2024-2025学年陕西省西安市高二上册第二次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市高二上册第二次月考数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．-7B．-5C．-2D．2
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．设为双曲线上一点，、为双曲线的左右焦点，若，则（ ）
A．1B．9C．3或7D．1或9
4．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．0D．1
5．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
6．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝PA＝2，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是( )
A．eq \f(3,8) B．eq \f(\r(6),4) C．eq \f(11,8) D．eq \f(\r(22),4)
7．与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上.已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A．13B．2−12C．3−12D．3−13
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．与，共面B．在上的投影向量的模是
C．D．与夹角的余弦值是
10．已知空间中不共面的四点，，，，则（ ）
A．直线与所成角的余弦值是B．二面角的正弦值是
C．点D到平面的距离是D．四面体的体积是
11．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．四边形面积的最小值为
C．D．若，则直线的斜率为
三、填空题（本大题共3小题）
12．祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家．他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为eq \f(2\r(3),3)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，2\r(3）)，则双曲线的方程为____________；若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为________．
13．已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
14．若抛物线上的一点的横坐标为，且点到抛物线的焦点的距离为，则点的一个纵坐标为
四、解答题（本大题共5小题）
15．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为eq \f(5,3)，且经过点M(－3,2eq \r(3))；
(2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，且经过点A(2，－3)．
16．已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若，求直线l的斜率.
17．如图所示，的顶点A−2,0，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求边BC所在直线的方程；
(2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
18．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，平面底面，，为的中点．
(1)证明：平面
(2)若点在棱上，，且二面角为，求的值．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为、，已知点在直线上运动，且，当时，点在椭圆上
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆外，过点的直线与椭圆交于、两点，且直线、与直线分别交于、，求的值.
答案
1．【正确答案】A
【分析】根据两点坐标，列出斜率表达式，然后根据倾斜角得到斜率，列出方程求解即可.
【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，
则，即
故选:A.
2．【正确答案】C
【详解】

对于A，如图正方形中，若，则，但，故A错误；
对于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比较大小，故B错误；
对于C，因两向量相等包括长度相等，方向相同，故C正确；
对于D，如上图中，，但，故D错误.
故选：C.
3．【正确答案】B
【详解】根据双曲线定义可知，
所以或；
又因为双曲线上的点到焦点距离的最小值为，所以舍去；
可得.
故选：B
4．【正确答案】D
【详解】由可得: ,解得.
故选：D.
5．【正确答案】D
【详解】∵点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴点到点的距离等于它到直线的距离，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是.
故选：D.
6．【正确答案】B
因为AB＝BC，且△ABC是直角三角形，所以AB⊥BC.以B为原点，分别以eq \(BC,\s\up6(→），eq \(BA,\s\up6(→）的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝BC＝PA＝2，所以A(0,2,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)，P(0,2,2)，E(1,1,1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，\f(1,2）)，则eq \(AC,\s\up6(→）＝(2，－2,0)，eq \(AF,\s\up6(→）＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，\f(1,2）).故点F到直线AC的距离d＝eq \r(|\(AF,\s\up6(→）|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AF,\s\up6(→）·\(AC,\s\up6(→）,|\(AC,\s\up6(→）|）)2)＝eq \r(\f(1,4)＋1＋\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2\r(2））2)＝eq \f(\r(6),4).
7．【正确答案】A
【详解】因为椭圆，焦点在y轴上，且，
又因为所为双曲线与双曲线共渐近线，
所以设所求双曲线，即
则，解得.
所以所求双曲线为.
故选：A
8．【正确答案】C
设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为a,e，则半焦距为ea，
设变轨后椭圆的长半轴长为a'，显然变轨后椭圆的离心率为2e，半焦距为2ea'，
依题意得a'−2ea'=a−ea,a'+2ea'=3a+ea,
整理得1+2e1−2e=31+e1−e，即2e2+2e−1=0，
而00)．
∵e＝eq \f(5,3)，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(25,9)，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3).
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(9,a2)－\f(12,b2)＝1，）解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(9,4)，,b2＝4.）
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(9,4）－eq \f(y2,4)＝1.
(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).①
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1.②
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(a,b)＝eq \f(1,2).③
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴eq \f(9,a2)－eq \f(4,b2)＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,22)－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴eq \f(22,22)－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
16．【正确答案】（1）；（2）1或.
（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程；
（2）设，直线方程为，代入抛物线方程后由韦达定理得，然后由焦点弦长公式可求得．
【详解】（1）由题意，，∴抛物线方程为；
（2）由（1）知焦点为，
若直线斜率不存在，则，不合题意，因此设直线方程为，
由得，
设，则，
，解得或．
本题考查抛物线的焦半径公式，焦点弦长，掌握抛物线的定义是解题关键．
17．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为点，点，
则，又，所以，
所以边BC所在直线的方程为，
即．
（2）因为边BC所在直线的方程为，
令，得，
所以圆心，又因为，
∴圆M的方程为．
（3）因为点P为线段OA的中点所以，
又，且圆N过点，
所以是该圆的半径，
因为动圆N与圆M内切，所以，
即，
所以点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且，
所以，，，
所以圆心N的轨迹方程为．
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为为等边三角形，为的中点
所以，
又平面底面，平面，且平面底面,
所以平面.
（2）由（1）知，平面，
.因为，为的中点，
所以,
所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，
所以，，
因为，点在棱上，
所以，，
所以
设平面的法向量，则
,即，令
令，则，，
所以，
由题意可知，平面，所以平面的法向量，
因为二面角为,
所以，即，
解得或（舍）
故的值为.
19．【正确答案】(1)
(2)0
【详解】（1）设，易知，，
则，解得；
由题意可知时，点在椭圆上，
即可得,且，所以；
因此椭圆的方程为.
（2）易知过点的直线斜率存在，
设，
当其斜率为0时，直线，此时，
则直线的方程为，可得，同理可得；
则;
当直线斜率不为0时，不妨设其方程为，如下图所示：
联立可得，显然；
可得，
直线的方程为，
令，可得；
同理可得；
所以，
易知，
即，可得；
综上可得.