2025年中考数学一轮复习学案：2.3 一元二次方程（学生版+教师版）

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2.3 一元二次方程
☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
考点1. 一元二次方程及其解法
1．定义：等号两边都是_____，只含有_____未知数，并且未知数的最高次数是___的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是______。
3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的____。
【温馨提醒1】与一元二次方程的定义有关问题解题要领
抓住一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
【温馨提醒2】与一元二次方程的根的定义有关问题解题要领：
紧扣一元二次方程的概念，方程的解（根）直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
4.一元二次方程的解法
有________法、______法、______法、________法等。
（1）直接开方法。
适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；
②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。
当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
【温馨提醒】公式法解方程的步骤
（1）变形: 化已知方程为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);;
（2）确定系数:用a,b,c写出各项系数;
（3）计算: b2-4ac的值;
（4）判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出； 若b2-4ac 0时,方程有两个______的实数根.
当b2 - 4ac= 0时,方程有两个______的实数根.
当b2 - 4ac< 0时,方程_____实数根.
3.根与系数的关系（韦达定理）
（1）语言表达：也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
（2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。
若一元二次方程的两个实数根是，当，则
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。
4. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。
（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
（5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
5. 解决一元二次方程的根与系数的关系问题需要熟练理解牢记如下代数式的一些重要变形：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
考点3. 一元二次方程的应用
一、实际问题与一元二次方程
类型1：传播问题与一元二次方程
1.解决这类传播问题的经验和方法
（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
2.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤
3.传播问题实例探索
数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
类型2：平均变化率问题与一元二次方程
增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．
（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；
当为平均下降率时，则有．
类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
类型3：几何图形面积问题与一元二次方程
1.几何图形面积问题说明：主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.
2．面积问题
（1）类型1：如图所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

类型4：市场销售利润问题与一元二次方程
利润等量关系：
（1）利润=售价－成本．
（2）利润率=×100％．
类型5：比赛类问题与一元二次方程
等量关系
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，
∴1支球队需要比赛（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴总共比赛场次为：m= QUOTE 12n（n-1） 12n（n-1）
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，
∴1支球队需要比赛（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴总共比赛场次为：m= QUOTE n（n-1） n（n-1）
二、解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【易错点提示】一元二次方程解法多，选择解法容易混乱。
一元二次方程解法选择的基本思路
（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
（2）若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
（3）若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
（4）不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
考点1. 一元二次方程及其解法
【例题1】 （2024四川凉山）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A.2B. C. 2或D.
【对点变式练1】（2024深圳一模）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2 QUOTE +2x- +2x-4＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
对点变式练2】（2024江苏连云港一模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【例题2】（2024贵州省）一元二次方程的解是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【对点变式练1】（2024齐齐哈尔一模）用直接开平方法解方程：1﹣8x+16x2＝2﹣8x．
点变式练2】（2024甘肃威武一模）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【对点变式练3】（2024福建一模）用公式法解一元二次方程x2－ eq \f(1,4) ＝2x,正确的解是( )
A.x1＝ eq \f(－2+ eq \r(5) ,2) x2＝ eq \f(－2－ eq \r(5) ,2)
B.x1＝ eq \f(2+ eq \r(5) ,2) x2＝ eq \f(2－ eq \r(5) ,2)
C.x1＝ eq \f(1+ eq \r(5) ,2) x2＝ eq \f(1－ eq \r(5) ,2)
D.x1＝ eq \f(1+ eq \r(3) ,2) x2＝ eq \f(1－ eq \r(3) ,2)
【对点变式练4】（2024湖南一模）如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1D．x1＝3；x2＝1
【对点变式练5】（2024湖北一模）已知 ，则m2+n2的值为（ ）
A．-4或2B．-2或4C．-4D．2
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【例题3】 （2024甘肃临夏）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
【对点变式练1】（2024天津一模）已知关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程无解
B．当时，方程有一个实数解
C．当时，方程有两个相等的实数解
D．当时，方程总有两个不相等的实数解
【对点变式练2】（2024安徽一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【例题4】（2024黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A. B.
C. D.
【对点变式练1】（2024四川乐山一模）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A. B. C. 1D.
【对点变式练2】（2024安徽一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 ．
考点3. 一元二次方程的应用
【例题5】（2024河北省）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A. 1B. C. D. 1或
【对点变式练1】（2024陕西一模）某农机厂四月份生产零件40万个，第二季度共生产零件162万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．40（1+x）2＝162
B．40+40（1+x）+40（1+x）2＝162
C．40（1+2x）＝162
D．40+40（1+x）+40（1+2x）＝162
【对点变式练2】（2024哈尔滨一模）某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？
考点1. 一元二次方程及其解法
1. （2024吉林省）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024广州）定义新运算：例如：，．若，则的值为______．
3. （2024深圳）已知一元二次方程一个根为1，则______．
4. （2024四川凉山）已知，则值为______．
5. （2024黑龙江齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0
6. （2024安徽省）解方程：
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1. （2024四川自贡）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
2. （2024四川乐山）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A. B. C. D. 6
3. （2024四川泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
4. （2024湖南省）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________．
5. （2024河南省）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________．
6. （2024广州）关于的方程有两个不等的实数根．
求的取值范围；
7. （2024山东烟台）若一元二次方程两根为m，n，则的值为________．
8. （2024四川成都市）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
9. （2024四川南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
考点3. 一元二次方程的应用
1. （2024云南省）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产
1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的
是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024四川眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. （2024重庆市A）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______．
4. （2024重庆市B）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为________．
考点1. 一元二次方程及其解法
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．B．C．D．
2. 已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A. B. 0C. 2022D. 4044
3．若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0B．2C．－2D．± 2
4.已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
5. 解方程：
6. 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
7. 用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（ ）
A．（x QUOTE -72 -72）2 QUOTE =374 =374B．（x QUOTE -72 -72）2 QUOTE =434 =434
C．（x QUOTE -74 -74）2 QUOTE =116 =116D． QUOTE (x-74)2=2516 (x-74)2=2516
次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是_______．
9. 用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A．x1、2=B．x1、2=
C．x1、2=D．x1、2=
10.一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．
11.已知一元二次方程x2－2x－eq \f(5,4)＝0的某个根也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0的根，求k的值．
12. 用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
3. 用分解因式解方程：4x2﹣（x﹣1）2＝0．
4. 解方程：x2－2x－3＝0
15．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为__________三角形．
16.用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A．y2﹣2y+1=0B．y2+2y+1=0C．y2+y+2=0D．y2+y﹣2=0
17．已知（a+b）（a+b﹣4）＝﹣4，那么（a+b）＝_____．
18. 用换元法分解因式(x2－4x+1)(x2－4x+2)－12.
【解】设x2－4x＝y, 则原式＝(y+1)(y+2)－12＝y2+3y－10＝(y+5)(y－2)＝(x2－4x+5)(x2－4x－2). (1)请你用换元法对多项式(x2－3x+2)(x2－3x－5)－8进行因式分解
(2)凭你的数感,大胆尝试解方程:(x2－2x+1)(x2－2x－3)＝0
考点2. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2D．有两个不相等的实数根
2. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
3．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k且k≠1B．k≥且k≠1C．kD．k≥
4．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_______．
5. 已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
6.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（ ）
A．8B．32C．8或32D．16或40
7.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的
值为 ．
8.已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
9.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
10. （2022四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
考点3. 一元二次方程的应用
1. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14B．11C．10D．9
2. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50D. 30（1﹣x2）＝50
3. （数字问题）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2D．10（x+3）+x＝（x+3）2
4．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求．工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
5. 近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 一元二次方程及其解法
☆☆
数学中考中，有关一元二次方程的部分，每年考查1道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、 解答题的形式考查。三种题型中一般只出现一种，但在考查其他综合类问题时渗透考查一元二次方程的知识。所以一元二次方程知识是中考十分重要的内容，也是高中阶段学习的重要基础。一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是属于年年考知识点，必须熟练掌握。
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
☆☆☆
考点3 一元二次方程的应用
☆☆