2023-2024学年浙江省杭州市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1. 已知＝，则的值为（ ）
A. ﹣2B. 2C. ﹣D.
【答案】D
【解析】∵，∴设，∴．
故选：D．
2. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）

A. 36°B. 54°C. 18°D. 28°
【答案】A
【解析】根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，则∠ACB=36°，故选A．
3. 如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】C
【解析】在中， ，
，
故选C．
4. 已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A. 9πB. 6πC. 3πD. 2π
【答案】C
【解析】扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为：；
故选：C．
5. 如图，能使成立的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定，故不符合题意；
故选：C．
6. 若二次函数的图象经过三点，则a、b、c 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，
∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，
∵到3的距离为4，2到3的距离为1，4.5到3的距离为1.5，
∴a、b、c的大小关系.
故选：D．
7. 如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是45°，向前走到达点，测得顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠PAE=45°，则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°，∴∠BPE=30°，
在直角△BPE中，，∵AB=AE-BE=6，
则，解得：，∴，
在直角△BEQ中，，
，
故选：A.
8. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】如图所示，连接AC，
由圆周角定理可知，∠C=∠B，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∴∠DAP=∠C，
∴△DAP∽△DCA，
∴AD∶CD=DP∶AD，
得 ，
把，代入得，，
故选：C．
9. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与相似．
A. 2秒B. 4秒C. 或秒D. 2或4秒
【答案】C
【解析】设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
10. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11. 若，则______．
【答案】
【解析】
将其代入得：
原式
故答案为：
12. 在中，，，，则____．
【答案】
【解析】在中，，
∵，
又∵，
∴，
故答案为：．
13. 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为___________．
【答案】
【解析】列表如下三辆车分别用1，2，3表示：
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则，
故答案为：．
14. 一辆汽车行驶的路程（单位：m）关于时间（单位：s）的函数解析式是，经过16s汽车行驶了__________m．
【答案】272
【解析】当时，．
故答案是：272．
15. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）．

【答案】
【解析】正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
16. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是___________．

【答案】3秒或秒
【解析】如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似，
则，
①当D与B对应时，有．
∴，∴，∴；
②当D与C对应时，有．
∴，∴，∴．
故答案为：3秒或秒．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．
解：根据题意，可作树状图如下，
由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况，
所以，得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为．
18. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．

解：如图，连接，
设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，
根据题意，得，，

根据勾股定理，得，
解得，
答：该门洞的半径为．
19. 如图所示，以的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有关系式.解答以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到?如能，需要飞行多少时间？
（2）球飞行到最高点时的高度是多少？
解；（1）解方程：
，
解得：，
需要飞行1s或3s；
（2），
当时，h取最大值20，∴球飞行的最大高度是.
20. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)

（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
解：（1）如图2，过点C作，垂足为N

由题意可知，，在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，

∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线距离约为21.5cm．
21. 边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若CF的长为1，求CE的长．
（1）证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：∵△ABE∽ECF，
∴，
∴，
解得CE=2．
22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．
（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BD．
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：∵弧DE＝50°，
∴∠EOD＝50°．
∴∠DAE＝∠DOE＝25°．
∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABD＝65°．
（3）∵BC＝8，BD＝CD，
∴BD＝4．
设半径OD＝x．则AB＝2x．
由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，
∵AD⊥BD，DF⊥AB，
∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．
解得x＝4．
∴OB＝OD＝BD＝4，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°．
∴弧BD的长是：＝．
23. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线
（1）求抛物线的表达式；
（2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当x=0时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵对称轴为直线x=-1，
∴，
∴设抛物线的表达式：，
∴把代入得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）如图，作于，交于，
∴，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴当时，，
当时，，∴；
（3）存在，设，
∵以，，，为顶点四边形是以为对角线的菱形，
∴，即：，
∵，，∴，∴，
∴
∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
∴，
∴， ，∴．1
2
3
1
2
3