2023~2024学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意直线，可得斜率为，
设直线的倾斜角为，其中，
可得，所以，即直线的倾斜角为.
故选：A.
2. 在等比数列中，若，则（ ）
A. 6B. 9C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以（负值舍去），
所以.
故选：A
3. 点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，解得：，∴,
∴点关于直线的对称点的坐标为，
即，
故选：C.
4. 已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线l的方向向量为和，
可得，
则向量直线l上的投影向量的坐标为
.
故选：D.
5. 已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由都是等差数列，设公差分别为，
则，，
则，
故不妨令，
所以，
.
故选：B.
6. 已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为，
直线交轴于点，当直线与垂直时，
此时，，原点到直线的距离取最大值，即，
因为直线被圆所截得弦长的最小值为，即，解得.
故选：C.
7. 已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意得，设，又，
所以，即，解得，
即，又由三点共线得.
所以，整理得，所以.
故选：B.
8. 已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】曲线可化为，
当时，，则，
故此时曲线为椭圆的上半部分；
当时，，则，
故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为；
直线，表示一组斜率为的平行直线，
如图，当直线过点2,0时，，解得；
当直线与椭圆上半部分相切时，
由，消化简得，
由，解得，
又直线与椭圆上半部分相切，则，故，
要使直线与曲线恰有三个不同交点，
结合图形可得，实数的取值范围为.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 若直线与直线平行，则
B. 直线倾斜角的范围为
C. 当时，直线与直线垂直
D. 直线过定点
【答案】BC
【解析】选项A，存在斜率，
直线方程可化为：，
直线也存在斜率，方程可化为，
由，则两直线平行的充要条件为，
即解得或，故A错误；
选项B，由直线的斜率，
则倾斜角的范围为，故B正确；
选项C，当时，直线，斜率为，
又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确；
选项D，，令，得，
故直线过定点，不过，D错误.
故选：BC.
10. 已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则该曲线为双曲线
B. 若该曲线是椭圆，则
C. 若该曲线离心率为，则
D. 若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率
【答案】AD
【解析】A选项，若，则，
则曲线为焦点在轴上的双曲线，故A正确；
B选项，曲线是椭圆等价于，解得且，
故B错误；
C选项，若该曲线离心率为，则曲线为椭圆，由B可知且，
当时，焦点在轴，，
，解得,
当时，焦点在轴，，
，解得,
故C错误；
D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，
此时，
，当时，函数单调递增，
所以，故D正确.
故选：AD.
11. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若为的中点，则直线平面
C. 异面直线与所成角的正弦值的范围是
D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，在正四棱柱中，，且，
所以，四边形平行四边形，所以，，
因平面，平面，所以，平面，
因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，为定值，A对；
对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、，
因为为的中点，则，则，，
所以，，所以，与不垂直，
故当为的中点时，直线与平面不垂直，B错；
对于C选项，，设，
则，
，
所以，，
因为，则，所以，，
所以，，
因此，异面直线与所成角的正弦值的范围是，C对；
对于D选项，设平面的法向量为，，，
则，取，可得，此时，，
，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，故直线与平面所成角的正弦的最大值为，D对.
故选：ACD.
12. 已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则所有可能取值的集合为
C. 若，则
D. 若为正整数，则的前项和为
【答案】BCD
【解析】对于A，，
故A错误；
对于B， 若，则只能（否则，于是奇数矛盾），从而（否则，于是奇数矛盾），
进而由递推关系，故B正确；
对于C，，
所以从开始数列呈现周期为3，均能被3整除，所以，故C正确；
对于D，，则的前项和为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知为等差数列的前项和，且满足，则_____________．
【答案】
【解析】在等差数列an中，,
∴，解得：.
故答案为：.
14. 已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则_____________．
【答案】
【解析】空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，如图，

由为的重心，得，
于是，即，
所以
.故答案为：
15. 已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为_____________．
【答案】
【解析】抛物线，则焦点，准线.
过点作准线，垂足为，作轴，垂足为，准线与轴交点为.
由抛物线定义可知，又，
在中，，
则有，得，解得，
故所求抛物线的方程为.故答案为：.
16. 已知圆,过点的直线与圆交于两点，则的最小值为_____________．
【答案】4
【解析】由题可得：，
所以表示，两点到直线距离之和的倍，
根据题意作出图形如下：
如图，设，的中点为，
且，，在直线的投影分别为，，，
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，易得，即，
所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为，
由图可得：
由于到直线的距离，
所以，
即的最小值为.
故答案：4
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知递增等差数列满足，且成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）设an的公差为，
成等比数列，，
即，，
或，
单调递增，，
（2）由（1）可知，，则，
则，
．
18. 如图，在三棱柱中，平面为的中点，．

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）连接交于，连接，
侧面为平行四边形，
为的中点，
又为的中点，
,
平面平面，
所以平面；
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即，
取，则，
，
到平面的距离.

19. 已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为．
（1）求曲线、的方程；
（2）经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程．
解：（1）由题意知，点到直线的距离等于PF，
所以，点的轨迹是以F0,1为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为.
因为椭圆的长轴长，F0,1为椭圆的一个焦点，则，，
所以，，所以，曲线的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线的斜率必存在，则直线的方程为
由，整理得，
则，
设Ax1,y1、Bx2,y2，
则，，
所以，，
则，
由，整理得，
则，
设、，则，，
所以，
，
因为，即，可得，解得，
所以，直线的方程为.
20. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数1，5，12，22，…，称为五边形数，记五边形数构成的数列为an，数列bn的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）由题意可知
当时，
累加得
当时，满足上式．
,
.
当时，，且，
两式相减得，
，即
数列bn是首项为1，公比为的等比数列
（2）
①
②
①-②得
21. 如图1，在直角梯形中，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，为线段上的动点（不包括端点）．
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求．
解：（1）分别为的中点，
．
平面
平面，
平面，
，
是二面角的平面角，
．
，为等边三角形，
．
平面，
平面，
又平面，.
（2）设中点为，由（1）知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
，，
，
，
设平面的法向量为n=x,y,z，则即，
取，
则，
设，
，
设与平面所成的角为，则
，
解得或（舍）
.
22. 已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断直线是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）由题意可知：
解得
双曲线的方程为
（2）当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为
由
整理得
与左支交于两点
，解得
设，则直线的方程为
代入整理得
设，则
，，
，同理
直线的斜率
直线的方程为，即
直线过定点
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
不妨设点在轴上方，则，直线的方程为
由，解得
同理
此时直线过点