湖北省武汉市东湖高新区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市东湖高新区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程化成一般形式后，常数项是，一次项系数是（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】D
【解析】解：一元二次方程化成一般形式为，
故一次项系数为，
故选：D．
2. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 在下列抛物线中，其顶点是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：、∵，
∴抛物线的顶点为，该选项不合题意；
、∵，
∴抛物线的顶点为，该选项不合题意；
、∵，
∴抛物线的顶点为，该选项符合题意；
、∵，
∴抛物线的顶点为，该选项不合题意；
故选：．
4. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 3B. C. 15D.
【答案】D
【解析】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
故选：D．
5. 如图，都是上的点，若，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
6. 为纪念抗美援朝战争胜利周年拍摄了《志愿军》三部曲．《志愿军：存亡之战》第一天全国票房为亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把每天票房的平均增长率记作，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：若把每天票房的平均增长率记作，
由题意得，，
故选：．
7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，
，，
，
.
，
，
．
在中，，
．
故选：C．
8. 已知为方程的两根，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵为方程的两根，
∴，，，
∴，
∴，
故选：．
9. 二次函数的图象经过三点，且，则的大小关系是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴点到对称轴的水平距离小于点到对称轴的水平距离，点离对称轴是水平距离最远，
若，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大，
∴，故该选项错误，选项正确；
若，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远，函数值越小，
∴，故选项错误；
故选：．
10. 如图，在中，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：在中，，，
∴，
∴，
由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每6次旋转1周．…2，
如图，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，经过次旋转后，点转到点D的位置，则过点D作交的延长线于点H，
∴，
∴，
∴，
∵
∴点D的坐标是，
故选：A
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】（2，﹣1）
【解析】点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1），
故答案为（2，﹣1）．
12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________．
【答案】
【解析】解：∵有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
13. 将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得：，
故答案为：．
14. 如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则______．
【答案】
【解析】解：连接，
为的直径，且，
，
为中点，
，
将沿翻折后交于点，
,
,
,
,
弦于点，
,
．
故答案为：．
15. 如图是抛物线是常数，且的一部分，其对称轴是直线，且与轴的一个交点坐标是，有下列结论：①：②；③若，则；④若，且，则．其中正确的结论有______．
【答案】①②
【解析】解：由图象知，
∵对称轴是直线x=1,
,
,
，①正确；
∵,
∴，
由图象可知，抛物线经过点，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故②正确；
，
,
∴对于函数，
当时的函数值应小于当时的函数值．
，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
,
∴或，
故③错误．
∵且，，
∴且，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
故④错误；
综上，正确的有①②．
故答案为：①②
16. 如图，在等腰Rt中，，点为内部一点，连接、、，若，则的面积为______．
【答案】
【解析】解：等腰中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
把绕点C顺时针旋转90°得到，连接，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在Rt中，，
即，
解得：或（舍去）
∴，，
∴．
三、解答题（共8大题，共72分）
17. 解方程：．
解：，即，
则，，，
∴，
∴，
∴，．
18. 如图，将绕点逆时针旋转至的位置，此时A、B、D三点共线．
（1）求的大小；
（2）若，，求的长．
解：（1）由旋转可知，，，
∵A、B、D三点共线，
∴，
即：；
（2）由旋转可知，，，，
则，
由勾股定理可得：，
∴．
19. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
解：（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．
20. 如图，已知抛物线与轴交于点，．
（1）求抛物线解析式；
（2）过点作轴的平行线交抛物线于D，E两点，求的长；
（3）当时，的取值范围是______．
解：（1）把，代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）把点的纵坐标，代入得：，
解得：，，
则长；
（3）由（2）和图象知：当时，的取值范围是或，
故答案为：或．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的辅助线不得超过三条（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）在图1中，过点作于；
（2）在（1）的基础上，在射线上取点，使；
（3）在图2中，将线段绕点逆时针旋转得线段，画出线段；
（4）在（3）的基础上，连接交于点，将线段绕点旋转，画对应线段（点A与点对应，点与点对应）．
解：（1）如图，点是的中点，且，则是的中位线．
理由如下：延长使得，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
则，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，则，即点为的中点，
∴是的中位线．
如图，取格点，连接，交于，
取格点，可知，，，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
故，点即为所求；
（2）如图，取格点，，连接，，延长交于点，连接，
由网格的特点可知，，点为的中点，
则由引理可知，为的中位线，
∴，，
∴点与点关于对称，
∴，
故，点即为所求；
（3）如图，取格点，连接，即为所求；
（4）如图，连接交于，取格点，，连接，，交于，
由网格的特点可知，点为的中点，，
则由引理可知，为的中位线，
∴，
取格点，，连接交于，连接，
同理可知，，由，可知，
∴，
故，即所求．
22. 小武同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系；若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，且扣球时当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为．
（1）求a，b的值；
（2）小武经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度．并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网（羽毛球过点B算过网）；
（3）通过对本次训练进行分析，若击球高度下降，球飞行轨迹的抛物线也向下平移，在吊球路线的形状保持不变的情况下，直接写出他应该再向正前方移动______米接球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方处．
解：（1）∵扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为，
∴，解得，
∴一次函数解析式为；
当时，，
则点P的坐标为，
∴，
解得或（舍去）；
（2）令中，则，
∴球网的高度为，
选择吊球，二次函数，
∴选择吊球的方式也刚好能使球过网；
（3）∵吊球路线的形状保持不变，击球高度下降，
设向前移动m米，则二次函数解析式为，此时的击球点的坐标为，
将点及击球点的坐标代入，
得，
解得（舍去），
∴他应该向正前方移动1.5米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方处．
23. 在中，，将绕点逆时针旋转得．
（1）如图，将绕点逆时针旋转30°得，求的大小；
（2）如图，CD交于点，求证：点是中点；
（3）在绕点旋转一周的过程中，线段长度的最大值为______．
解：（1）解：∵，，
∴，
由旋转得，，，，
∴，
∴；
（2）证明：过点作交CF的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是中点；
（3）解：在中，，，
∴，
∴，
取的中点，连接，
在中，，
∴，
∵为中点，为中点，
∴，
∵（仅当点三点共线时相等），
∴，
∴线段长度的最大值为，
故答案为：．
24. 抛物线与轴交于A，B两点，点在点的右边，与轴交于点，且过点，对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接、，点是线段上的动点（不含端点A，B），过点E作交于点，连接．求面积的最大值．
（3）如图2，是定直线上一动点，连接、，直线交抛物线于点．直线交抛物线于点，连接，直线是否会经过定点，若经过定点，请求出这个定点．若不过定点，请说明理由．
解：（1）由题意可得：对称轴为直线，
∴，
∵抛物线过点，
∴，可得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）当时，，解得：，，
即：，，
当时，，即：，
设直线的解析式为：，可得，解得：，
∴直线的解析式为：，
同理可得直线的解析式为：，
设点，
∵，
∴设直线的解析式为：，
代入，得，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立得，解得：，
∴，
则
，
∴当时，有最大值；
（3）过定点，理由如下：
设点，，
设直线的解析式为：，代入，，
有，解得：，
即直线的解析式为：，
同理：直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
∵直线，交点在直线上运动，
∴，
解①得：，解②得，
即：，整理得：，
即：直线的解析式为：，
当时，，
即：直线经过定点．