湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试卷

这是一份湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列实数中，为有理数的是（ ）
A．B．C．D．1
2．2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为．若点M的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．−3,2C．−2,3D．2,3
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．一个小组7名同学的身高（单位：）分别为：175，160，158，155，168，151，170．这组数据的中位数是（ ）
A．151B．155C．158D．160
6．下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
7．如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A．开口向上B．经过原点
C．对称轴是直线D．当时，y随x的增大而减小
9．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，在中，，则的长是 ．
12．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB= 度．
13．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 ．
14．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π）
15．如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形的边长缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标为 ．
16．如图，点M是函数与的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）

20．为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
请根据所给信息，解答以下问题：
(1)表中a=______，b=______；
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．
21．如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值．
24．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”．
(1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标；
(2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标；
(3)已知点是抛物线上的“创新点”，若，且，求的取值范围．
25．抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P是位于B、C之间的抛物线上动点（包括B、C两点），点E是的外接圆圆心．
(1)如图1，若动点P为抛物线的顶点，求圆心E的坐标；
(2)如图2，作轴于点H，延长交于点Q，连接．
①求证：的值为定值．
②如图3，连接，记四边形，的面积依次为S，，若满足，求此时点P的坐标．
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x＜70
17
0.17
B
70≤x＜80
30
a
C
80≤x＜90
b
0.45
D
90≤x＜100
8
0.08
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了实数．根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：，，是无理数，1是有理数．
故选：D．
2．B
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了关于轴对称的点的性质，熟练掌握关于轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标的特点，即可得出答案．
【详解】解：点M的坐标为，则点的坐标为．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】解：由于此数据按照从小到大的顺序排列为151，155，158，160，168，170，175．
发现160处在第4位．所以这组数据的中位数是160，
故选：D．
【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
6．C
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
7．C
【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查二次函数的图象性质，根据二次函数的图象性质逐一判断即可．
【详解】解：A选项：∵，
∴抛物线开口向下．故该选项错误；
B选项：把点代入函数中，得左边，右边，
左边右边，
∴抛物线不经过原点．故该选项错误；
C选项：抛物线的对称轴为．故该选项错误．
D选项：抛物线的开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当x>2时，y随x的增大而减小．故该选项正确．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴直线经过圆心，设圆心为，连接．
中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故轮子的半径为，
故选：C．
10．C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故选：C
11．6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理是解题的关键．
如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长．
【详解】解：如图，作于，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：6．
12．50
【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出求出∠OCB的度数.
【详解】解：∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°-40°=50°，
故答案为50．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．
13．2
【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键．
14．2π．
【详解】∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，
∴扇形的弧长==2π．
故答案是：2π
15．
【分析】本题考查了位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，根据位似变换的性质进行计算即可．
【详解】解：点的坐标为，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，且点的坐标是，
∴位似图形对应点的坐标的比等于12，
点的坐标是，即，
故答案为：．
16．
【分析】根据题意，设M点的坐标为（x，3x），由坐标系中两点之间的距离得出x=2，即可确定点M的坐标，然后代入反比例函数即可确定k的值．
【详解】解：根据题意，设M点的坐标为（x，3x），
根据勾股定理可得，
解得x=2，
点M（2，）
将点M代入反比例函数可得k=，
故答案为．
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合，勾股定理等，理解题意，掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键．
17．6
【分析】本题考查了零指数幂，负数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质．根据零指数幂的运算法则，负数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数，绝对值的性质即可解答．
【详解】解：
．
18．，6
【分析】本题考查分式的化简求值．先对所求式子进行化简，然后根据，可以求得化简后式子的值，本题得以解决．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
19．该建筑物的高度约为米
【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度．
【详解】解：由题意可知，，，，
，
，
米，
在中，米，
米，
答：该建筑物BC的高度约为米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．
20．（1）0.3 ，45；（2）108°；（3）．
【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；
（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；
（3）画树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
【详解】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人）．
故答案为0.3，45；
（2）360°×0.3=108°．
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°．
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（1）证明见解析；（2）9．
【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据相似三角形的性质即可得．
【详解】证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
，，
，
解得或（不符题意，舍去），
则的长为9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
22．(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为
(2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值
【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为，
由图象可知，函数经过，，
可得，解得，
这段时间内y与x之间的函数解析式为；
（2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，
，，
即，解得，
设获得利润为，即，
对称轴，
，即二次函数开口向下，的取值范围是，
在范围内，随着的增大而增大，
即当销售单价时，获得利润有最大值，
最大利润元．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．
【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．
【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴DC2=AD•DE
∵AC=2DE，
∴设DE=x，则AC=2x，
则AC2﹣AD2=AD•DE，
期（2x）2﹣AD2=AD•x，
整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，
解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），
则DC=，
故tan∠ABD=tan∠ACD=．
24．(1)
(2)或或
(3)
【分析】（1）设正比例函数图象上“创新点”的坐标为，得到，据此计算即可求解；
（2）设点A的坐标为，根据题意得，由题意，解得，得到反比例函数的解析式为，点A的坐标为，设点是反比例函数图象上的“创新点”，求得点B，C的坐标分别为，，由面积与的面积相等，得到，分两种情况讨论即可求解；
（3）利用根与系数的关系求得，根据题意求得，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设正比例函数图象上“创新点”的坐标为，
根据题意得，
解得，则，
∴正比例函数图象上“创新点”的坐标为；
（2）解：设点A的坐标为，
根据题意得，整理得，
∵点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，，
∴点A的坐标为，
设点是反比例函数图象上的“创新点”，
根据题意得，
消去并整理得，
解得，，
∴，，
∴点B，C的坐标分别为，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵面积与的面积相等，
∴，
可设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
在中，令，则，
将直线向下平移4个单位的直线，
直线与双曲线的交点为，
此时也满足面积与的面积相等，
联立得，
解得或，
将或分别代入，
得或，
∴或，
综上，点M的坐标为或或；
（3）解：∵点是抛物线上的“创新点”，
则即，
则即，
∴是方程的两个根，
∴，
∴，，
∴
，
∵，且，
∴，，，
由，得；
由，得；
∴，
设函数，
∴当时，
函数的值随自变量的增大而减少，
当，；
当，；
∴，
∴．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
25．(1)
(2)①的值为定值2，理由见解析；②
【分析】（1）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，则点P的坐标可得，连接，设抛物线的对称轴交x轴于点F，设的半径为r，则，，利用勾股定理列出方程求得r值，则可求，结论可得；
（2）设，则，，，，利用点的坐标表示出线段，的长度，证明，利用三角形相似的性质即可解答；②证明和，得到，进而求解．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，
当P为抛物线的顶点时，，
连接，设抛物线的对称轴交x轴于点F，如图，
∵，
，．
，
，
．
设的半径为r,则，
，
，
，
解得：，
，
；
（2）①证明：如图，连接
∵点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），
∴设，则，，
，，
∵，，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴的值为定值2；
②解：作于点F，连接，
设点，则点，
则，，
设，
∵，且，
即，
则，
∵，
则，则，
，
，
∵圆E为为外接圆，
∵，
∴，
∴，则①，
∵，则②，
由①②得：，
∵，则，
则，，
∴点．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，圆的有关性质，勾股定理，相交弦定理，面积的计算，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
B
D
C
C
D
C
C