2024-2025学年陕西省西安市高二上册月考2数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市高二上册月考2数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．若直线l的方向向量，平面的法向量，则（ ）
A．B．C．D．或
3．已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（ ）
A．9B．C．8D．
5．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A．2B．3C．D．
7．已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（ ）
A．10B．8C．24D．
8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于直线与圆，下列说法不正确的是（ ）
A．过定点
B．的半径为9
C．与可能相切
D．被截得的弦长最小值为
10．已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面与平面的夹角为
C．三棱锥的体积为定值
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题）
12．已知，则 ．
13．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 .
14．已知动点满足，O为坐标原点，则的最大值是 .
15．正方体的棱长为5，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为25，则动点到点的最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
16．已知圆过原点和点，圆心在轴上.
(1)求圆的方程；
(2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程.
17．已知点，，动点Mx,y满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由.
18．如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E为AB中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
19．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且是抛物线E上异于O的两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线的斜率之积为，求证：直线恒过定点.
20．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值．
答案
1．【正确答案】D
【详解】由双曲线，可得，则，
且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.
故选：D.
2．【正确答案】D
【分析】根据可得结果.
【详解】因为，
所以，
所以或.
故选：D
3．【正确答案】D
【详解】由题意知，，
又，所以，且两直线之间的距离为
.
故选：D
4．【正确答案】B
【详解】圆可化为，圆心为，半径为.
若圆M与圆恰有三条公切线，则两圆外切.
圆可化为，圆心为，半径为，.
由，所以，解得.
故选：B
5．【正确答案】B
【详解】

以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值等于
.
故选：B
6．【正确答案】D
【详解】因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，，
截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，
根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，
建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，
设抛物线与底面交点为E，则，
设抛物线为y2=2pxp>0，则，解得，
即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.
故选：D.
7．【正确答案】B
【详解】椭圆中，，
因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以，
又，故四边形为平行四边形，
又，故四边形为矩形，即⊥，
由勾股定理得①，
由椭圆定义得②，
式子②平方得，
结合①得，
故四边形的面积为.
故选：B
8．【正确答案】A
【详解】设与y轴交于点，连接，则，得到，

因为，故P点在双曲线右支上，且，
故，而，
故，
在中，，即，故，
由，且三角形内角和为，
故，则，
即，即，所以的离心率的取值范围为，
故选：A.
9．【正确答案】BC
【详解】可变形为，
由，得，所以直线过定点2,3，故A正确；
圆的标准方程为，半径为3，故B不正确；
由，所以点2,3在圆的内部，
所以与相交，不会相切，故C不正确；
当与点2,3和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小.
因为点2,3和圆心连线的斜率为，所以，解得，
此时的方程为，因为圆心到直线的距离，
所以弦长为，故D正确.
故选：BC.
10．【正确答案】BC
【详解】由题意，则抛物线：，准线方程为，
则直线的方程为，
设，联立方程组得，解得，，
所以点，点，所以，
，故选项BC正确；
又，所以，
故，故A错误；
因为，
所以，
所以为钝角，故D错误.
故选：BC.

11．【正确答案】AC
【详解】以点A为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，，
设点，其中.
对于A选项，，，
则，
所以，A选项正确；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
由，取，可得，则，
设平面的法向量为，，
由，取，则，则，
可得，
所以平面与平面的大小不是，B选项错误；
对于C选项，，平面，平面，平面，
到平面的距离等于点A到平面的距离，
而点A到平面的距离为，即三棱锥的高为，
因此，，C选项正确；
对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且，
又，，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误.
故选AC.
【方法总结】求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
12．【正确答案】
【详解】由，
有．
故
13．【正确答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
14．【正确答案】
【详解】方程可以转化为，
所以或或
或，则动点的轨迹为原点和四段圆弧.如图：

由于对称性，仅考虑圆弧，其表示圆心为，半径为的圆弧，
显然当点P为时，.
故
15．【正确答案】
【详解】
如图所示，作，Q为垂足，则易知平面，
过点Q作，交于，则易知平面，
所以即为P到直线的距离．
因为，且，所以．
所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线．
如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是，点，
设，所以，
所以当，取得最小值.
故
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得
从而圆的半径为，所以圆的方程为.
（2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4，
显然直线符合题意.
当直线的斜率存在时，设其方程为，即
所以解得，所以直线的方程为
综上，直线的方程为或.
17．【正确答案】(1)（且）
(2)不可以，理由见解析
【详解】（1）由题意，显然且，
所以的方程为（且）；
（2）设在曲线上（），且中点为，
则（且），
所以，
所以直线为即，，
联立，整理得，，解得x=1或，但这与且矛盾，
故不符合题意；
设在曲线上（），且中点为，
但根据双曲线的对称性可知，中点应该为，这与中点为，矛盾；
综上所述，不存在满足题意的直线的方程.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 与交于点O，连接OE，
由分别为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）由，底面，故底面，
建立如图所示空间直角坐标系：则，
所以，
设平面的一个法向量为：，
则，即，
令，则，则，
因为底面，所以为平面一个法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
19．【正确答案】(1).
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意得，，点P的横坐标为1，且，
则，
∴抛物线E的方程为；
（2）证明：当直线的斜率不存在时，
设，，
因为直线的斜率之积为
则，化简得．
所以，此时直线的方程为．
当直线的斜率存在时，设其方程为，，
联立，化简得，需满足，
根据根与系数的关系得，
因为直线的斜率之积为，
所以，即，即，
解得（舍去）或，
所以，即，满足，所以，
即，
综上所述，直线过定点．
20．【正确答案】(1);
(2)
【详解】（1）由已知得，圆半径为9，圆半径为1，
设动圆圆心，半径为，
由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切，故
，所以，
所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，
则，所以，
所以曲线的方程为.
（2）由已知得，所以等于的面积，即的面积为S，
由已知可设直线的方程为，，
由得，则，，
所以，
令，则，，
所以，
当且仅当，即时，S取最大值.
综上，当时，的面积S取得最大值为.