湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市汉阳区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 到2035年，我国的现代化建设将基本实现．2035四个数字中不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：C．
2. 某商品的价格为元，经过连续两次降价后的价格是元，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得：
100×（1−）2＝81，
解得x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去），
故选：C．
3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、，，则有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、，，则有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、，，则没有实数根，不符合题意；
D、，，则有两个相等的实数根，符合题意，
故选：D．
4. 如图，的弦与半径互相垂直，垂足为，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：连接，如图，
，
，
在中，，，
，
．
故选：C．
5. 根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解： ∵当时，，当时，，
∴当时，一定有一个x对应的值使得，
∴一元二次方程的一个根的范围是，
故选：D．
6. 如图，是圆的直径，点，，在圆上，记为，为．若，则的度数和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
7. 以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：过点分别作轴的垂线，垂足为点，则,
∵，
∴,
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴,
故选：A．
8. 如图，为的直径，点为圆上一点，且．现有以下操作：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
根据作图步骤可知，平分，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：令,
即,
解得：（舍去）,
∴推出铅球的距离为；
故选：C．
10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，
由题意得：，
而，则，
抛物线的对称轴平行于轴，
且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
∵四边形的周长，且都是定长，
∴的值最小时，即四边形的周长最小，
则在抛物线中，令，则，
，
令，则，
解得：或，
，，
由平移的性质可得：
点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
∵点在点下方，且．
∴
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中点，则点关于原点成中心对称的点坐标为________．
【答案】
【解析】解：依题意，关于原点成中心对称的点坐标为，
故答案为：．
12. 把抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线是________．
【答案】
【解析】解：把抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线为，
故答案为：．
13. 如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：∵，对称轴为直线，
∴与x轴另一个交点为，
∴当时，，
故答案为：．
14. 如图，中弦，为圆上一点，过点作交其延长线于点，且，的直径为________．
【答案】
【解析】解：在圆上取一点，连接，连接，
∵，，
∴，
∵共圆，
∴，
∴，
∵，
∴
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴直径为，
故答案为：．
15. 如图，四边形中，，，，若四边形的面积为，则对角线的长为________．
【答案】2
【解析】解：延长至点，使得，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴设，
∵，
∴，
过点作于，则，
在中，由勾股定理得，
由得，
解得：（舍负）
故答案：2．
16. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是________．
【答案】①②③④
【解析】解：①，，，当时，随的增大而减小，故此项正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，，
，解得：，故此项正确；
故答案：①②③④．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴将代入得：，
解得：，
∴方程为：，
解得：，
∴另一根为：．
18. 如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，．
（1）求证：；
（2）可以看作是旋转得到，请直接写出旋转中心，旋转方向，旋转角最小度数．
解：（1）证明：和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，且
∴旋转中心：点C；旋转方向：顺时针；旋转角最小度数：．
19. 如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边的长为，矩形的面积为．
（1）求与之间的函数关系式；（不要求写自变量取值范围）
（2）当时，求的值．
解：（1）若垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，
∴矩形的面积，
∴S与x函数解析式．
（2）当，则，
解得：，
由题意得，解得，
∴舍，
∴．
20. 如图（1），为的两条弦，且，连，．
（1）求证：；
（2）如图（2），若，作于，求证：．
解：证明：（1）过点分别作，于点，，连接，，，如图所示，
则有，，，
，
，
，
，
又，
，
，即，
；
（2）连接，，，如图所示，
由（1）可知，，
，
，
，
又，
，
为斜边上的中线，
.
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，在同一个圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图（1）中，先画过，，三点圆的圆心，再画的角平分线；
（2）在图（2）中，先过点画的平行线交圆于点，再过点画的平行线交圆于点．
解：（1）如图，点与即为所求：
（2）如图，即为所作，
22. 如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求此抛物线解析式；
（2）如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？
（3）如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度．
解：（1）由题意得抛物线经过点，顶点为，
设解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴解析式为：；
（2）当，则，
解得：，
则此时水面宽度为，
原先水面宽度为，
∴水面宽度增加；
（3），
∴对称轴为直线，
设，则，
由题意得：，
∴，
∴
，
∴开口向下，由，
得当时，．
23. 如图，正方形的边长为2，点为其内一点，且点与点的距离为1，将绕点逆时针旋转得，，交于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）连，求证：；
（3）直接写出点，间的最短距离．
解：（1）解：∵，理由如下：
设交于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点作交的延长线于点，
∵将绕点逆时针旋转得，
∴，， ，
∴，
∴，
∴，，
∵
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图所示，连接，过点D作交延长线于H，连接，
由旋转的性质可得 ，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵点H是定点，
∴点G在以H为圆心，半径为1圆上运动（一段弧），
∴当三点共线，且在上时，有最小值；
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，即点，间的最短距离为．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，（点在点的左侧），不经过点的直线交抛物线于，两点．
（1）求点，的坐标；
（2）若，求的值；
（3）若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系．
解：（1）令得：，
解方程得：，，
∵抛物线交轴于点，（点A在点的左侧），
∴，；
（2）过点C作轴，过点D作轴，两线交于点E，
∵方程组的解为或，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴b的值为；
（3）由（1）得，，
由（2）得，，，
∵直线记为，直线记为，
∴，，
∴，，
∴，
∴与满足的数量关系为：．
…
…
…
…
…
0
3
5
…
…
0
…