重庆市第八中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段性测试数学试卷（Word版附解析）

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命题：陈佳琨 杨茂 审核：杨茂 打印：杨茂 校对：陈培章
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 下列函数中，与函数y=x是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】只需判断函数定义域和对应法则是否相同即可.
【详解】解：A.与y=x的解析式不同，不是同一个函数；
B.的定义域为R，y=x的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一个函数；
C.的定义域为{x|x≠0}，与y=x的定义域不同，不是同一函数；
D．的定义域为（0，+∞），与y=x的定义域不同，不是同一函数．
故选B．
【点睛】本题考查函数的定义，考查判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．
2. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
3. 已知，则
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数奇偶性排除两个选项，再利用时，函数值的正负判断即可.
【详解】函数的定义域为，，
因此函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AC；
当时，，则，排除D，选项B符合题意.
故选：B
5. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
6. 若则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不等式化为，构造函数，判断是定义域上的增函数，根据不等式的性质逐项判断即可得出结论.
【详解】因，所以，
设，
因为是定义在上的增函数，是定义在上的减函数，
所以是定义在上的增函数，则，
时，不一定成立，如时，选项A错误；
成立，选项B正确；
不一定成立，如，选项C错误；
不一定成立，如时，选项D错误.
故选：B
7. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：，，）
A. 5.8minB. 6.0minC. 6.2minD. 6.4min
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得出，，从而求得，代入，即可利用公式求解；
【详解】由题意可知，，
当时，，于是，
整理得，
当，于是，
所以，故，
将代入可得，故，
故.
故选：B
8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A. B.
C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定不等式恒成立，求出的关系等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】当时，不等式恒成立，
得当时，恒成立，且当时，恒成立，
即当时，恒成立，且当时，恒成立，
因此且，则，即，
于是，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8.
故选：C
【点睛】关键点点睛：按、分段讨论恒成立，求得是解决问题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数，说法正确的有（ ）
A. 对，都有
B. 函数有两个零点，且互为倒数
C. ，使得
D. 对，，都有
【答案】BD
【解析】
【分析】由对数运算性质判断A错，B对，结合对数图像判断C错，D对
【详解】，，由对数运算法则知，选项A错误；
选项B中，，即或，互为倒数，故选项B正确；
由的图像特征知，当时，，则，同理可证当时，，当时，，故选项C错误；
如图，由于是上凸函数，故应为点对应纵坐标，应为点对应纵坐标，故，故选项D正确
故选:BD
【点睛】本题考查对数的基本运算和对数函数的特征，属于基础题
10. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意得出，在上的单调性，结合函数的单调性，逐项判断，即可求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为是定义在上的奇函数，所以.
对于A，由在上单调递减，得，故，故A正确；
对于B，，因为在上单调递增，所以，又在上单调递减，故，故B正确；
对于C选项，因为在上单调递减，故，又在上单调递减，故，故C正确；
对于D选项，在上单调递增，故，但不确定的大小关系，无法比较，故D错误.
故选：ABC
11. 如图，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是2km，从点沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度为5km/h，时间（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点的距离．设，则（ ）
A. 函数为增函数
B.
C. 当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少
D. 当时，此人从小岛到城镇花费的时间超过
【答案】BCD
【解析】
【分析】易得的单调性判断A；代入计算可判断B；利用基本不等式可求的最小值，进而可求取最小值时的值判断C；计算可得判断D.
【详解】对于A， 由(递增，可得
则v在递减，故A错误；
对于B，
所以
故B正确；
对于C，由B可得
当且仅当时，取得等号. 此时即故C正确；
对于D，时，即t>3.故D正确.
故选: BCD.
【点睛】关键点点睛：关键在于求得的关系式，进而结合基本不等式求得的最小值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若为偶函数，则__________．
【答案】0
【解析】
【分析】先求出定义域，然后由对定义域内的每一个数均成立，可求得的值.
【详解】由解得或， 由是偶函数，∴，
得 即
即 则
∴，得， 得.
故答案为：0.
13. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则该函数的单调递增区间为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题设可得，，结合过原点求得，再利用指数函数、复合函数单调性确定增区间.
【详解】由无限接近直线但又不与该直线相交，所以，
令，则， 即，则满足题设.
由在上单调递减， 在上单调递增， 且在定义域上单调递减，
所以在上单调递增， 在上单调递减， 又在定义域上单调递减，
所以在上单调递减， 在上单调递增.
综上所述，函数解析式为增区间为.
故答案为: .
14. 已知函数与的零点分别为m和n，若存在m，n使得，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据函数的单调性和零点存在性定理，确定实数的值，并根据，确定实数
的取值范围，并根据函数零点的取值范围，采用参变分离的方法，转化为求函数的值域问题.
【详解】对于函数，
明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以函数在定义域上单调递增，
又，所以，
所以，即，
即函数在上存在零点，
令，得，
令，，
对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以的值域为，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考察函数零点问题，关键是求得的值，并转化为已知函数零点的范围，求参数的取值，后面利用参变分离，转化为函数的值域问题，问题就会迎刃而解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）计算；
（2）计算．
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）利用对数运算法则及性质进行计算即可.
【详解】（1）原式
（2）原式

.
16. 已知定义在上的奇函数，其中．
（1）求函数的值域；
（2）解不等式：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，可求得，检验可得的解析式，进而可求值域；
（2）令，可得求解可得求解可得不等式的解集.
【小问1详解】
∵为定义在上的奇函数， ∴， ∴，经检验当时，
， 符合题意；

∴的值域为；
【小问2详解】
令， 则解得
整理得即∴原不等式的解集为
17. 已知．
（1）若过，求的解集；
（2）存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
（2）转化为在上有解，利用二次函数性质可求的取值范围．
【小问1详解】
由过可得，则，
解得 (负值舍去)，因为 在上是严格增函数，
， 则， 解得，故所求解集为；
【小问2详解】
因为，则，
即，即，
故在上有解，
又
故在上，
故解得或， 又， 所以， 故的取值范围.
18. 汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单
位：km/h）（）的下列数据：
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，.
（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.
（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
【答案】（1）选择函数,（2）这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据分析可知，所选模型必须满足定义域为，且在上为增函数，故选，在代入数据计算可得.
（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：，根据二次函数的性质求出最值.
【详解】解：（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上为增函数；
函数在是减函数，所以不符合题意；
而函数的，即定义域不可能为，也不符合题意；
所以选择函数.
v
0
40
60
80
120
F
0
10
20
由已知数据得：
解得：
所以，
（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：
因为，所以，当时，y有最小值30.
所以，这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L.
【点睛】本题考查给定函数模型解决问题，利用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，属于中档题.
19. 已知函数．
（1）直接写出时，的最小值．
（2），在是否存在零点？给出结论并证明．
（3）若有且仅有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）2 （2）存在零点，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式可求得的最小值；
（2）判断的单调性，结合零点存在性定理判断；
（3）由题意，求出的值，将存在两个个零点转化为在上存在一个零点或两个零点为和2，结合二次函数分情况讨论即可.
【小问1详解】
根据题意，因为， 所以， 所以
当且仅当即时， 等号成立， 所以时， 的最小值为2.
【小问2详解】
根据题意，时，在上存在零点，
证明如下：
当时，
令
所以函数在上单调递增，又因为在上单调递增，
所以在区间上单调递减，
又
而
所以又由于，
则 所以
在区间上单调递增，所以在上存在零点.
【小问3详解】
由解得， 则
存在两个零点等价于在上存在一个零点或两个零点为和2，令
则在上存在一个零点或两个零点为和2，
（i）零点为和2， 代入解得，
（ii），， 解可得，满足题意，
（iii） 有对称轴则有①，
整理得 解可得
②，解可得
综上：的取值范围为
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键是将存在两个零点转化成在上存在一个零点或两个零点为和2，进而分类讨论求得的取值范围.