2024-2025学年河北省张家口市尚义县高二年级上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省张家口市尚义县高二年级上学期12月月考数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．若双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（ ）
A．或B．C．D．
3．已知点在圆外，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
4．如图，在直三棱柱中，，且，则（ ）

A．2B．4C．D．
5．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆上一点到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
7．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（ ）
A．3米B．米C．米D．米
8．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程为3时，的值为（ ）
A．B．C．2D．3
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知抛物线过点，则（ ）
A．抛物线的标准方程可能为
B．抛物线的标准方程可能为
C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．当直线与轴垂直时，
B．的周长为
C．的最大值为
D．的内切圆的面积的最大值为
11．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的交点，设，、分别为椭圆和双曲线的离心率，则以下结论正确的是（ ）

A．B．当时，
C．若，则D．的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线与直线垂直，则实数 .
13．在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 .

14．已知双曲线的两个焦点分别为F1−c,0、，，以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，若直线与圆相切，则 （用含、的式子表示），双曲线的离心率是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆，圆上存在关于x－y+1=0对称的两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
16．如图，已知平面，底面为矩形，，，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点，过椭圆右焦点垂直于长轴的弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若（O为坐标原点）的面积为，求直线的方程.
18．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值.
19．在平面直角坐标系中，已知双曲线的实轴长为4，离心率为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的右焦点，直线过且与双曲线的右支交于，两点，，分别交直线于，两点.
（i）若直线的斜率存在，证明为定值；
（ii）若为轴上一动点，当直线的倾斜角变化时，若为钝角，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【详解】抛物线化为标准方程可得，
故，焦点坐标为.
故选:C.
2．【正确答案】B
【详解】因为双曲线方程为，
所以，又，
当点在双曲线左支上时，
，则，
当点在双曲线右支上时，
，则，不合题意，舍.
故选：B.
3．【正确答案】C
【详解】由方程表示圆，得，解得或；
又点2,1在圆外，则，解得，
因此，或，
故选：C.
4．【正确答案】B
【详解】由题意，直线两两垂直，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；

由，，得，，，，
则，，
所以，
故选：B.
5．【正确答案】C
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设、，则，，
由，得，则，
由，得，得，
联立解得，，所以.
故选：C
6．【正确答案】A
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径，
则圆心到直线的距离为，则直线与圆相离，
所以的最小值为，
故选：A.
7．【正确答案】D
【详解】根据题意，，，故，解得，即，
则当水面宽度为米时，即时，解得，，
因此，拱顶M到水面的距离为.
故选：D
8．【正确答案】A
【详解】

由椭圆方程得：直线和是椭圆的两条互相垂直的切线，
所以点在蒙日圆上，则蒙日圆的半径，故蒙日圆的方程为；
如图所示，设点出发的光线与轴交于点，反射光线与圆交于点，
当直线为圆的切线时，路程取最大值，
设点关于轴的对称点为，由对称性知点在直线上，且，
则，
由题意，当直线为圆的切线时，路程最大，且最大值为3，即，
则，即，
解得，，
故选：A.
9．【正确答案】ABD
【详解】因为抛物线过点，则抛物线的开口向右或向下，
当开口向右时，设方程为，，则，解得，即；
当开口向下时，设方程为，，则，解得，即，故A正确，B正确；
如图所示，当抛物线方程为时，由点与抛物线只有一个公共点得直线有斜率，
设直线方程为，联立，得，
当时，方程只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，符合题意；
当，由，解得，则直线方程为，
此时方程只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，符合题意；
因此，当抛物线方程为时，过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条.
如图所示，对于抛物线，直线与抛物线只有一个公共点，
当直线有斜率时，设直线方程为，联立，得，
由，解得，则直线方程为，
此时方程只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，符合题意；
因此，当抛物线方程为时，过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条；
综上所述，过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条，故C错误，D正确，
故选：ABD.
10．【正确答案】ACD
【详解】对于椭圆，，，，则F21,0，
对于A选项，当直线与轴垂直时，直线的方程为，
将代入椭圆方程可得，解得，此时，，A对；
对于B选项，的周长为，B错；
对于C选项，由椭圆的定义可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此的最大值为，C对；
对于D选项，设的内切圆的半径为，
，
当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，
最大值，
所以的内切圆的半径的最大值，
的内切圆的面积的最大值为，D对.
故选：ACD.
11．【正确答案】BD
【详解】对于A选项，因为椭圆和双曲线有相同的焦点，所以，，A错；
对于B选项，由椭圆的定义，
由双曲线的定义，所以有，，
因为，，
由余弦定理可得，
整理得，所以，，整理可得，B对；
对于C选项，因为，等式两边同时除以可得，C错；
对于D选项，的半周长为，
由海伦秦九韶公式可得
，D对.
故选：BD.
12．【正确答案】/
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，即，解得，
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】

如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系；
由题意，，，，则，，
设平面的法向量，
由，得，令，解得，，
则平面的一个法向量，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则,
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
故答案为.
14．【正确答案】 /
【详解】易知圆心为，圆的半径为，则，，
因为以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，所以，，
因为直线与圆相切，切点为，则，
所以， ，所以，，即，可得，
由双曲线的定义可得，所以，，
由勾股定理可得，即，
整理可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故；.
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）配方得：，所以圆心为，因为圆上存在关于x－y+1=0对称的两点，所以x－y+1=0一定经过圆心，即，解得：，所以圆的标准方程为
（2）设圆心到直线距离为，由圆的弦长公式得，解得，
①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意；
②当斜率存在时，设直线方程为，则，解得，
所以直线的方程为；
综上，直线方程为或
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
在矩形中，，则两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：
则，由为的中点，则，
取，，，
设平面的法向量，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
因为，所以，则平面.
（2）由（1）可得，
取，，，
设平面的法向量，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
设直线与平面的夹角为，
.
17．【正确答案】(1)
(2)直线或直线
【详解】（1）由椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，则设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，
由椭圆经过0,1，则，设右焦点Fc,0，将代入椭圆的方程，
可得，由，可得，
由过椭圆右焦点垂直于长轴的弦长为，则，解得，
所以椭圆.
（2）
设，，
联立可得，整理可得，
，，
易知与异号，
，
化简可得，分解因式可得，解得，
即，所以直线或直线.
18．【正确答案】(1)
(2)存在，，的最小值为13
【详解】（1）由题意知，椭圆的右焦点为1,0，则，，
所以抛物线的方程为.
（2）存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，理由如下：
如图所示，根据抛物线的定义得,
所以当三点共线时，点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，
此时点为直线与抛物线的交点，又直线的方程为，
联立，解得或（舍去），则点，
此时最小，且最小值为，
因此在曲线上存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，
且的最小值为13.
19．【正确答案】(1)
(2)（i）证明见详解；（ii）
【详解】（1）由题意知，，解得，又离心率，解得，则，
所以双曲线的方程为.
（2）
（i）
由（1）知：A−2,0，，，设点Mx1,y1，Nx2,y2，
因为直线的斜率存在，且与双曲线的右支交于，两点，
所以设直线的方程为，
联立，消去后，得，，
由韦达定理得，则，
直线的方程为y=y1x1+2x+2，令，解得，则，
直线的方程为y=y2x2+2x+2，令，解得，则，
所以
，
因此，为定值.
（ii）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
与双曲线联立得，
设，则，，
则，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
由（i）可知：，，所以，，
因为为钝角，所以，且，
由，得，
所以，即，解得，又，所以或；
当直线的斜率不存在时，将代入双曲线方程可得，不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
所以，，
因为为钝角，所以，且，解得或；
综上所述，t的取值范围是.