湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，所以.
故选：B.
2. 若集合，则集合的子集的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】，
所以集合A子集的个数为4．故选：C.
3. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误；

B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误；

C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误；

D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确.
故选：D
4. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A. 10B. 100C. 110D. 120
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，
则，则，又因为，
所以，所以，所以.
故选：B.
5. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有( )
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有
若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有
所以共有种
故选B
6. 已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，
直线，可知直线过定点，斜率为，
因为，则点在圆内，
可知当时，弦长最短，
又因为，可知直线的斜率，即，
所以直线l的方程为，即.
故选：C.
7. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，则在上恒成立，
可知在上单调递增，则，
可得，即.故选：C.
8. 设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点,且满足, ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】∵为圆上的点，，
，∴是的中点，
又是的中点，，且，
又，，
是圆的切线，，
在中，又有，
，
， 故双曲线的离心率为.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）

A. 频率分布直方图中a的值为0.005
B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为225
【答案】AD
【解析】由，可得，故A正确；
前三个矩形的面积和为，
所以这名学生的竞赛成绩的第百分位数为，故B错误；
由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C 错误；
总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.
故选：AD
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 函数在上单调递增B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数有最大值
【答案】BC
【解析】由题意可知：当时，（不恒为0）；
当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
可知：A错误；B正确；
且函数在处取得极大值，故C正确；
虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；
故选：BC.
11. 设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A. 若为等差数列，则，，仍为等差数列
B. 若为等比数列，则，，仍为等比数列
C. 若为等差数列，则为等差数列
D. 若为正项等比数列，则为等差数列
【答案】ACD
【解析】对于选项AC：设等差数列的公差为，则，
，
同理可得，
所以，
所以仍为等差数列，故A正确；
因为，则，
所以为等差数列，故C正确；
对于选项B：取数列为，
当为偶数时，，则不能成等比数列，故B错误；
对于选项D：因为，设等比数列的公比为，则，
则（定值），
所以数列为等差数列，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为16
D. 当最小时，直线的斜率不存在
【答案】AD
【解析】A选项，若一条直线的斜率不存在时，则另一条直线斜率为0，
此时与抛物线只有1个交点，不合要求，
故两直线斜率均存在且不为0，
由题意得，设直线方程为，
联立与得，，
易知，设，则，
则，，
则，A正确；
B选项，在A选项基础上得到，
由于两直线均过焦点且垂直，可得，
故，B错误；
C选项，由B选项可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为16，C错误；
D选项，由A选项可知，点横坐标为，
故，所以，
由于两直线均过焦点且垂直，可得，
则
，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
当时，取得最小值，此时，
故当最小时，直线的斜率不存在，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】因为，
所以切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为：.
故答案为：
14. 已知，则__________.
【答案】
【解析】由得，
所以，
两边平方得，
解得.
故答案为：
15. 某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________．
【答案】150
【解析】先将学生安排出去，共有种排法，
若5名学生都去同一个社区，共有种排法；
若5名学生去2个社区（每个社区至少安排1名志愿者），共有种排法；
所以符合题意的所有排法的总数为.
故答案为：150.
16. 若函数有2个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】，
令，，
显然函数单调递增，
所以函数有2个零点，等价于有两个根，即有两个根，
设过原点且与曲线相切的直线方程为，切点为，
因，所以，解得，，得切线方程为，
如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当，即时有两个交点，即有两个根．
所以实数a的取值范围为
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 设为实数，函数.
（1）求的极值；
（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？
解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，
有f(x)＞0，x取足够小负数时，有f(x)＜0，
曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，
∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
解：（1）底面，底面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，点是棱的中点，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
则
故，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
所以点到平面的距离为．
19. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若的中线长为，求面积的最大值．
解：（1）在中，由正弦定理得：，
而，
所以，
化简得，
因为，则，，
即，所以，
又因为，所以，即.
（2）由是的中线，可知，
所以，即，
可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以三角形面积，
即的面积的最大值为.
20. 记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且．
（1）求和的值，并猜想的通项公式；
（2）证明第（1）问猜想的通项公式；
（3）设，数列的前n项和为，求证：．
解：（1）由题意对任意正整数n，有，
令时，，即，可得；
令时，，即，可得；
由、、猜想：.
（2）由（1）可知：；
当时，，则，
即，即，
故时，，
且也适合上式，所以.
（3）由（2）可得，
故，
则，
可得，
所以，
由于，可知，所以.
21. 在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点为，上顶点满足.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点.设直线和直线相交于点，直线和直线相交于点，直线与轴交于.证明：是定值.
解：（1）由题，，
所以，解得.所以的标准方程为.
（2）设，直线的方程为.
联立直线与椭圆的方程，消得，
从而由韦达定理得.
由(1)知，所以直线和的方程分别为
联立直线和，可得交点的横坐标满足
，解得，
即点总在直线上.同理可得点也在直线上，
所以直线的方程为.
因为，
所以，其中分别为点，点的纵坐标.
联立直线和直线，得;
联立直线和直线，得.
所以为定值.
22. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
解：（1）由已知
当时，恒成立，此时函数在上单调递增；
当时，令，得，
若，，
若，，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
综合得：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2），即
对任意的恒成立，
令
则
令，则
在上单调递增，
又，，
，使，
上单调递减，在上单调递增，
由得
，
设，，
即在上单调递增，
由得，
，即有
，
.x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗