2024-2025学年广东省东莞市高二上册12月联合数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市高二上册12月联合数学检测试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A．B．
C．D．
2．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．2C．D．1
4．若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则（ ）
A．B．1C．D．
5．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点且与长轴垂直的直线交C于A，B两点.若为直角三角形，则C的焦距为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆与圆的公共弦与直线垂直，且垂足为，则圆N的半径为（ ）
A．B．C．2D．
7．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P是C上一点，直线PA，PB的斜率分别为和3，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点的直线l的方程为，经过点P的平面的方程为，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知曲线，下列结论正确的有（ ）
A．若，则是椭圆B．若是圆，则
C．若，则是双曲线D．若，则是两条平行于轴的直线
10．在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．四边形为正方形
B．四边形的面积为
C．在上的投影向量的坐标为
D．点P到平面的距离为
11．已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（ ）
A．m的取值范围为B．m的取值范围为
C．n的取值范围为D．n的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则m的值为 .
13．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E满足，点F满足，若P，A，C，F四点共面，则 .
14．已知P是椭圆位于第一象限上的一点，，分别是C的左、右焦点，，点Q在的平分线上，O为坐标原点，，且，则C的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆M经过点，，.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线l经过点，且l与圆M相交于E，F两点，求.
16．如图，在正方体中，分别为和的中点.
(1)证明：直线平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．一束光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M.
(1)求光线从点P到点M经过的路程；
(2)求反射光线所在直线的方程.
18．已知等轴双曲线C的焦点在x轴上，且实轴长为.直线与C交于A，B两点.
(1)求C的方程；
(2)若点为线段AB的中点，求k的值；
(3)若，且A，B两点都位于y轴的右侧，求k的取值范围.
19．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式：，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆.
(2)在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换得到曲线C.
（i）求曲线C的方程；
（ii）已知曲线C与x轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线于点M，直线BP交直线于点N，证明以MN为直径的圆G与x轴交于定点H，并求出点H的坐标.
答案
1．【正确答案】C
【详解】对于A，直线的斜率，则倾斜角；
对于B，直线的倾斜角；
对于C，直线的斜率，则倾斜角；
对于D，直线的倾斜角，
所以直线的倾斜角最大.
故选C.
2．【正确答案】B
【详解】双曲线的焦点在轴上，，，所以渐近线方程为.
故选B.
3．【正确答案】A
【详解】因为，所以，则，，所以.
故选A.
4．【正确答案】C
【详解】圆化为标准方程为，
则圆心为，半径，
由题意得，解得.
故选C.
5．【正确答案】A
【详解】由题可求得，则.
根据椭圆对称性，可知为等腰直角三角形，
所以，则，解得，
所以椭圆C的焦距为.
故选A.
6．【正确答案】B
【详解】因为圆与圆，
所以它们的公共弦方程为.
因为公共弦与直线垂直，所以，解得.
将点的坐标代入，可得，
圆可化为，故圆N的半径为.
故选B.
7．【正确答案】D
【详解】设，则，因为，，所以，则C的离心率.
故选D.
8．【正确答案】B
【详解】经过点的直线的方程为，即，
则直线的一个方向向量为.
又经过点的平面的方程为，
即，所以的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，则.
故选B.
9．【正确答案】CD
【详解】对于A选项，若且，则是椭圆；
对于B选项，则是圆，则；
对于C选项，若，则是双曲线；
对于D选项，若，方程为，则是两条平行于轴的直线.
故选CD.
10．【正确答案】BCD
【详解】对于A，，
则，
所以，与不垂直，
所以四边形为平行四边形，故A错误；
对于B，，所以，
所以四边形的面积为，故B正确；
对于C，，
则在上的投影向量为，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，
则有，令x=1，则，
所以点到平面的距离为，故D正确.
故选BCD.
11．【正确答案】BC
【详解】由曲线，得，则（），
所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（x轴及以上部分）.
若的值与x，y无关，
则该曲线在两平行直线：与：之间.
当与该曲线相切时，，解得，
则m的取值范围为.
当经过点时，，解得，则n的取值范围为.
故选：BC
12．【正确答案】或
【详解】令，则，令，则，
则，即，解得或.
故或.
13．【正确答案】
【详解】连接BD，由题可知.
又，所以，且P，A，C，F四点共面，
所以，解得.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设，，延长OQ交于点A.
由题意知，O为的中点，故A为的中点.
由，，得是等腰直角三角形，
则化简得即
代入得，即.
因为，所以，所以，所以.
故答案为.
15．【正确答案】(1);
(2)
【详解】（1）设圆M的标准方程为，
将点，，代入方程，可得
解得，，，所以圆M的标准方程为.
（2）直线l的方程为，即.
圆心到l的距离，所以.
16．【正确答案】(1)证明见解析;
(2)
【详解】（1）如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，所以，
又平面，所以直线平面；
（2）A0,0,0，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值.
17．【正确答案】(1)4;(2)或
【详解】（1）设点关于直线的对称点为，
则，解得，即.
又圆心，所以，
则光线从点P到点M经过的路程为.
（2）由题可知反射光线经过点，易知反射光线的斜率存在，
故设反射光线为，即.
又圆心，所以，解得或.
故反射光线所在直线的方程为或.
18．【正确答案】(1);(2)3;(3)
【详解】（1）由题可设，
因为实轴长为，所以，即.
故C的方程为.
（2）设，
则两式相减得，整理得.
因为线段AB的中点坐标为，所以，，
所以直线AB的斜率.
（3）由可得.
因为直线与C的右支交于不同的两点，所以，
故，即k的取值范围为.
19．【正确答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析，或
【详解】（1）将伸缩变换代入，
得到，则.
将上式与比较，得，，，所以，
故所求的伸缩变换为
（2）（i）由可得代入椭圆可得，
则，所以曲线C的方程为.
（ii）不妨令点，点.设点，
则，直线AP的方程为，所以直线AP与直线的交点为.
直线BP的方程为，所以直线BP与直线的交点为.
设点，则，.
因为以MN为直径的圆G与x轴交于定点H，
所以，
解得，所以定点H的坐标为或.