还剩15页未读，
继续阅读
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高二（上）入学数学试卷
展开
这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高二（上）入学数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则（ ）
A．2+2i B．2﹣2i C．2i D．﹣2i
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤﹣2 C．a＞﹣4 D．a≤﹣4
3．（5分）四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为3的正方形，若四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．100π D．144π
4．（5分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
5．（5分）将曲线C1：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为（ ）
A．y＝2sin4x B．
C．y＝2sinx D．
6．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
7．（5分）已知l，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若l⊥α，b⊥l，则b∥α
B．若l，b⊂α，l∥β，b∥β，则α∥β
C．若l∥α，b⊥β，l∥b，则α⊥β
D．若α∩β＝b，l⊂α，l⊥b，则α⊥β
8．（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是 （ ）
A．样本中支出在[50，60）元的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数有132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生，则一定有600人支出在[50，60）元
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．现有这四大名著各一本，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2个基本事件
（多选）11．（5分）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（ ）
A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣3＝0 C．2x﹣y＝0 D．x﹣y﹣1＝0
（多选）12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|＜1，则称f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”．若函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax+1互为“零点相邻函数”，则实数α的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 ．
14．（5分）在R上定义运算△：x△y＝x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ．
15．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC，AB＝3，AD＝3，则BD的长为 ．
16．（5分）关于函数f（x）＝4sin（2x）（x∈R），有下列命题：
①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
②若x1，x2∈（，），且2f（x1）＝f（x1+x2），则x1＜x2；
③函数的图象关于点（，0）对称；
④函数y＝f（﹣x）的单调递增区间可由不等式2kπ2x2kπ（k∈Z）求得．
正确命题的序号是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
18．（12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．
19．（12分）已知两点A（﹣1，2），B（m，3），求：
（1）直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈[1，1]，求直线AB的倾斜角α的范围．
20．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinbsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
21．（12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点且，（m＞0），求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
22．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）＝x的两个实数根为x1和x2．
（1）如果x1＜2＜x2＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x＝x0，求证：x0＞﹣1；
（2）如果|x1|＜2，|x2﹣x1|＝2，求b的取值范围．
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则（ ）
A．2+2i B．2﹣2i C．2i D．﹣2i
【解答】解：∵z＝1+i，
∴．
故选：B．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤﹣2 C．a＞﹣4 D．a≤﹣4
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4≤0}，由x2﹣4≤0，得﹣2≤x≤2，
又B＝{x|2x+a≤0}，由2x+a≤0，得x，
又A∪B＝B，则A⊆B，
则2，得a≤﹣4，
故选：D．
3．（5分）四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为3的正方形，若四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．100π D．144π
【解答】解：如图所示：，
设底面正方形ABCD的对角线交点为M，则PM⊥面ABCD，球O的球心O在PM上，
设球O的半径为R，
∵ABCD是边长为3的正方形，若四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为54，
∴点P到平面ABCD的距离的最大值为9，即PM＝9，
在Rt△OMC中：OC＝R，CM3，OM＝PM﹣PO＝9﹣R，
∴R2＝（9﹣R）2+32，
解得：R＝5，
所以球O的表面积为4πR2＝100π．
故选：C．
4．（5分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴0，
又大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，∴•1×1×cos（180°﹣45°）．
∵，
∴3，
∴．
故选：D．
5．（5分）将曲线C1：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为（ ）
A．y＝2sin4x B．
C．y＝2sinx D．
【解答】解：曲线C1：y＝2cos（2x）上的点向右平移个单位长度，
得到y＝2cos[2（x）]＝2cos（2x）＝2sin2x，
再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2的方程为y＝2sin4x．
故选：A．
6．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；
故f（﹣1）＜0；
当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，
此时，此时1＜x≤3，
当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，
即，得﹣1≤x＜0，
综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，
故选：D．
7．（5分）已知l，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若l⊥α，b⊥l，则b∥α
B．若l，b⊂α，l∥β，b∥β，则α∥β
C．若l∥α，b⊥β，l∥b，则α⊥β
D．若α∩β＝b，l⊂α，l⊥b，则α⊥β
【解答】解：对A选项，∵l⊥α，b⊥l，∴b∥α或b⊂α，∴A选项错误；
对B选项，∵l，b⊂α，l∥β，b∥β，
∴α∥β或α与β成任意角，∴B选项错误；
对C选项，∵b⊥β，l∥b，∴l⊥β，
又l∥α，∴∃m⊂α，m∥l，∴m⊥β，∴α⊥β，∴C选项正确；
对D选项，∵α∩β＝b，l⊂α，l⊥b，
∴α与β可成任意角，∴D选项错误．
故选：C．
8．（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，
基本事件有：7，16，25，52，61，70，共有6个，
算盘表示的数为质数包含的基本事件有：7，61，共2个，
∴算盘表示的数为质数的概率是P．
故选：A．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是 （ ）
A．样本中支出在[50，60）元的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数有132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生，则一定有600人支出在[50，60）元
【解答】解：由频率分布直方图得：
在A中，样本中支出在[50，60）元的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3，故A错误；
在B中，样本中支出不少于40元的人数有：132，故B正确；
在C中，n200，故n的值为200，故C正确；
D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60）元，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．现有这四大名著各一本，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2个基本事件
【解答】解：A：事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A错误，
B：事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但是还有可能“丙取得红楼梦”，“丁取得红楼梦”，
所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥不对立事件，故B正确，
C：事件A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，3，5}，所以B不包含于A，C正确，
D：基本事件为{正品，次品}，有两个，D正确，
故选：BCD．
（多选）11．（5分）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（ ）
A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣3＝0 C．2x﹣y＝0 D．x﹣y﹣1＝0
【解答】解：当直线经过原点时，斜率为k2，所求的直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，
求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；
综上知，所求的直线方程为 2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．
故选：ABC．
（多选）12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|＜1，则称f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”．若函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax+1互为“零点相邻函数”，则实数α的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵f（x）＝ex﹣1+x﹣2，∴f（x）在R上单调递增，
又f（1）＝e0+1﹣2＝0，∴f（x）有唯一零点为1，
令g（x）的零点为x0，依题意知|x0﹣1|＜1，即0＜x0＜2，
即函数g（x）在（0，2）上有零点，
令g（x）＝0，则x2﹣ax+1＝0在（0，2）上有解，
即a＝x在（0，2）上有解，
∵x2，当且仅当x＝1时取等号，
∴a≥2．即实数a的取值范围是[2，+∞）．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 4 ．
【解答】解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，
而y＝x与y的两个交点的坐标是（，）（，），
∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|4，
另解：设直线y＝kx，联立曲线方程，可得x＝±，
可得P（，k），Q（，﹣k），
可得PQ4．
当k＝1时，取得最小值4．
故答案为：4
14．（5分）在R上定义运算△：x△y＝x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【解答】解：根据运算法则得（x﹣a）△（x+a）＝（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1
化简得x2﹣x﹣a2+a+1＞0在R上恒成立，即Δ＜0，
解得a∈
故答案为
15．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC，AB＝3，AD＝3，则BD的长为 ．
【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAD+90°，
∴sin∠BAC＝sin（∠BAD+90°）＝cos∠BAD，
在△ABD中，AB＝3，AD＝3，
根据余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝18+9﹣24＝3，
则BD．
故答案为：
16．（5分）关于函数f（x）＝4sin（2x）（x∈R），有下列命题：
①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
②若x1，x2∈（，），且2f（x1）＝f（x1+x2），则x1＜x2；
③函数的图象关于点（，0）对称；
④函数y＝f（﹣x）的单调递增区间可由不等式2kπ2x2kπ（k∈Z）求得．
正确命题的序号是 ②③ ．
【解答】解：对于①．令2xkπ，得到x（k是整数），
由f（x1）＝f（x2）＝0，可得x1﹣x2必是的整数倍，故①错误；
对于②．f（x）＝4sin（2x），
求解得f（）＝0，f（）＝1，周期T＝π．
则[，]为f（x）的第一个周期（此周期内f（x）单调增大于0）．
设x1，x2 的取值区间为D，
2f（x1）＝2sin（2x1）
f（）＝sin（）
由于cos（）在D中取值范围为（0，1），得
sin（）＝2sin（）cos（）＜sin（）
即sin（）＜sin（）
又，在D中f（x）性质如上述，由单调性有x1＜x2．故②正确；
对于③．令2xkπ，得到x（k是整数），当k＝0时，得到x，
所以函数y＝f（x）的图象关于点（，0）对称．故③正确；
对于④．函数y＝f （﹣x），
若求其增区间，只需让在正弦函数的减区间内即可，故④不正确．
所以正确的命题的序号是②③．
故答案为②③．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
【解答】证明：（1）在△PAD中，
∵E，F分别为AP，AD的中点，
∴EF∥PD．
又∵EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD
∴直线EF∥平面PCD．
（2）连接BD．在△ABD中，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°．即两底角相等并且等于60°，
∴△ABD为正三角形．
∵F是AD的中点，
∴BF⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BF⊥平面PAD．
又∵BF⊂平面EBF，∴平面BEF⊥平面PAD．
18．（12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．
【解答】解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，
其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}
事件M由6个基本事件组成，因而．
（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，
则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，
由于{（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
19．（12分）已知两点A（﹣1，2），B（m，3），求：
（1）直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈[1，1]，求直线AB的倾斜角α的范围．
【解答】解：（1）当m＝﹣1时，直线AB的斜率不存在；
当m≠﹣1时，k．
（2）当m＝﹣1时，AB的方程为x＝﹣1，
当m≠﹣1时，AB的方程为y﹣2（x+1）．
（3）①当m＝﹣1时，α；
②当m≠﹣1时，∵k∈（﹣∞，]∪[，+∞），
∴α∈[，）∪（，]．
综合①②，知直线AB的倾斜角α∈[，]．
20．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinbsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解答】解：（1）asinbsinA，即为asinacosbsinA，
可得sinAcossinBsinA＝2sincossinA，
∵sinA＞0，
∴cos2sincos，
若cos0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，
∴sin，
由0＜B＜π，可得B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，
由余弦定理可得b，
由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，
解得a＜2，
可得△ABC面积Sa•sina∈（，）．
21．（12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点且，（m＞0），求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【解答】解：（1）证明：∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，且平面PAD∩平面PBC＝l，
∴BC∥l，
又PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
∴BC⊥PD，又BC⊥DC，PD∩DC＝D，
∴BC⊥平面PDC，又BC∥l，
∴l⊥平面PDC；
（2）建立如图的空间右手直角坐标系，根据题意可得：
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），
设Q（m，0，1），m＞0，则，，，
设平面QCD的法向量为，
则，令x＝﹣1，则y＝0，z＝m，
∴，
∴cos，
∴PB与平面QCD所成角的正弦值为
，
当且仅当m＝1时，取得等号，
故PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
22．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）＝x的两个实数根为x1和x2．
（1）如果x1＜2＜x2＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x＝x0，求证：x0＞﹣1；
（2）如果|x1|＜2，|x2﹣x1|＝2，求b的取值范围．
【解答】解：（1）设g（x）＝f（x）﹣x＝ax2+（b﹣1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x1＜2＜x2＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即
由可行域可得，∴．
（2）由g（x）＝ax2+（b﹣1）x+1＝0，知，故x1与x2同号．
①若0＜x1＜2，则x2﹣x1＝2（负根舍去），
∴x2＝x1+2＞2．
∴，即⇒b；
②若﹣2＜x1＜0，则x2＝﹣2+x1＜﹣2（正根舍去），
，即⇒b．
综上，b的取值范围为或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/30 15:41:09；用户：高中数学朱老师；邮箱：orFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0ofc@weixin.jyeoo.com；学号：37103942
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则（ ）
A．2+2i B．2﹣2i C．2i D．﹣2i
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤﹣2 C．a＞﹣4 D．a≤﹣4
3．（5分）四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为3的正方形，若四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．100π D．144π
4．（5分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
5．（5分）将曲线C1：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为（ ）
A．y＝2sin4x B．
C．y＝2sinx D．
6．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
7．（5分）已知l，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若l⊥α，b⊥l，则b∥α
B．若l，b⊂α，l∥β，b∥β，则α∥β
C．若l∥α，b⊥β，l∥b，则α⊥β
D．若α∩β＝b，l⊂α，l⊥b，则α⊥β
8．（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是 （ ）
A．样本中支出在[50，60）元的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数有132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生，则一定有600人支出在[50，60）元
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．现有这四大名著各一本，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2个基本事件
（多选）11．（5分）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（ ）
A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣3＝0 C．2x﹣y＝0 D．x﹣y﹣1＝0
（多选）12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|＜1，则称f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”．若函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax+1互为“零点相邻函数”，则实数α的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 ．
14．（5分）在R上定义运算△：x△y＝x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ．
15．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC，AB＝3，AD＝3，则BD的长为 ．
16．（5分）关于函数f（x）＝4sin（2x）（x∈R），有下列命题：
①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
②若x1，x2∈（，），且2f（x1）＝f（x1+x2），则x1＜x2；
③函数的图象关于点（，0）对称；
④函数y＝f（﹣x）的单调递增区间可由不等式2kπ2x2kπ（k∈Z）求得．
正确命题的序号是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
18．（12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．
19．（12分）已知两点A（﹣1，2），B（m，3），求：
（1）直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈[1，1]，求直线AB的倾斜角α的范围．
20．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinbsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
21．（12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点且，（m＞0），求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
22．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）＝x的两个实数根为x1和x2．
（1）如果x1＜2＜x2＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x＝x0，求证：x0＞﹣1；
（2）如果|x1|＜2，|x2﹣x1|＝2，求b的取值范围．
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则（ ）
A．2+2i B．2﹣2i C．2i D．﹣2i
【解答】解：∵z＝1+i，
∴．
故选：B．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤﹣2 C．a＞﹣4 D．a≤﹣4
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4≤0}，由x2﹣4≤0，得﹣2≤x≤2，
又B＝{x|2x+a≤0}，由2x+a≤0，得x，
又A∪B＝B，则A⊆B，
则2，得a≤﹣4，
故选：D．
3．（5分）四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为3的正方形，若四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．100π D．144π
【解答】解：如图所示：，
设底面正方形ABCD的对角线交点为M，则PM⊥面ABCD，球O的球心O在PM上，
设球O的半径为R，
∵ABCD是边长为3的正方形，若四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为54，
∴点P到平面ABCD的距离的最大值为9，即PM＝9，
在Rt△OMC中：OC＝R，CM3，OM＝PM﹣PO＝9﹣R，
∴R2＝（9﹣R）2+32，
解得：R＝5，
所以球O的表面积为4πR2＝100π．
故选：C．
4．（5分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴0，
又大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，∴•1×1×cos（180°﹣45°）．
∵，
∴3，
∴．
故选：D．
5．（5分）将曲线C1：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为（ ）
A．y＝2sin4x B．
C．y＝2sinx D．
【解答】解：曲线C1：y＝2cos（2x）上的点向右平移个单位长度，
得到y＝2cos[2（x）]＝2cos（2x）＝2sin2x，
再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2的方程为y＝2sin4x．
故选：A．
6．（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；
故f（﹣1）＜0；
当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，
此时，此时1＜x≤3，
当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，
即，得﹣1≤x＜0，
综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，
故选：D．
7．（5分）已知l，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若l⊥α，b⊥l，则b∥α
B．若l，b⊂α，l∥β，b∥β，则α∥β
C．若l∥α，b⊥β，l∥b，则α⊥β
D．若α∩β＝b，l⊂α，l⊥b，则α⊥β
【解答】解：对A选项，∵l⊥α，b⊥l，∴b∥α或b⊂α，∴A选项错误；
对B选项，∵l，b⊂α，l∥β，b∥β，
∴α∥β或α与β成任意角，∴B选项错误；
对C选项，∵b⊥β，l∥b，∴l⊥β，
又l∥α，∴∃m⊂α，m∥l，∴m⊥β，∴α⊥β，∴C选项正确；
对D选项，∵α∩β＝b，l⊂α，l⊥b，
∴α与β可成任意角，∴D选项错误．
故选：C．
8．（5分）算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，
基本事件有：7，16，25，52，61，70，共有6个，
算盘表示的数为质数包含的基本事件有：7，61，共2个，
∴算盘表示的数为质数的概率是P．
故选：A．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是 （ ）
A．样本中支出在[50，60）元的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数有132
C．n的值为200
D．若该校有2000名学生，则一定有600人支出在[50，60）元
【解答】解：由频率分布直方图得：
在A中，样本中支出在[50，60）元的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10＝0.3，故A错误；
在B中，样本中支出不少于40元的人数有：132，故B正确；
在C中，n200，故n的值为200，故C正确；
D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60）元，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．现有这四大名著各一本，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2个基本事件
【解答】解：A：事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A错误，
B：事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但是还有可能“丙取得红楼梦”，“丁取得红楼梦”，
所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥不对立事件，故B正确，
C：事件A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，3，5}，所以B不包含于A，C正确，
D：基本事件为{正品，次品}，有两个，D正确，
故选：BCD．
（多选）11．（5分）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（ ）
A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣3＝0 C．2x﹣y＝0 D．x﹣y﹣1＝0
【解答】解：当直线经过原点时，斜率为k2，所求的直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，
求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；
综上知，所求的直线方程为 2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．
故选：ABC．
（多选）12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）＝0}，β∈{x|g（x）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|＜1，则称f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”．若函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax+1互为“零点相邻函数”，则实数α的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵f（x）＝ex﹣1+x﹣2，∴f（x）在R上单调递增，
又f（1）＝e0+1﹣2＝0，∴f（x）有唯一零点为1，
令g（x）的零点为x0，依题意知|x0﹣1|＜1，即0＜x0＜2，
即函数g（x）在（0，2）上有零点，
令g（x）＝0，则x2﹣ax+1＝0在（0，2）上有解，
即a＝x在（0，2）上有解，
∵x2，当且仅当x＝1时取等号，
∴a≥2．即实数a的取值范围是[2，+∞）．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 4 ．
【解答】解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，
而y＝x与y的两个交点的坐标是（，）（，），
∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|4，
另解：设直线y＝kx，联立曲线方程，可得x＝±，
可得P（，k），Q（，﹣k），
可得PQ4．
当k＝1时，取得最小值4．
故答案为：4
14．（5分）在R上定义运算△：x△y＝x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【解答】解：根据运算法则得（x﹣a）△（x+a）＝（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1
化简得x2﹣x﹣a2+a+1＞0在R上恒成立，即Δ＜0，
解得a∈
故答案为
15．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC，AB＝3，AD＝3，则BD的长为 ．
【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAD+90°，
∴sin∠BAC＝sin（∠BAD+90°）＝cos∠BAD，
在△ABD中，AB＝3，AD＝3，
根据余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝18+9﹣24＝3，
则BD．
故答案为：
16．（5分）关于函数f（x）＝4sin（2x）（x∈R），有下列命题：
①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；
②若x1，x2∈（，），且2f（x1）＝f（x1+x2），则x1＜x2；
③函数的图象关于点（，0）对称；
④函数y＝f（﹣x）的单调递增区间可由不等式2kπ2x2kπ（k∈Z）求得．
正确命题的序号是 ②③ ．
【解答】解：对于①．令2xkπ，得到x（k是整数），
由f（x1）＝f（x2）＝0，可得x1﹣x2必是的整数倍，故①错误；
对于②．f（x）＝4sin（2x），
求解得f（）＝0，f（）＝1，周期T＝π．
则[，]为f（x）的第一个周期（此周期内f（x）单调增大于0）．
设x1，x2 的取值区间为D，
2f（x1）＝2sin（2x1）
f（）＝sin（）
由于cos（）在D中取值范围为（0，1），得
sin（）＝2sin（）cos（）＜sin（）
即sin（）＜sin（）
又，在D中f（x）性质如上述，由单调性有x1＜x2．故②正确；
对于③．令2xkπ，得到x（k是整数），当k＝0时，得到x，
所以函数y＝f（x）的图象关于点（，0）对称．故③正确；
对于④．函数y＝f （﹣x），
若求其增区间，只需让在正弦函数的减区间内即可，故④不正确．
所以正确的命题的序号是②③．
故答案为②③．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
【解答】证明：（1）在△PAD中，
∵E，F分别为AP，AD的中点，
∴EF∥PD．
又∵EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD
∴直线EF∥平面PCD．
（2）连接BD．在△ABD中，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°．即两底角相等并且等于60°，
∴△ABD为正三角形．
∵F是AD的中点，
∴BF⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BF⊥平面PAD．
又∵BF⊂平面EBF，∴平面BEF⊥平面PAD．
18．（12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．
【解答】解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，
其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}
事件M由6个基本事件组成，因而．
（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，
则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，
由于{（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
19．（12分）已知两点A（﹣1，2），B（m，3），求：
（1）直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈[1，1]，求直线AB的倾斜角α的范围．
【解答】解：（1）当m＝﹣1时，直线AB的斜率不存在；
当m≠﹣1时，k．
（2）当m＝﹣1时，AB的方程为x＝﹣1，
当m≠﹣1时，AB的方程为y﹣2（x+1）．
（3）①当m＝﹣1时，α；
②当m≠﹣1时，∵k∈（﹣∞，]∪[，+∞），
∴α∈[，）∪（，]．
综合①②，知直线AB的倾斜角α∈[，]．
20．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinbsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解答】解：（1）asinbsinA，即为asinacosbsinA，
可得sinAcossinBsinA＝2sincossinA，
∵sinA＞0，
∴cos2sincos，
若cos0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，
∴sin，
由0＜B＜π，可得B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，
由余弦定理可得b，
由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，
解得a＜2，
可得△ABC面积Sa•sina∈（，）．
21．（12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点且，（m＞0），求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【解答】解：（1）证明：∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，且平面PAD∩平面PBC＝l，
∴BC∥l，
又PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
∴BC⊥PD，又BC⊥DC，PD∩DC＝D，
∴BC⊥平面PDC，又BC∥l，
∴l⊥平面PDC；
（2）建立如图的空间右手直角坐标系，根据题意可得：
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），
设Q（m，0，1），m＞0，则，，，
设平面QCD的法向量为，
则，令x＝﹣1，则y＝0，z＝m，
∴，
∴cos，
∴PB与平面QCD所成角的正弦值为
，
当且仅当m＝1时，取得等号，
故PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
22．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）＝x的两个实数根为x1和x2．
（1）如果x1＜2＜x2＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x＝x0，求证：x0＞﹣1；
（2）如果|x1|＜2，|x2﹣x1|＝2，求b的取值范围．
【解答】解：（1）设g（x）＝f（x）﹣x＝ax2+（b﹣1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x1＜2＜x2＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即
由可行域可得，∴．
（2）由g（x）＝ax2+（b﹣1）x+1＝0，知，故x1与x2同号．
①若0＜x1＜2，则x2﹣x1＝2（负根舍去），
∴x2＝x1+2＞2．
∴，即⇒b；
②若﹣2＜x1＜0，则x2＝﹣2+x1＜﹣2（正根舍去），
，即⇒b．
综上，b的取值范围为或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/30 15:41:09；用户：高中数学朱老师；邮箱：orFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0ofc@weixin.jyeoo.com；学号：37103942
相关试卷
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（上）期中数学试卷： 这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入学数学试卷： 这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入学数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）入学数学试卷： 这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）入学数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
