
【小问2详解】
由（1）知，，则不等式为，即.
当时，不等式化为，解得.
当时，，不等式的解为.
当时，不等式化为，即，此时不等式无解.
当时，，不等式的解为.
综上所得，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为空集；
当时，解集为.
18. 已知函数．
（1）证明：函数是奇函数；
（2）用定义证明：函数在上是增函数；
（3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证；
（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；
（3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解．
【小问1详解】
由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数．
【小问2详解】
当时，，
任取，且，
可得
因为，且，可得，
所以，即，
所以函数在上是增函数．
小问3详解】
因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
又因为，所以函数在上是增函数，
又由，可得，
因为不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
可得不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
当时，不等式即为恒成立，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，，即实数的取值范围．
19. 已知函数，.
（1）若，求函数在的值域；
（2）若，求证.求的值；
（3）令，则，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）化简可得，利用二次函数单调性，即得解；
（2）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算即可求证，利用倒序相加即可求值；
（3）由已知可得，令，函数等价为在上有零点，参变分离即得解
【小问1详解】
解：若
，
当上函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为.
小问2详解】
解：若，则，
则，
设
则
两式相加得，即，则
故.
【小问3详解】
，
设，当，则，
则函数等价为，
若函数在区间有零点，
则等价为在上有零点，
即在上有解，
即在上有解，
即，
设，则，则，
则在上递增，
则当时，，当时，，
∴，即，
即实数k的取值范围是.