2025浙江省强基联盟高二上学期10月联考数学试卷含解析

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浙江强基联盟研究院 命制
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 空间直角坐标系中，已知点，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. 1B. C. D.
3. 已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 在平面直角坐标系中，直线，则直线过（ ）
A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限
C. 二、三、四象限D. 一、三、四象限
5. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C D.
6. 已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. 2D. 3
7. 正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）作为一种对称稳定几何结构，在物质世界中具有广泛的应用.从晶体材料到生物分子，正八面体结构都发挥着重要作用，影响着物质的性质.如六氟化硫（化学式为）分子结构为正八面体结构，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.则在如图所示的正八面体中，二面角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正三角形的边长为1，在平面内，若向量满足，则的最大值为（ ）
A. B.
C. 2D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题，共1.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 若，且，则D. 若且，则
10. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线有4条对称轴B. 的最小值是
C. 曲线围成的图形面积为D. 的最大值是1
11. 正方体的棱长为，，分别是，的中点，点在正方体表面上运动，且，记点的轨迹长度为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若平面，且点平面，则的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线，直线，若，则实数的值为________.
13. 已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则________.
14. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线，过上一点作圆切线，切点为A，则的最小值为________.
四、解答题：本大题共5小题，共7.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知空间三点，，，以向量，为一组邻边组成平行四边形，
（1）求点坐标；
（2）求平行四边形的面积.
16. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，，，分别是棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
17. 已知平面直角坐标系中，圆，点，
（1）若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程；
（2）以为直径的圆交圆于，两点，求.
18. 如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，.
（1）若，求三棱锥的外接球的表面积；
（2）若异面直线和所成角的余弦值为，点是线段（不含端点）上的一个动点，平面与平面的夹角为，求的取值范围.
19. 古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的倍的动点轨迹为二次曲线（在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线）.常数的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为，当三条直线中有相交直线时，记，，，动点到直线的距离为，且满足.阅读上述材料，完成下列问题：
（1）当，时，若，且与的距离为2，点在与之间运动时，求动点的轨迹所围成的面积.
（2）若是等腰直角三角形，是直角，点在内（包括两边）运动，试探求为何值时，的轨迹是圆？
（3）若是等腰三角形，，点在内（包括两边）任意运动，当时，问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点，使为大于1的定值.若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.