2024-2025学年广东省东莞市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点为椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．1B．5C．7D．13
3．已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．圆心为且过原点的圆的一般方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最大值2D．的最小值
10．已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．，曲线都不表示圆
B．，曲线表示焦点在轴上的椭圆
C．，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线的焦距为定值
11．如图，棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（ ）
A．若点P满足，则点到平面的距离等于
B．若点满足，则的最小值是
C．若点满足，则的最小值是
D．若点满足，则的最小值是
三、填空题（本大题共3小题）
12．抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为 ．
13．双曲线的两条渐近线的方程为 .
14．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球，的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知.
(1)求直线BC的方程;
(2)求的外接圆的方程.
16．已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，点E在线段AB上，且.
(1)求证：平面PBD；
(2)求二面角的余弦值.
18．已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线C的左右焦点分别为，，直线l过且与双曲线C相交于A，B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长；
(3)若的面积是12，求直线AB的方程.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．
答案
1．【正确答案】A
【详解】直线的斜率，
所以直线的倾斜角为.
故选：A
2．【正确答案】B
【详解】因为椭圆方程为，
所以，又
所以，
故，
故选.
3．【正确答案】C
【详解】解：由题意得．
解得或．，．
故选：C.
4．【正确答案】B
【详解】由题意知，在圆上，圆心为，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为，
则一般方程为：，
故选：B.
5．【正确答案】A
【详解】由题意可得：，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
6．【正确答案】A
【详解】由题意知，故抛物线的标准方程为：，
所以抛物线的焦点坐标为0,1.
故选.
7．【正确答案】A
【详解】设，则，因在曲线上，
故即，
故选：A.
8．【正确答案】C
【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，即可分析出正确答案.
【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，
对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，
则当无法推出，故D错误.
故选C．
9．【正确答案】AB
【详解】A.若，则，得，故A正确；
B.若，则，即，得
，解得：，故B正确；
CD.，当时，的最小值2，故CD错误；
故选：AB
10．【正确答案】ACD
【详解】解：若方程表示圆，则，无解，
所以，曲线都不表示圆，故A正确；
若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，无解，
所以不存在m，使得曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B错误；
若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，无解，
所以，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
D. 当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则，故曲线的焦距为定值，故D正确，
故选：ACD
11．【正确答案】BD
【详解】对于A，如图，根据题意可得，点在线段上，平面平面，
所以点到平面的距离即是平面与平面的距离，
由正方体的性质可知，垂直平面和平面，并被这两个平面三等分，
所求距离为，故A错误；
对于B，如图，将对角面绕翻折与平面重合，此时中，，，故B正确；
对于C，由得，平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆，空间中点的轨迹则是球面，
球心在直线上，，半径为，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，因为，所在平面上点的轨迹是椭圆，
在空间中点的轨迹则是椭球，椭圆中心为的中点，焦距为，长轴长为2，
短轴长也为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：BD．
12．【正确答案】
【详解】由题意，解得，所以抛物线的准线为，
故所求为.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】对于双曲线，，，
所以，双曲线的渐近线方程为，即.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】如图，A、B为圆锥的一条母线与球的切点，
连接、，则，
连接，过作交于点D，则
在直角中，，
所以，解得，
故
在和中，，，为公共边，
所以，有.同理可得，
由椭圆的定义，得长轴+.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）直线BC的方程为，化简，得.
（2）设外接圆的方程为，
将A，B，C的坐标代入，得,
即,
解得
故所求圆的方程为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）
直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据线面垂直的性质可得，利用相似三角形的判定与性质可得
，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；
(2)根据题意和线面垂直的性质可得两两垂直，建立如图空间直角坐标系
，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面和平面的法向量，利用空间向量的数量积表示即可求出结果.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以.
因为，，
所以，.
所以.
所以，
所以.
又因为，，
所以平面.
（2）因为平面，平面，平面，
所以，.
又因为是矩形，，
所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，则
即
令，则，.
于是.
因为平面，
取平面的法向量为.
则.
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值是.
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)或.
【详解】（1）双曲线有相同的渐近线为，
双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，
所以，又因为双曲线C与椭圆有相同的焦点，
所以，所以，又因为，
所以，所以双曲线C的方程为.
（2）,直线l过且斜率为1，设直线l的方程为：，
设，
联立，消去得，
由根与系数关系可得，
所以.
（3）若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛盾，
所以直线的斜率不为0，设，，
联立，消去得，应满足，
由根与系数关系可得，
，
,则，
则，解得：或（舍去），则，
直线AB的方程为.
则直线AB的方程为：或.

19．【正确答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证；
（2）利用等体积法求出点到平面的距离；
（3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值.
【详解】（1）连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且，
所以，为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，又平面，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，,
又，，，所以，
所以，
又，所以，
设点到平面的距离为，则，即，
解得，即点到平面的距离.
（3）连接，，则且，
又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以，
取的中点，连接，则且，
又为中点，所以，又，所以，
由平面，平面，所以，，
又，平面，所以平面，则平面，
又，平面，所以平面，
连接，，则为直线与平面所成的角，即，
所以，
为直线与平面所成的角，即，
所以，
所以，
又，设，，
所以，
所以，
令，则，
所以
，
因为，所以，
所以当时取得最大值，且最大值为，
所以.