2024-2025学年山西省太原市晋源区部分学校八年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年山西省太原市晋源区部分学校八年级（上）期末数学试卷，共35页。
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图是李明绘制的他所在社区的平面示意图，若学校所在位置的坐标是（1，4），儿童公园所在位置的坐标为（﹣3，﹣2），则位于（2，0）的建筑是（ ）
A．汽车站B．医院C．李明家D．水果店
4．（3分）学校在艺术节期间，开展了丰富多彩的活动．其中，一项歌咏比赛中有22名同学入围，他们的决赛成绩如表：
则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.6分，9.7分B．9.6分，9.6分
C．9.55分，9.7分D．9.65分，9.6分
5．（3分）关于一次函数y＝﹣5x+4，下列描述不正确的是（ ）
A．图象一定经过第一、二、四象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与x轴的交点坐标是
D．图象一定平行于直线y＝﹣5x
6．（3分）下列命题中，一定是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直
C．三角形的一个外角等于两内角的和
D．三角形中至少有两个角为锐角
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，以BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，以1cm作为坐标系的单位长度，点B的坐标是（﹣15，0），则点C的坐标是（ ）
A．（4.5，0）B．（5，0）C．（5.5，0）D．（6，0）
8．（3分）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（ ）
A．公理化思想B．数形结合思想
C．换元思想D．方程思想
9．（3分）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识．采摘园推出的方案是：采摘的数量超过2kg后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量x（kg）与所付金额y（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（ ）
A．17kgB．19kgC．21kgD．23kg
10．（3分）王红与王亮设计了一个数值转换器，输入的x＞0，流程如下：
下面是他们得到的相关结论，其中是真命题的是（ ）
A．若输入x的值是8，则输出y的值是
B．若输出y的值是，则输入x的值是9
C．若输入x的值是64，则输出y的值是
D．若输入x的值是1，则输不出y的值
二、填空题（本大题共5小题.请将答案直接写在题中横线上）
11．（3分）计算的结果为 ．
12．（3分）已知点A的坐标是（3，﹣5），点B的坐标是（m，n+7），当点A和点B关于x轴对称时，则m+n的值是 ．
13．（3分）如图，AB∥DE，∠CDE＝20°，则∠B+∠C的度数是 ．
14．（3分）《九章算术》的第八章方程中有这样一道题：“今有上和七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实——秉各几何？”其译文为：“今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗；下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗，问上禾、下禾1束得果实多少？设上禾1束果实为x斗，下禾1束果实为y斗，则根据题意列方程组为 ．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝12cm，点D为CB的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边DE的点E在边AB上，AE＝7cm，连接BF，则BF的长为 cm．
三、解答题（本大题共8小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：；
（2）下面是王亮同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
Ⅰ．以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
Ⅱ．解二元一次方程组，常用消元法求解，这种消元采用的是 消元法；
Ⅲ．在解答过程中，第 步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解： ．
17．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标都是整数，请完成下列解答：
（1）直接写出点B和点C的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）点D在x轴上运动，当△DBC的周长最小时，直接写出点D的坐标．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与一次函数y＝x+4的图象交于点A，与y轴交于点B，根据图象，解决下列问题：
（1）根据图象直接写出方程组的解；
（2）直线y＝x+4与x轴交于点C，连接BC，求△ABC的面积．
19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，作∠BAG＝∠C，∠ABF是△ABC的外角，∠ABF的平分线交CA的延长线于点E．
（1）求证：BD⊥BE；
（2）若∠E＝20°，求∠AHB的度数．
20．近年来网约车十分流行，某校八年级学生对“滴滴”和“花小猪”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）求表格中a和b的值；
（2）直接写出表格中c和d的值；
（3）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
21．北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
（1）求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上运动，点C在第一象限内，过点C作CB⊥y轴于点B，点D在线段OB上运动，连接CD，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作∠BCD和∠OED的平分线交于点F．
（1）当∠BCD＝40°时，直接写出∠DEO的度数；
（2）当∠BDC＝∠CAO时，判断AC与CD的位置关系，并证明；
（3）当点D在线段OB上运动时，问∠CFE的大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围．
23．已知y关于x的一次函数y＝kx+2k+4（k≠0且k为常数），无论k为何值，函数图象必过定点F．
（1）直接写出该定点F的坐标；
（2）如图，当k＝1时，一次函数y＝kx+2k+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，过点F作直线OF，点C在线段AO上运动，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线OF于点E．
①当点C的坐标是（﹣3，0），求△FDE的面积；
②以OF为直角边作等腰直角三角形OFG，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标；
③在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与△OBF全等，直接写出点H的坐标．
2024-2025学年山西省太原市晋源区部分学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题.在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并在选择题答题区中将该项涂黑）
1．（3分）下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A．B．﹣3.14C．D．
【考点】无理数．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、﹣3.14是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】B
【分析】利用二次根式的性质化简计算判断即可．
【解答】解：A、2与，不是同类二次根式，不能合并，本选项错误不符合题意；
B、﹣＝3﹣2＝，本选项正确符合题意；
C、（﹣2）2＝28，本选项错误不符合题意；
D、＝6，本选项错误不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
3．（3分）如图是李明绘制的他所在社区的平面示意图，若学校所在位置的坐标是（1，4），儿童公园所在位置的坐标为（﹣3，﹣2），则位于（2，0）的建筑是（ ）
A．汽车站B．医院C．李明家D．水果店
【考点】坐标确定位置．
【答案】A
【分析】根据学校所在位置的坐标是（1，4），儿童公园所在位置的坐标为（﹣3，﹣2）建立平面直角坐标系，然后找出位于（2，0）的建筑即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
位于（2，0）的建筑是汽车站．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标位置的确定，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．
4．（3分）学校在艺术节期间，开展了丰富多彩的活动．其中，一项歌咏比赛中有22名同学入围，他们的决赛成绩如表：
则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.6分，9.7分B．9.6分，9.6分
C．9.55分，9.7分D．9.65分，9.6分
【考点】众数；中位数．
【答案】C
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的中位数为＝9.55（分），
众数为9.7分，
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数与众数，解题的关键是掌握中位数和众数的定义．
5．（3分）关于一次函数y＝﹣5x+4，下列描述不正确的是（ ）
A．图象一定经过第一、二、四象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与x轴的交点坐标是
D．图象一定平行于直线y＝﹣5x
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴的交点进行分析判断．
【解答】解：A、由于一次函数y＝﹣5x+4中的k＝﹣5＜0，b＝4＞0，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A正确，不符合题意；
B、由于一次函数y＝﹣5x+4中的k＝﹣5＜0，所以y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意；
C、直线y＝﹣5x+4，令y＝0可得：x＝，函数图象与x轴的交点坐标为（，0），故C错误，符合题意；
D、由于两直线的一次项系数相同，所以图象一定平行于直线y＝﹣5x，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题关键．
6．（3分）下列命题中，一定是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直
C．三角形的一个外角等于两内角的和
D．三角形中至少有两个角为锐角
【考点】命题与定理；同位角、内错角、同旁内角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质、三角形的角、垂线段的性质判定即可．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
B、过一点有且只有一条直线与这条直线垂直，原命题是假命题；
C、三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和，原命题是假命题；
D、三角形中至少有两个角为锐角，是真命题；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的角、垂线段的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，以BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，以1cm作为坐标系的单位长度，点B的坐标是（﹣15，0），则点C的坐标是（ ）
A．（4.5，0）B．（5，0）C．（5.5，0）D．（6，0）
【考点】勾股定理；坐标与图形性质．
【答案】D
【分析】由勾股定理求出OA＝8cm，再由勾股定理求出OC＝6cm，即可得出结论．
【解答】解：∵点B的坐标是（﹣15，0），
∴OB＝15，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8（cm），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC＝＝＝6（cm），
∴点C的坐标是（6，0），
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（3分）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（ ）
A．公理化思想B．数形结合思想
C．换元思想D．方程思想
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【答案】C
【分析】设x﹣1＝m，y+2＝n，则方程组可化为，结合题意即可得到，从而求出x、y的值，得出方程组的解，即可得出解题方法．
【解答】解：设x﹣1＝m，y+2＝n，
则方程组可化为，
由方程组的解是，
可得，
解得，
所以方程组的解是，
所以小明这样解方程的思想是换元思想，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解题的关键．
9．（3分）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识．采摘园推出的方案是：采摘的数量超过2kg后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量x（kg）与所付金额y（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（ ）
A．17kgB．19kgC．21kgD．23kg
【考点】一次函数的应用．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出当x＞2时y与x的函数关系式，将y＝100代入该函数，求出对应x的值即可．
【解答】解：当x＞2时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（2，15）和（5，30）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴当x＞2时，y与x的函数关系式为y＝5x+5，
当y＝100时，得5x+5＝100，
解得x＝19，
∴他所购买的数量是19kg．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
10．（3分）王红与王亮设计了一个数值转换器，输入的x＞0，流程如下：
下面是他们得到的相关结论，其中是真命题的是（ ）
A．若输入x的值是8，则输出y的值是
B．若输出y的值是，则输入x的值是9
C．若输入x的值是64，则输出y的值是
D．若输入x的值是1，则输不出y的值
【考点】命题与定理；算术平方根；立方根．
【答案】D
【分析】把x的值代入得出输出y的值，进而判断即可．
【解答】解：A、若输入x的值是8，则输出y的值是，说法错误，不是真命题；
B、若输出y的值是，则输入x的值是3，说法错误，不是真命题；
C、若输入x的值是64，则输出y的值是，说法错误，不是真命题；
D、若输入x的值是1，则输不出y的值，说法正确，是真命题；
故选：D．
【点评】此题考查命题与定理，关键是把x的值代入得出输出y的值解答．
二、填空题（本大题共5小题.请将答案直接写在题中横线上）
11．（3分）计算的结果为 8 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】8．
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：原式＝（）2﹣2××+（）2+4
＝6﹣4+2+4
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
12．（3分）已知点A的坐标是（3，﹣5），点B的坐标是（m，n+7），当点A和点B关于x轴对称时，则m+n的值是 1 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【答案】1．
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：∵点A和点B关于x轴对称，
∴m＝3，n+7﹣5＝0，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴m+n＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查关于x轴、y轴对称点的坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
13．（3分）如图，AB∥DE，∠CDE＝20°，则∠B+∠C的度数是 200° ．
【考点】平行线的性质．
【答案】200°．
【分析】过C作CK∥AB，得到CK∥DE，由平行线的性质推出∠B+∠BCK＝180°，∠DCK＝∠D＝20°，即可得到∠B+∠BCD＝200°．
【解答】解：过C作CK∥AB，
∵AB∥DE，
∴CK∥DE，
∴∠B+∠BCK＝180°，∠DCK＝∠D＝20°，
∴∠B+∠BCK+∠DCK＝180°+20°＝200°，
∴∠B+∠BCD＝200°．
故答案为：200°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠B+∠BCK＝180°，∠DCK＝∠D．
14．（3分）《九章算术》的第八章方程中有这样一道题：“今有上和七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实——秉各几何？”其译文为：“今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗；下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗，问上禾、下禾1束得果实多少？设上禾1束果实为x斗，下禾1束果实为y斗，则根据题意列方程组为 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
【答案】．
【分析】根据今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗；下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗列出关于x、y的方程组即可求解．
【解答】解：依题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝12cm，点D为CB的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边DE的点E在边AB上，AE＝7cm，连接BF，则BF的长为 cm．
【考点】等腰直角三角形；三角形中位线定理；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．
【答案】．
【分析】取AB的中点K，连接DK，证明△EDK≌△FDB（SAS），得到KE＝BF，求出KE的长即可得到BF．
【解答】解：取AB的中点K，连接DK，
∵点D为BC的中点，点K为AB的中点，
∴DK是△ABC的中位线，
∴，DK∥AC，
∵CA＝CB，点D为BC的中点，
∴，
∴DK＝BD，
∵∠ACB＝90°，DK∥AC，
∴∠KDB＝90°，
∵∠EDK+∠KDF＝∠FDB+∠KDF＝90°，
∴∠EDK＝∠FDB，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴DE＝DF，
∴△EDK≌△FDB（SAS），
∴KE＝BF，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝12cm，
∴AB＝cm，
∴AK＝cm，
∴KE＝AK﹣AE＝（cm），
∴BF＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：；
（2）下面是王亮同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
Ⅰ．以上求解步骤中，第一步的依据是 等式的性质 ；
Ⅱ．解二元一次方程组，常用消元法求解，这种消元采用的是 加减 消元法；
Ⅲ．在解答过程中，第 三 步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解： ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；实数的运算．
【答案】（1）4；（2）Ⅰ．等式的性质；Ⅱ．加减；Ⅲ．三；．
【分析】（1）按照二次根式的运算法则进行运算即可；
（2）Ⅰ．根据运算填空即可；Ⅱ．根据加减消元法填空即可；Ⅲ．先解方程组，根据解答过程填空即可．
【解答】解：（1）＝＝1+3＝4；
（2）Ⅰ．以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质；
故答案为：等式的性质；
Ⅱ．解二元一次方程组，常用消元法求解，这种消元采用的是加减消元法；
故答案为：加减；
Ⅲ．在解答过程中，第三步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解如下：
，
解：①+②，得16x+16y＝48③，
③×，得3x+3y＝9④，
①﹣④，得8y＝8．
y＝1，
将y＝1代入④，得x＝2，
所以，原方程组的解为，
故答案为：三；．
【点评】本题考查了实数的运算、解二元一次方程组，熟练掌握运算知识点是关键．
17．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标都是整数，请完成下列解答：
（1）直接写出点B和点C的坐标；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）点D在x轴上运动，当△DBC的周长最小时，直接写出点D的坐标．
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）点B（1，3），点C（5，1）；
（2）图形见解答；
（3）点D的坐标为（4，0）．
【分析】（1）根据平面直角坐标系即可写出点B和点C的坐标；
（2）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）点D在x轴上运动，当△DBC的周长最小时，直接写出点D的坐标．
【解答】解：（1）由平面直角坐标系可知：点B（1，3），点C（5，1）；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）作点C关于x轴的对称点C″，连接BC″交x轴于点D，
根据两点之间线段最短可知：DB+DC＝DB+DC″＝BC″最短，此时△DBC的周长最小，
∴点D的坐标为（4，0）．
【点评】本题是三角形综合题，考查轴对称的性质，线段的基本事实，解决本题的关键是掌握两点之间线段最短．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与一次函数y＝x+4的图象交于点A，与y轴交于点B，根据图象，解决下列问题：
（1）根据图象直接写出方程组的解；
（2）直线y＝x+4与x轴交于点C，连接BC，求△ABC的面积．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【答案】（1），
（2）．
【分析】（1）由于点A（﹣1，3）为两函数的交点坐标，所以程组的解为．
（2）把A（﹣1，3）B（0，1）代入解析式y＝kx+b，求得y＝kx+b的解析式，进而求得与x轴的交点坐标，根据S△ABC＝S△ACM﹣S△BCM，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵由于点A（﹣1，3）为两函数的交点坐标，
∴所以方程组的解为．
（2）把A（﹣1，3）B（0，1）代入解析式y＝kx+b，
∴解得k＝﹣2，b＝1，
∴y＝kx+b的解析式为y＝﹣2x+1，
设直线AB与x轴的交点为M，
∴S△ABC＝S△ACM﹣S△BCM＝CM×AN﹣CM×BO，
∴M点的坐标求得（，0），
∴S△ABC＝S△ACM﹣S△BCM＝CM×AN﹣CM×BO＝．
【点评】本题考查了两条直线相交问题：若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，作∠BAG＝∠C，∠ABF是△ABC的外角，∠ABF的平分线交CA的延长线于点E．
（1）求证：BD⊥BE；
（2）若∠E＝20°，求∠AHB的度数．
【考点】三角形的外角性质．
【答案】（1）见解析；
（2）110°．
【分析】（1）根据∠ABC的平分线交AC于点D，∠ABF的平分线交CA的延长线于点E可得出∠ABD＝∠ABC，∠ABE＝∠ABF，再由平角的定义即可得出结论；
（2）由（1）知BD⊥BE故可得出∠DBE＝90°，根据∠E＝20°可得出∠BDE＝70°，再由三角形外角的性质得出∠C+∠CBD＝∠BDE＝70°，根据∠BAG＝∠C，∠CBD＝∠DBA即可得出∠DBA+∠BAG＝70°，据此可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABC的平分线交AC于点D，∠ABF的平分线交CA的延长线于点E，
∴∠ABD＝∠ABC，∠ABE＝∠ABF，
∵∠ABC+∠ABF＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝（∠ABC+∠ABF）＝90°，即BD⊥BE；
（2）解：由（1）知BD⊥BE，∠CBD＝∠DBA，
∴∠DBE＝90°，
∵∠E＝20°，
∴∠BDE＝90°﹣20°＝70°，
∴∠C+∠CBD＝∠BDE＝70°，
∵∠BAG＝∠C，∠CBD＝∠DBA，
∴∠DBA+∠BAG＝70°，
∴∠AHB＝180°﹣70°＝110°．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
20．近年来网约车十分流行，某校八年级学生对“滴滴”和“花小猪”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）求表格中a和b的值；
（2）直接写出表格中c和d的值；
（3）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
【考点】方差；中位数；众数．
【答案】（1）6、1.2；（2）5、4；（3）选择滴滴，理由见解答．
【分析】（1）根据加权平均数与方差的定义求解即可；
（2）根据中位数与众数的定义求解即可；
（3）根据中位数与众数及方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）a＝×（4+2×5+4×6+2×7+8）＝6，
b＝×[（4﹣6）2+2×（5﹣6）2+4×（6﹣6）2+2×（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝1.2；
（2）c＝＝5（千元），d＝4；
（3）选择滴滴，
因为两家公司的月收入平均数相同，而滴滴的中位数及众数均大于花小猪，方差小于花小猪．
【点评】本题主要考查中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数、方差的定义和意义．
21．北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．
（1）求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？
【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．
【答案】（1）每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；
（2）当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元．
【分析】（1）设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据“2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进（100﹣m）件乙种航天载人飞船模型，利用总利润＝每个甲种航天载人飞船模型的销售利润×购进甲种航天载人飞船模型的数量+每个乙种航天载人飞船模型的销售利润×购进乙种航天载人飞船模型，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；
（2）设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进（100﹣m）件乙种航天载人飞船模型，
根据题意得：w＝（40﹣20）m+（45﹣30）（100﹣m），
即w＝5m+1500，
∵k＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≤40，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值为5×40+1500＝1700，此时100﹣m＝100﹣40＝60．
答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上运动，点C在第一象限内，过点C作CB⊥y轴于点B，点D在线段OB上运动，连接CD，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作∠BCD和∠OED的平分线交于点F．
（1）当∠BCD＝40°时，直接写出∠DEO的度数；
（2）当∠BDC＝∠CAO时，判断AC与CD的位置关系，并证明；
（3）当点D在线段OB上运动时，问∠CFE的大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围．
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）50°；
（2）当∠BDC＝∠CAO时，AC⊥CD，证明过程见解答；
（3）∠CFE的大小是定值45°，理由见解答．
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余即可得∠DEO的度数；
（2）证明DE∥AC，即可判断AC与CD的位置关系；
（3）过点F作FG∥BC，得BC∥OA∥CG，根据平行线的性质证明∠BCF＝∠CFG，∠OEF＝∠EFG，进而可得∠CFE的大小是定值45°．
【解答】解：（1）∵CB⊥y轴，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝40°，
∴∠BDC＝50°，
∵DE⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∴∠EDO＝90°﹣50°＝40°，
∵BO⊥x轴，
∴∠DOE＝90°，
∴∠DEO＝90°﹣40°＝50°；
（2）当∠BDC＝∠CAO时，AC⊥CD，
证明：∵∠BDC＝90°﹣∠ODE＝∠OED，∠BDC＝∠CAO，
∴∠OED＝∠CAO，
∴DE∥AC，
∵DE⊥CD，
∴AC⊥CD；
（3）当点D在线段OB上运动时，∠CFE的大小是定值45°，理由如下：
∵CF平分∠BCD，EF平分∠OED，
∴∠BCF＝∠BCD，∠OEF＝∠OED，
∵∠BDC＝90°﹣∠ODE＝∠OED，
∴∠BCD+∠OED＝90°，
如图，过点F作FG∥BC，
∵CB⊥y轴，
∴BC∥OA，
∴BC∥OA∥CG，
∴∠BCF＝∠CFG，∠OEF＝∠EFG，
∴∠CFE＝∠CFG+∠EFG＝∠BCF+∠OEF＝∠BCD+∠OED＝（∠BCD+∠OED）＝90°＝45°．
∴当点D在线段OB上运动时，∠CFE的大小是定值45°．
【点评】本题是三角形综合题，考查平行线的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练运用平行线的判定与性质．
23．已知y关于x的一次函数y＝kx+2k+4（k≠0且k为常数），无论k为何值，函数图象必过定点F．
（1）直接写出该定点F的坐标；
（2）如图，当k＝1时，一次函数y＝kx+2k+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，过点F作直线OF，点C在线段AO上运动，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线OF于点E．
①当点C的坐标是（﹣3，0），求△FDE的面积；
②以OF为直角边作等腰直角三角形OFG，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标；
③在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与△OBF全等，直接写出点H的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【答案】（1）点F（﹣2，4）；
（2）①；
②G（2，6）；
③点H的坐标（2，4）或（2，2）或（﹣2，2）．
【分析】（1）将一次函数变形y＝（x+2）k+4，根据图象过定点，得到与k值无关，求出k，进而求出定点坐标；
（2）根据已知条件得到点A坐标为（﹣6，0）；点B坐标为（0，6）．
①求得直线OF的解析式为y＝﹣2x，得到C的坐标是（﹣3，0），求得DE＝6﹣3＝3，根据三角形的面积公式得到△FDE的面积＝×3×（3﹣2）＝；
②过点F作MN⊥x轴于N，过点G作GM⊥MN轴于M，求得∠GMF＝∠FNO＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠OFG＝90°，OF＝FG，根据全等三角形的性质得到FM＝ON＝2，GM＝FN＝4，得到G（2，6）；
③当BH1＝BF时，△BFO≌△BHO，根据对称性得H1（2，4）；当OH2＝BF时，△BFO≌△OHB，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质得到结论．
【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2k+4（k≠0且k为常数），
∴y＝（x+2）k+4，
∵不论k为何值，上式都成立，
∴x+2＝0，y＝4，
∴x＝﹣2，y＝4．
∴无论k 为何值，函数图象必过定点F（﹣2，4）；
（2）k＝1时，一次函数y＝kx+2k+4为y＝x+6，
当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x+6＝0，x＝﹣6，
∴点A坐标为（﹣6，0）；点B坐标为（0，6）．
①∵F（﹣2，4），
∴直线OF的解析式为y＝﹣2x，
∴C的坐标是（﹣3，0），
∴当x＝﹣3时，y＝﹣2x＝6，y＝x+6＝3，
∴DE＝6﹣3＝3，
∴△FDE的面积＝×3×（3﹣2）＝；
②过点F作MN⊥x轴于N，过点G作GM⊥MN轴于M，
∴∠GMF＝∠FNO＝90°，
∵△OFG是等腰直角三角形，
∴∠OFG＝90°，OF＝FG，
∴∠FGM＝∠OFN＝90°﹣∠GFM，
∴△FGM≌OFN（AAS），
∴FM＝ON＝2，GM＝FN＝4，
∴GT＝4﹣2＝2，MN＝4+2＝6，
∴G（2，6）；
③如图，∵OB是公共边，故有两种情况：
当BH1＝BF时，△BFO≌△BHO，
根据对称性得H1（2，4）；
当OH2＝BF时，△BFO≌△OHB，
∴四边形BFOH2是平行四边形，
∵B（0，6），
∴OB中点的坐标为（0，3），
∵F（﹣2，4），
∴由中点坐标公式得H2（2，2），
当OH3＝OH2＝BF时，H3（﹣2，2）．
综上所述，在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与△OBF全等，点H的坐标（2，4）或（2，2）或（﹣2，2）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求互相的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
8．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
9．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
10．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
11．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
12．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
13．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
14．一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
15．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
16．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
17．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
18．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
19．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
20．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
21．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
22．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
26．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
27．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查．
28．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
29．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
30．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
31．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
32．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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成绩（分）
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
人数（人）
2
4
5
3
6
1
1
解方程组：
解：①+②，得16x+16y＝48．③……第一步
③×，得3x+3y＝9．④……第二步
①﹣④，得8y＝22．……第三步
.……第四步
将代入④，得.……第五步
所以，原方程组的解为……第六步
平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
方差
滴滴
a
6
6
b
花小猪
6
c
d
6.4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
C
D
D
C
B
D
成绩（分）
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
人数（人）
2
4
5
3
6
1
1
解方程组：
解：①+②，得16x+16y＝48．③……第一步
③×，得3x+3y＝9．④……第二步
①﹣④，得8y＝22．……第三步
.……第四步
将代入④，得.……第五步
所以，原方程组的解为……第六步
平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
方差
滴滴
a
6
6
b
花小猪
6
c
d
6.4