2024-2025学年北京市平谷五中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市平谷五中高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x>1}，B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=( )
A. {−2,2}B. {−1,0,1}C. {2}D. {−2,−1,1,2}
2.已知a=(0,−1,1)，b=(1,2,−1)，则a与b的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°
3.下列命题中，正确的是( )
A. 若a≠b，则|a|≠|b|B. 若|a|>|b|，则a>b
C. 若a=b，则|a|=|b|D. 若|a|=|b|，则a=b
4.从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是( )
A. 12B. 13C. 23D. 34
5.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上.某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为( )
A. 800B. 900C. 1000D. 1100
6.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是( )
A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n B. 若m⊥α，n⊥m，则n//α
C. 若α⊥β，α∩β=n，n⊥m，则m⊥β D. 若α∩β=n，m⊂α，m//β，则m//n
7.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AB，C1D1上的动点，那么三棱锥F−CDE的体积为( )
A. 16
B. 13
C. 12
D. 23
9.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2，M，N分别为棱AD，AC的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为( )
A. 56
B. 116
C. 216
D. 156
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
11.函数g(x)= x+3的定义域为______．
12.复数z=1−2i(其中i为虚数单位)的虚部为______．
13.已知空间向量a=(2,−1,3)，b=(−4,2,x)，且a与b是共线向量，则实数x的值为______．
14.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为______．
15.若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，m⊂α，n⊂β.则“α//β”是“m//n”的____条件．
16.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是______．
17.已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为______．
18.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段A1E的中点.给出下列四个命题：
①三棱锥A−A1BE的体积为12；
②AB1⊥A1E；
③△ADF的面积为定值；
④四棱锥F−ABB1A1是正四棱锥．
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；
(Ⅱ)求证：PB//平面AEC．
20.(本小题12分)
如图，三棱锥P−ABC中，AB=BC=CA=PB=1，平面PAB⊥平面ABC，点E是棱PB的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求平面EAC与平面ACB的夹角的余弦值．
(2)求点E到面ACP的距离．
条件①：PC= 62；
条件②：直线PC与平面PAB所成角为45°．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是直角梯形，AD⊥CD，AD//BC，PD⊥平面ABCD，E是PB的中点，PC与平面ADE交于点F，BC=DC=PD=2AD=2，
(Ⅰ)求证：F是PC的中点；
(Ⅱ)若M为棱PD上一点，且直线PA与平面EFM所成的角的正弦值为45，求PMPD的值．
22.(本小题12分)
某球员在8场篮球比赛的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立)：
(Ⅰ)从上述比赛中随机选择一场，求该球员在本场比赛中投篮命中率超过0.5的概率；
(Ⅱ)从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求该球员的投篮命中率一场超过0.5，另一场不超过0.5的概率；
(Ⅲ)记x−是表中8场命中率的平均数，x1−是表中4个主场命中率的平均数，x1−是表中4个客场命中率的平均数，比较x−,x1−,x2−的大小.(只需写出结论)
23.(本小题12分)
手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．
(1)求a的值；
(2)从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.A
5.B
6.D
7.C
8.A
9.B
10.D
11.[−3,+∞)
12.−2
13.−6
14.163
15.既不充分也不必要
16.140
17.2027
18.②③④
19.证明：(Ⅰ)因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，而PA∩AC=A，
可证得：BD⊥平面PAC；
(Ⅱ)设AC∩BD=O，连接OE，因为底面ABCD是菱形，
所以O为BD的中点，E为PD的中点，所以OE为△PBD的中位线，
所以OE/​/PB，
又因为OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
可证得：PB/​/平面AEC．
20.解：(1)取AB中点为D，连接CD，PD，
因为AB=BC=CA，所以△ABC是等边三角形，则CD⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CD⊂平面ABC，
所以CD⊥平面PAB，因为PD⊂平面PAB，则CD⊥PD．
若选条件①：因为PC= 62，CD= 32，结合CD⊥PD，可得PD= 32．
又因为BD=12,PB=1，则△PBD是以∠PDB为90，∠PBD为60的直角三角形．
若选条件②：因为CD⊥平面PAB，所以∠CPD即为直线PC与平面PAB所成角，
因为∠CPD=45°，则△CPD为等腰直角三角形，因为CD= 32，可得PD= 32，
又因为BD=12,PB=1，则△PBD是以∠PDB为90，∠PBD为60的直角三角形．
即PD⊥AB，PD⊥CD，△PAB是等边三角形．
如图延长CD，建立以D为原点的空间直角坐标系．

则A(12,0,0),B(−12,0,0),C(0,− 32,0),P(0,0, 32),E(−14,0, 34)．
所以AC=(−12,− 32,0),AE=(−34,0, 34)，
设平面EAC法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⊥AC，n1⊥AE，
所以n1⋅AC=−12x1− 32y1=0n1⋅AE=−34x1+ 34z1=0，取n1=( 3,−1,3)．
由题知，平面ABC的一个法向量为n2=(0,0,1)，
设平面EAC与平面ACB的夹角为θ，
则csθ=|n1⋅n2|n1|⋅|n2||=|3 13|=3 1313；
(2)由(1)可得AC=(−12,− 32,0),AP=(−12,0, 32)，
设平面PAC法向量为n3=(x3,y3,z3)，则n3⊥AC，n3⊥AP，
所以n3⋅AC=−12x3− 32y3=0n3⋅AP=−12x3+ 32z3=0，取n3=( 3,−1,1)，
又AE=(−34,0, 34)，
则求点E到面ACP的距离d=|AE⋅n3||n3|=|− 32| 5= 1510．
21.解：(Ⅰ)证明：∵AD/​/BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AD/​/平面PBC，
∵AD⊂平面ADE，平面ADE∩平面PBC=EF，
∴AD/​/EF，∴BC/​/EF，
∵点E是PB的中点，∴点F是PC的中点．
(Ⅱ)∵PD⊥平面ABCD，AD，DC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，由AD⊥CD，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则A(1,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，F(0,1,1)，
EF=(−1,0,0)，PD=(0,0,−2)，EP=(−1,−1,1)，PA=(1,0,−2)，
设PM=λPD=(0,0,−2λ)，0≤λ≤1，
∴EM=EP+PM=(−1,−1,1−2λ)，
设平面EFM的一个法向量n=(x,y,z)，
则n⋅EF=−x=0n⋅EM=−x−y+(1−2λ)z=0，取z=1，得n=(0,1−2λ,1)，
∴cs=n⋅PA|n|⋅|PA|=−2 5⋅ (1−2λ)2+1，
设直线PA与平面EFM所成角为θ，
则sinθ=|cs|=2 5⋅ (1−2λ)2+1=45，
解得λ=14或λ=34，
∴PMPD的值为14或34．
22.解：(Ⅰ)有题意可知在8场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的有4场，
分别是主场1，主场2，主场4，客场4．
所以在随机选择的一场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的概率为48=0.5；
(Ⅱ)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”，
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5”．
则C=AB−+A−B,A,B相互独立．
由题意可知P(A)=34，P(A−)=14，P(B)=14，P(B−)=34，
故P(C)=34×34+14×14=58；
(Ⅲ)由于主场命中的次数更多，所以x−1>x−>x−2．
23.解：(1)现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，
依题意，x−B=120+−2+3+7+0+(a−120)5，x−A=120+0+5+2+4+45=123(ℎ)，
由x−A=x−B，解得a=127，所以a的值127．
(2)设A型号手机为A1，A2，A3，A4，A5，B型号手机为B1，B2，B3，B4，B5，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C，
从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有25种，
抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：A1B1，A1B4，A3B1，A3B4，共4种，
因此P(C−)=425，P(C)=1−P(C−)=2125，
所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125． 场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
14
客场1
18
6
主场2
15
12
客场2
13
5
主场3
22
8
客场3
21
7
主场4
23
17
客场4
18
15
手机编号
1
2
3
4
5
A型待机时间(ℎ)
120
125
122
124
124
B型待机时间(ℎ)
118
123
127
120
a