2023-2024学年山东省聊城市东阿县九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年山东省聊城市东阿县九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 如图，同一条直线上的三个点、、都在等距离、等长度的五条平行横线上．若线段，则线段的长是（ ）．

A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】∵A、B、C三个点都在等距离、等长度的五条平行横线上，且在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．没有规定是常数，，故此选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选： B．
3. 在直角三角形中，，，，则的长为（ ）
A. 5B. 10C. 12D. 24
【答案】D
【解析】∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
故选D．
4. 如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为（ ）
A. B. 9C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴．
故选：C
5. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，

由图可得：，，，
∵为直径，
∴，
∴在中，，
故选：A．
6. 操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，墙壁上的影高为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，设这段影子在地面上的长为，可得：，
，
旗杆落在地面上的影子的长是：，
设旗杆的高度为,根据题意可得：，
，
旗杆的高度为．
故选：C．
7. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
二次项化系数为1得：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：A．
8. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2
C. y3＞y2＞y1D. y3＞y1＞y2
【答案】B
【解析】∵y＝x2﹣2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即且，
故选：C．
10. 如图，一架飞机在点处测得水平地面上一个标志物的俯角为，水平飞行千米后到达点处，又测得标志物的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为（ ）
A. 千米B. 千米
C. 千米D. 千米
【答案】A
【解析】作交于点，
，，
，即：，
故选：．
11. 罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在2023年医保谈判中经两轮“砍价”，从63800元/瓶降至3900元/瓶，成功进入医保目录．设这两轮谈判药物价格平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，得：．
故选：D．
12. 如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，以的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】∵正方形的边长为，
，，
，
由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，
①当时，，
则；
②当时，，
则；
综上，与之间的函数关系式为，
故选：B．
二、填空题：（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）
13. 函数中自变量的取值范围是______．
【答案】且
【解析】分母不能为0，二次根式的被开方数为非负数，
，且，
解得：且，
故答案为：且．
14. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为________米．
【答案】
【解析】如图，由题意得：斜坡的坡度：，米，，
，
（米），
∴在中， （米）
故答案为：．
15. 若a，b是方程两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案：．
16. 如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为_________．
【答案】12
【解析】作于，连接，
以点为圆心画弧交轴于点、，，
，
，
，
，
，
，
的面积等于4，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
17. 如图，已知顶点的抛物线经过点，下列结论：①；②若点，在抛物线上，则；③；④关于x的一元二次方程的根为和，其中正确的有 ________（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已，
从而由二次函数与一元二次方程的关系可知，，从而，故①正确；
由抛物线的对称轴为，点，在抛物线上，则点离对称轴的距离为1，而点离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而，②故错误；
已知该抛物线是开口向上，顶点为，故正确，从而③正确；
由图象可知，为关于x的一元二次方程的一个根，由二次函数的对称性，可知为另一个根，从而④正确；
综上，正确的是①③④．
故答案为：①③④．
三、解答题：（本题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演
18. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）
解：（1）
这里，
，
∴，
∴，；
（2），
，
，
，
，
，
∴，；
（3），
，
，
∴，
19. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝3，BC＝2，求DF的长．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝2，
∴BE＝1，
∵AB＝3，∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，
∵△ABE∽△DFA，∴，∴，
∴DF＝．
20. 如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点．

解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心的位置，点的坐标为__________
（2）求的长．（结果保留）
解：（1）如图所示，点即为所求；
（2）∵，，
∴，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的长．
21. 2023年9月第19届亚运会在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要最大程度让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应为每件多少元？
解：设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得
，
整理得：，
解得，，
经检验，方程的解符合题意．因为要最大程度让利顾客，，
故不合题意舍去，
∴该纪念品的售价单价应定为每件50元．
22. 投影仪是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平面距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，求光源投屏最高点与地面间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到）
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则，，，
在中，，，
∴，
∵，∴．
∵，∴，
在中，，
∴，
∴光源投屏最高点与地面间的距离约为．
23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，已知点的坐标是，．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点为反比例函数在第一象限图象上的一点，若，请求出点的坐标．
解：（1）∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
∵，
∴B的纵坐标为，
当时，，
解得，
∴，
∵，两点在上，
解得：
∴一次函数的关系式为．
（2）根据函数图象得，或．
（3）设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵点P为反比例函数在第一象限图象上的一点，
∴，
解得，
∴．
24. 如图，是的直径，是上一点，过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，，如图所示，
∵，为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是切线；
（2）解：连接，如图所示，
由（）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
25. 如图，抛物线与轴交于点A-4,0和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出与满足的关系式．当最大时，求点的坐标；
（3）如图（），点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标．
解：（1）把A-4,0，，代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）在中，
当时，，
∴C0,-3，
∵，，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
∴，∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，有最大值，即最大，此时；
（3）如图，设直线交轴于，
∵，，，
∴，∴，∴，
设直线解析式为，，解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或（不合题意，舍去），
∴．