山东省潍坊市2023-2024学年高二（上）1月期末数学试卷（解析版）

这是一份山东省潍坊市2023-2024学年高二（上）1月期末数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知直线，点，则， 若，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】C
【解析】由.
故选：C.
2. 设空间向量，，若，则实数k的值为（ ）
A. 2B. C. D. 10
【答案】A
【解析】由题意，
解得．
故选：A．
3. 已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（ ）
A. 平行B. 相交且垂直
C. 重合D. 相交且不垂直
【答案】B
【解析】由题意，
因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．
故选：B．
4. 如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在平行六面体中，
因为，，，点在上，且，
所以.
故选：A
5. 月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点F0,1，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，半圆的方程为，
在半椭圆中，则，
故半椭圆方程为，将代入半椭圆，解得，
将代入半圆，解得，故，
然，
故选：D
6. 有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ）
A. 240B. 360C. 480D. 720
【答案】B
【解析】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校，
不同分法种数为．
故选：B．
7. 若圆与圆相交，则实数m取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知，，两圆半径分别为，
，
而两圆相交，则，解得．
故选：D．
8. 如图，已知二面角的度数大小为，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，且，，则的长为（ ）
A. 6B. 10C. D.
【答案】C
【解析】由图得：，
又由题意知：，
所以
，
所以，
所以的长为，
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线，点，则（ ）
A. 过点A与l平行的直线的方程为
B. 点A关于对称的点的坐标为
C. 点A到直线l的距离为
D. 过点A与l垂直的直线的方程为
【答案】ACD
【解析】与直线平行的直线方程可设为，
代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确；
关于的对称点坐标为，B错；
到直线的距离为，C正确；
与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确．
故选：ACD．
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】令，
对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，B错误；
对于C，由，得，因此，C正确；
对于D，，D错误.故选：AC
11. 一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ）
A. A与D相互独立.B. A与B相互独立
C. B与D相互独立D. A与C相互独立
【答案】BCD
【解析】不放回依次取出两个，基本事件有，
共种，
事件“”；
事件“”；
事件“”；
事件“”.
事件，事件“”，
事件“”，事件“”，
则，，，
，，，，
所以，所以A与D不相互独立；
，所以A与B相互独立；
，所以B与D相互独立；
，所以A与C相互独立；
故选：BCD
12. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（ ）
A. 的周长为6B. A，，三点共线
C. A，两点间的最短距离为2D.
【答案】ABD
【解析】设椭圆长轴长，短轴长，焦距，
则由椭圆方程可知，
如图：

因为A在椭圆上，所以，，
所以的周长为，故A正确；
对B：设点的坐标为，Ax1,y1，Bx2,y2，
由图可知，过点作椭圆的切线，切线斜率必存在.
所以过A点的切线方程可设为：，
联立方程组：，消去得：，
由得：，
整理得：，
因为：，，
所以：,
即.
所以过点A的切线为：.
又切线过点，所以.
同理：.
故A，两点都在直线上，而点1,0也在这条直线上，所以A，，三点共线，故B正确；
对C：若直线无斜率，则,
若直线有斜率，结合B项结论可设其方程为：y=kx-1,
联立方程组：y=kx-1x24+y23=1，消去得：，
整理得：3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0，
则，
，
所以，
所以：.
综上：.故C错误；
对D：设过点的切线方程为：，
联立方程组：，消去得：，
由得：，
整理得：，
不妨设，则，
易知，
且均为锐角，故
，
所以，故D正确.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.
13. 展开式中的常数项为______．
【答案】160
【解析】二项式的展开式的通项公式，
令，可得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：160.
14. 针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为，，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为______.
【答案】
【解析】由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，
所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：.
故答案为：
15. 已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为______.
【答案】8
【解析】由题意抛物线的准线的方程是，
过作于，则，所以
当且仅当三点共线时，取得最小值，
所以的最小值是8.
故答案为：8.
16. 在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为______，直线与BH所成角的范围为______.
【答案】2；
【解析】如图，连接，因为，，所以，
所以在以为直径的球面上，又直线与平面所成角为，而即为直线与平面所成的角，因此，因此在以为轴，顶角为的圆锥面上，
过作于点，则，其中的长即为到平面的距离．
所以在圆锥的底面圆上，为圆心，半径为，
以为轴，为轴，过与垂直的直线的为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，
，取的一个方向向量为，
，
又，所以，
所以直线与所成角的范围是，即，
故答案为：；．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 如图，在棱长为1的正方体中，点E是的中点
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）在正方体中，四边形是其对角面，则，
平面，平面，于是平面，同理平面，
又，平面，因此平面平面，又平面，
所以平面.
（2）以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，显然平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 如图,已知抛物线的焦点为F,点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点
（1）求C的方程；
（2）求的面积.
解：（1）因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K，易知为等腰直角三角形，且，所以焦点到准线的距离为2，即，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）可得，F1,0，
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即的方程为，
联立可得，
所以
所以，
又点到直线AB的距离，
所以的面积.
19. 现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.
（1）求这个零件是次品概率；
（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
解：（1）记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件，
记事件：这个零件是次品，
由题意可得，，
，，
由全概率公式可得：
.
（2）由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为
.
20. 已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为.
（1）求的离心率及其渐近线方程；
（2）设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：.
解：（1）由题意，把，代入双曲线得：
，
解得，，，
所以双曲线的方程为，
故离心率，渐近线方程为；
（2）由题意得，一定存在且，，，
，，
则，
又点的坐标满足，
则，
故，
所以.
21. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，，,M是棱PC上的点，且,.
（1）求证：平面PAD；
（2）设二面角的大小为，若，求的值.
解：（1）因为，，
所以，，
在中，，，由余弦定理得，
，
所以，
即，，
取的中点，连结，因为是等边三角形，所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面PAD，
所以平面，
又因为平面，
所以.
又因为，，平面，
所以平面.
（2）取的中点N，连结，则，所以，
以为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
，
，
又，设平面MBD的一个法向量为n=x,y,z，
则即，
当时，平面平面，不合题意；
当时，令，得平面的法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由于平面与平面所成角的余弦值为，
故有，
解得或.
22. 如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点,与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点,使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值.
解：（1）因为，
所以，
所以，半径，
因为线段的中垂线交线段于点，
所以，
所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，，，
故曲线E的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，
与y轴不相交，不合题意，舍去，
当直线的斜率存在时，设所在直线方程为，
设，，
由
消去y整理得，
恒成立，
所以，
又因为直线与y轴的交点为C，所以，
所以，，
，，
又因为，所以，同理，
所以，且，
所以，
整理后得，
所以为定值，原题得证.
（3）设，显然的斜率存在，，，
设的方程是，
由
消去y得，
则，
即，
由韦达定理得，
根据已知，可得，
即，
又，，
代入上式整理得，
则或，
当时，直线的方程为，
所以直线经过定点，
当时，直线的方程为，
所以直线经过定点2,1与M重合，舍去，
故直线经过定点，
又因为，
所以D在以线段MK为直径的圆上.
所以F为线段MK的中点，即，
所以为定值.