2024-2025学年上海市普陀区高二上学期12月月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市普陀区高二上学期12月月考数学质量检测试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题）
1．双曲线的实轴长为 .
2．三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有 条.
3．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为 .
4．直线与直线的夹角 ．
5．若正方体的棱长为2，则顶点到平面的距离为 .
6．有一个面积为20的矩形，其直观图的面积为 ．
7．抛物线y2＝4x上一点M到焦点F的距离是10，则点M到y轴的距离是______．
8．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则曲线C的方程为 .
9．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ．

10．如图，矩形ABCD的长，宽，若平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得，则x的范围是 .
11．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为 ．

12．已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，F，Q分别是线段上的两个动点，为正方体表面上一点，若到棱与到棱的距离相等，则的最小值为 ．
二、单选题（本大题共4小题）
13．空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
15．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（ ）
A．4B．C．D．
16．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论：
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S的面积为；
④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
三、解答题（本大题共5小题）
17．如图，长方体中，，，，点P为的中点..
(1)求证：直线∥平面PAC；
(2)求异面直线PO与AB所成角的大小.
18．已知关于的方程：．
(1)当为何值时，方程表示圆；
(2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值．
19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱锥体积为1．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
20．如图，在矩形中，，沿对角线将折起，使点移到点，且在平面上的射影恰好在上.
(1)求证：面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面的成角的大小.
21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
(3)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求面积的最大值.
答案
1．【正确答案】
【详解】双曲线的实轴长为.
故
2．【正确答案】3
【详解】如图，

与AB异面的棱有，共3条.
故3.
3．【正确答案】平行或异面
【分析】
由直线平面，直线在平面内，知，或与异面．
【详解】
解：直线平面，直线在平面内，
则直线与平面内任意直线无交点，
，或与异面.
故平行或异面.
4．【正确答案】
【详解】解：直线的斜率，
直线的斜率
设夹角为
则
故答案为
5．【正确答案】
【分析】
连接交于，连接，先证明平面，再求即可
【详解】
连接交于，连接，因为正方体，故，且平面，又平面，故，又平面，，故平面，故顶点到平面的距离为.又正方体的棱长为2，故
故
6．【正确答案】
【详解】
作出矩形及其直观图如图所示，易知，过作于，可得，又矩形面积，故其直观图的面积.
故答案为.
7．【正确答案】9
由题可知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
因为点M到焦点F的距离是10，故点M到准线x＝－1的距离是10，
则点M到y轴的距离是9.
8．【正确答案】
【详解】双曲线的渐近线方程为,
由一条渐近线方程为，可得①
椭圆的焦点为，可得②
由①②可得,
即双曲线的方程为,
故答案为.
9．【正确答案】
【详解】

过作，垂足为，过作，垂足为，连接.
平面平面，平面平面，又，平面，
根据面面垂直的性质定理可得，平面，又平面，故，
又，，平面，故平面，
由平面，故，于是二面角的平面角为，
根据题目数据，在中，，，
则，则.
故
10．【正确答案】
【详解】
连接，因为平面，平面，所以，
又，且，平面，
由线面垂直的判定定理可得平面，
且平面，所以，
设，则，
在直角三角形中，由勾股定理可得，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，即，
化简可得，其中，
即，解得，
又，所以，即x的范围是.
故
11．【正确答案】/
【详解】由题意，可作图如下：

则，，即，
可设，，，
由，则，即，
，在中，，
则.
故答案为.
12．【正确答案】
【详解】在正方体中，面，为正方体表面上一点，
所以到棱的距离为，又到棱与到棱的距离相等，
所以点P在以为焦点以直线为准线的抛物线上，
故的最小值为点P到直线的距离与到直线的距离之和，
即点P到直线的距离与到棱的距离之和，
即，
又的最小值即为点到直线的距离，即为的高h，
在中，，,
所以,即，
即的最小值为，
故答案为.
13．【正确答案】A
【详解】空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，即充分性成立；
反之，当四个点共面时，不一定有三点共线，即必要性不成立，
所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件．
故选：A.
14．【正确答案】D
【详解】若，，则，或者，故AC错误；
若，，则，或者与异面，故B错误；
若，，过作平面，使,则,因为，，所以，因为，所以，故D正确，
故选：D.
15．【正确答案】B
【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，
由可得两个交点的坐标分别为，
所以，
当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，
联立，消去可得，
则，，
综上可得，，
所以.
故选：B
16．【正确答案】D
【详解】①当时,如图（1），是四边形，故①正确；
②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确；
③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为
所以，③正确.
④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确；
故选：D
17．【正确答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）由题意可知：分别为的中点，则∥，
且平面PAC，平面PAC，所以直线∥平面PAC.
（2）连接，
由（1）可知∥，
则异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角），
由题意可知：，
则，即，可得，
所以异面直线PO与AB所成角的大小为.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由圆的一般方程性质可知：
解得，
所以当时，方程表示圆.
（2）由，得，
所以该圆圆心为，半径
所以圆心到直线的距离
根据弦长公式可知：
解得.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在直角梯形中，，，，，
则，
则，所以，
因为平面，平面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，
所以，
又，所以即为二面角的平面角，
由，得，
在中，，
所以，
即二面角的大小为．
20．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明 ∵点在平面上的射影在上，
∴平面，平面， ∴．
又∵，，平面
∴平面，又平面， ∴．
又∵，∴．
∵，平面，∴平面．
（2）
如图所示，过作，垂足为，连接．
∵平面，平面， ∴，又，
平面，∴平面．
故的长就是点到平面的距离．
又平面，又平面， ∴．
在中，．
在中，．
在中，由面积关系，得
．
∴点到平面的距离是．
（3）由（2）知平面，则为在平面的射影，
所以是与平面所成的角.
在中，.
即直线与平面所成角的正弦值为.
则直线与平面的成角.
21．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意可得，
解得，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）可得，，则，
又，
所以，
当且仅当为的延长线与椭圆交点时取等号，
所以，
故周长的最大值为；
（3）设直线的方程为，，．
由，消去整理得，显然，
所以，，
所以
，
又因为
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
故面积的最大值为．