辽宁省大连市三十九中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份辽宁省大连市三十九中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y=B．y=﹣C．y=x2D．y=
2．一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的交点是，这个二次函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
3．同时抛两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．下列事件中，是随机事件的有（ ）
（1）通常加热到时，水沸腾；
（2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；
（3）掷一次骰子，向上一面的点数是6；
（4）任意画一个三角形，其内角和是；
（5）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
（6）射击运动员射击一次，命中靶心．
A．（1）（2）（3）（5）B．（3）（4）（5）（6）
C．（2）（3）（5）（6）D．（1）（3）（4）（5）
7．身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（ ）
A．185cmB．180cmC．170cmD．160cm
8．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一 定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250 元，衬杉的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．等腰三角形的底角是，腰长为，它的周长为（ ）
A．B．C．D．
10．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120°B．180°C．240°D．300°
二、填空题
11．在单词（数学）中任意选择-一个字母，选中字母“”的概率为 ．
12．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ．
13．在直角中，，将绕点逆时针旋转得到，则 度．
14．计算 ．
15．如图，在⊙中，，则 °．
三、解答题
16．解方程：
(1)
(2)
17．中山公园原址为一个叫刘家屯的小山头，1898年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地．日占时期改为圣德公园，多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报．大连解放后的1945年11月，市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，历经多年修建了5个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处．某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到此地，为测量敬闲亭设计了如下方案，请根据以下材料，完成项目任务．
18．如图，已知抛物线与x轴交于点A−4,0，，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求的面积；
19．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)分别以点，A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线，交轴于点，求线段的长．
20．如图，交于点是半径，且于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
21．在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求出的取值范围；
22．如图1，矩形，动点E从B点出发匀速沿着边向A点运动，到达A点停止运动，另一动点F同时从B点出发以的速度沿着边运动，到达A点停止运动．设E点运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象如图2所示．
(1) ， ，点E的运动速度是 ；
(2)求y关于x的函数关系式及其自变量取值范围；
(3)当时，请直接写出x的取值．
23．如图，在和中，，，点在边上，
的值为 ；
若，求的值；
若在的基础上，与的交点为，直接写出的值 ；
如图，，，，，，求的长．
项目
测量敬闲亭的高度及底面圆的半径
测量工具
测角仪、皮尺等
测量
说明：点H为亭底面圆圆心，在A、C处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离．点B、D、M、H在同一条直线上．
参考数据
，，，，，最后结果保留．
任务1
求敬闲亭的高度的长．
任务2
求敬闲亭底面圆的半径的长．
参考答案：
1．B
【分析】此题应根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是（k≠0）．
【详解】A、该函数属于正比例函数，故本选项错误；
B、该函数属于反比例函数，故本选项正确；
C、该函数属于二次函数，故本选项错误；
D、该函数是y与x+1成反比例函数关系，故本选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，k≠0）或y=kx﹣1（k为常数，k≠0）．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标是，再结合与轴的交点是，即可逐项分析作答．
【详解】解：A、因为，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的；
B、，所以顶点坐标是；，当时，，与轴的交点是， 该选项是正确的；
C、的顶点坐标是；当时，，与轴的交点是， 该选项是错误的；
D、因为，所以顶点坐标是；当时，，与轴的交点是，该选项是错误的；
故选：B
3．B
【分析】列举出所有情况，看一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：画树形图得：
由树形图可知共4种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
4．A
【分析】依题意，作出图形，设，则，进而求得，根据正切的定义求得即可．
【详解】如图，在中，，
，
设，则，
由勾股定理可得，
．
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数的定义，求得是解题的关键．
5．D
【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵分别与相切于A、B两点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了随机事件，必然事件和不可能事件．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：（1）通常加热到时，水沸腾，是必然事件；
（2）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；
（3）掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件；
（4）任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件；
（5）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
（6）射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件．
综上，是随机事件的有（2）（3）（5）（6）．
故选：C．
7．B
【详解】由题意得：设小雪的身高为 ，
则 ，
解得： ，
故选B.
8．D
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可.
【详解】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40-x）=1250，
故选D.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程
9．A
【分析】过顶点作于点，由垂线的性质可得，由三线合一可得，即，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，根据的周长即可求出答案．
【详解】解：如图，过顶点作于点，
，
，，
，即：，
，
，
，
，
的周长，
故选：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，等式的性质，含度角的直角三角形，勾股定理，二次根式的加减运算，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
10．B
【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选B．
考点：圆锥的计算
11．
【分析】由题意可知总共有11个字母，求出字母的个数，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：共有个字母，其中有个，
所以选中字母“”的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，．
根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将原式变形为，再将与的值代入求值即可．
【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系可得：
，
，
，
故答案为：．
13．70
【分析】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角是解题的关键．由旋转知，再进行角度和差计算即可．
【详解】解：如图：
由题意得，
∴，
故答案为：70．
14．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
15．30
【分析】根据得到AB=AC，求出∠B，根据三角形的内角和求出答案.
【详解】∵，
∴AB=AC，
∴∠B=，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-2∠C=30°，
故答案为：30.
【点睛】此题考查圆的弧、弦性质定理，等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的内角和定理.
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）将方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）将方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
整理，得：，
分解因式，得：，
故：或，
解得：，；
（2）解：，
整理，得：，
分解因式，得：，
故：或，
解得：，．
17．任务1：敬闲亭的高度的长约为；任务2：敬闲亭底面圆的半径的长约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
任务1：延长交于点F，根据题意可得：，，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答；
任务2：设与相交于点S，根据题意可得：，，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：任务1：延长交于点F，
由题意得：，，，
设，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴敬闲亭的高度的长约为；
任务2：如图：设与相交于点S，
由题意得：，，
∴，
∴敬闲亭底面圆的半径的长约为．
18．(1)
(2)6
【分析】本题属于二次函数的综合题，主要考查了求函数解析式、二次函数的面积问题等知识点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）将A，B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求得a、c的值即可解答；
（2）利用抛物线解析式求得点C坐标，利用点的坐标表示出线段的长度，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）
解：∵抛物线与轴交于点A−4,0，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
∴，
∴，
∵A−4,0，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为6．
19．(1)
(2)的长为
【分析】（1）由题意可得，则点A的坐标为，代入，求出的值即可．
（2）连接，过点A作于点，由作图痕迹可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，设线段的长为，则，，由勾股定理得，即，求出的值即可．
【详解】（1）解：轴，
，
∵，，
∴，
，
点A的坐标为，
将代入，
得，
反比例函数的表达式为．
（2）解：连接，过点A作于点，如图所示：
由作图痕迹可知，直线为线段的垂直平分线，
，
设线段的长为，则，
点A的坐标为，
，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
线段的长为．
【点睛】本题考查作图——基本作图、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、线段垂直平分线的性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．(1)见解析
(2)的半径是
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答．
（2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵
∴是等腰三角形，
∵于点F，
∴
又∵是的半径，
∴，
∴
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为的弦，
∴
∴
设的半径是r，
∴，
解得，
∴的半径是
21．或或
【分析】先求抛物线与轴的交点坐标，可得，令，则，解方程即可求得抛物线与轴的交点，，然后分两种情况讨论：当时；当时，又分两种情况讨论：）当抛物线的顶点在线段上时；）当抛物线与线段相交时；分别建立关于的方程或不等式，解方程或不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：，
令，则，
解得：，，
抛物线与轴交于点，，
分两种情况讨论：
当时，
如图，
当抛物线与线段只有一个交点时，则当时，，
解得：；
当时，
分两种情况讨论：
）当抛物线的顶点在线段上时，
，
抛物线的顶点坐标为，
如图，
当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个交点，
此时，，
解得：；
）当抛物线与线段相交时，
如图，
当抛物线与线段只有一个交点时，则当时，，
解得：；
综上，的取值范围为：或或．
【点睛】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，从函数的图象获取信息，二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式，把化成顶点式，的图象与性质，解一元一次方程等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键．
22．(1)3，3，1
(2)；
(3)当∠时，x的值是或．
【分析】本题考查动点问题的函数图象、求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的图形，利用数形结合的思想进行解答．
（1）根据图2可知，点F由B到C运动时间为，由C到D运动时间为，从而可以得到的长即点E运动的速度；
（2）由（1）可知，E一直在边上运动，F在上运动，所以分类讨论，求出、、时的面积；
（3）根据题意可知符合要求的有两种情况，分别画出相应的图形，求出对应的x的值即可解答本题．
【详解】（1）解：由图2可知，点F由B到C运动时间为，由C到D运动时间为，
∵点F从B点出发以的速度沿着边运动，
∴，，
∴，
设点E在时运动的距离为a，
，
得，
即点E的速度为．
故答案为：3，3，1；
（2）解：当时，E、F分别在上，为直角三角形，
∴；
当时，E、F分别在上，的长等于的高，
∴；
当时，E、F分别在，为的高，
∴．
由上可得，；
（3）解：当时，x的值是或．
理由：当时，存在两种情况，
第一种情况，如图一所示，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，；
第二种情况，如图二所示，
由题意可得，，解得；
由上可得，当∠时，x的值是或．
23．；；；
【分析】由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，由已知条件，可证得，于是可得，即，由已知条件及等式的性质可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，据此即可求出的值；
由可得，由可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，根据勾股定理可得，由含度角的直角三角形的性质可得，据此即可求出的值；
由，可得，即，由对顶角相等可得，进而可证得，于是可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，于是可得，据此即可求出的值；
由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由全等三角形的性质可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，根据勾股定理可得，过点作于点，由垂线的性质可得，由三线合一可得，由含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长．
【详解】解：，，
，
，
，
，，
∴，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：；
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
如图，与的交点为，
，，
，
即：，
又，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
，
，
，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得：
，，，，
，，
，
，
如图，过点作于点，
，
，，
，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
即：，
解得：或（不合题意，故舍去），
的长为．
【点睛】本题主要考查了含度角的直角三角形，勾股定理，等式的性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，等式的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，等边对等角，旋转的性质，全等三角形的性质，垂线的性质，三线合一，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
A
D
C
B
D
A
B