2024-2025学年上海市宝山区区高二上学期12月月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市宝山区区高二上学期12月月考数学质量检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．两条异面直线所成角的取值范围是 .
2．直线过，且的一个法向量，则直线的方程为 .
3．直线与直线的夹角大小为 .
4．若直线与互相垂直，则 .
5．在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条
6．在中，，，，是重心，过的平面与BC平行，，，则 ．
7．过点且和原点距离是2的直线方程是 .
8．若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是 .
①、②、③、④、⑤、⑥
9．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 .
10．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ．
11．如图所示，三个半径为的汤圆（球形）装入半径为的半球面碗中三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径 .
12．在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为 ．
二、单选题（本大题共4小题）
13．已知，，且，则为（ ）
A．B．C．D．
14．已知为直线上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
16．如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为
D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个
三、解答题（本大题共5小题）
17．如图，AB是圆柱底面圆的一条直径，，PA是圆柱的母线，，点C是圆柱底面圆周上的点，．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若点E在PA上且，求BE与平面PAC所成角的大小．
18．直线经过点，在下列条件下，求直线的方程
(1)直线与直线的夹角为.
(2)经过直线的光线被直线反射，反射光线经过点.
19．筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．

(1)求到平面的距离；
(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.
21．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：，其中．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数，使其图像为逐点依次连接点的折线．
(1)求和的值；
(2)设的斜率为，判断的大小关系；
(3)证明：当时，；
答案
1．【正确答案】
【分析】由异面直线所成角的定义求解．
【详解】由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是
故答案为.
2．【正确答案】
【详解】由的一个法向量，可设，
则有，解得，即直线的方程为.
故答案为.
3．【正确答案】
【详解】设直线的倾斜角为，则，即，
又直线的倾斜角为，
故直线与直线的夹角大小为.
故答案为.
4．【正确答案】/0.5
【分析】根据垂直关系得到方程，求出.
【详解】由题意得，解得.
故/0.5.
5．【正确答案】
【详解】如图所示，连接，
由正方体性质可得、都为等边三角形，
所以，
所以与所成的角为，
又，则与所成的角为，
同理，可得为等边三角形，则与所成的角为，
又，
则与所成的角为，
综上可得，与直线所成角的大小为的面对角线共有条.
故答案为.
6．【正确答案】/
【详解】如下图示，若为中点，又是重心，则，

由题意，面，面，故，
所以，而，
综上，.
故
7．【正确答案】或
【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意，
当斜率存在时，
所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2，
所以，解得．
所以直线方程为或．
故或．
8．【正确答案】④⑥
【详解】由，，则，故①错，④对；
由，，则，故③错，⑥对；
可能垂直，也可能平行，故②、⑤错.
故④⑥.
9．【正确答案】118．8
【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.
【详解】由题意得， ，
四棱锥O−EFG的高3cm， ∴．
又长方体的体积为，
所以该模型体积为，
其质量为．
本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．
10．【正确答案】9
【详解】由题意，动直线过定点，
直线可化为，
令，可得，
又，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号．
11．【正确答案】
【详解】取半球的球心为，三个小球的球心分别为，
则有，取的重心，则可有，
在中，，
则有，
则，解得.
故答案为.
12．【正确答案】18
【详解】解：动点到两直线和的距离之和为，
，
化为．
分为以下4种情况：或或或．
可知点是如图所示的正方形的4条边．
可知：当取点时，取得最大值．
的最大值为18．
故18．

13．【正确答案】B
【详解】因为，，且，则，
解得，则，所以，
因此，.
故选：B.
14．【正确答案】D
【详解】记点、，则，如下图所示：

设原点关于直线的对称点为，且直线的斜率为，
由题意可得，解得，
故原点关于直线的对称点为，
由对称性可知，
所以，，
当且仅当为线段与直线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
15．【正确答案】B
【详解】由题意结合几何体的结构特征可将该几何体放于一个正方体中，如图：
分别是的中点，，平面，平面，
则平面，同理平面，平面，
故平面平面，由此可知∽，且，
则，
由题意可知正四面体EFGH与正四面体ABCD的公共部分的体积等于正四面体ABCD的体积减去其每个顶点处的小正四面体的体积，
即公共部分的体积为，
故选：B
16．【正确答案】C
【详解】对A：由正方体性质知：，，
且、面，
所以面，又面，则，
由，故与不垂直，故A错误；
对B：由题意且，若是交点，连接，
所以，
故为平行四边形，则，，
所以所成角，即为所成角，
由题设，易知，
在中，
即夹角为，所以夹角为，
故向量在向量上的投影向量为：
，故B错误；
对C：令放在桌面上的顶点为，
若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，
此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，
根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大，
此时，截面是边长为的正六边形，
故最大面积为，故C正确；
对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为，
且奇数层均为个，偶数层均为，
而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为，
假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数，
令，则，而，故小球总共有10层，
由上，相邻的两层小球共有个，
所以正方体一共可以放个小球，故D错误.
故选：C.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)或或.
【详解】（1）因为底面，平面，
所以，
因为为直径，所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，为BE与平面PAC所成角．
因为，，
所以，
由勾股定理得：，，
所以
所以BE与平面PAC所成角为．
或，所以BE与平面PAC所成角为．
或所以BE与平面PAC所成角为．
所以BE与平面PAC所成角为或或．
18．【正确答案】(1)或
(2)
【详解】（1）设直线的一个法向量为，其中不同时为，
则的方程为：，
由直线与直线的夹角为，
则有，化简得 ，
则或，此时，
当时，由可得，
当时，由可得，
即；
故直线的方程或；
（2）设点关于直线对称的点为，
则有，解得，即，
由题意可得点在直线上，
设直线为，则有，解得，
即直线为，即.
19．【正确答案】(1)1
(2)存在；或
【分析】（1）根据线面垂直的判定可得平面，进而可得到平面的距离.
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，再设，根据线面角的空间向量求法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以不可能为四边形的对称轴，则为四边形的对称轴，
所以垂直平分，所以，
平面平面，
所以平面．
所以到平面的距离．
（2）存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
过作平面，所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

由（1）得平面平面，因为，
所以，设，
，，
设平面的法向量，，
所以，
令，则，所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，，
．
所以或，所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为或．
20．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处
【详解】（1）取BD中点，连接PO，
是BM的中点，，且，
在线段CD上取点，使，连接OF，QF，
，，且，
，四边形POFQ为平行四边形，，
又平面平面，平面.
（2），则，，
取BD中点，则，又平面，平面BCD，
以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
则，，，
，所以，
故，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM，
，
点为内动点且平面QGM，
又平面ABD，平面平面，
，故点在OM上，
设，又，，，
则，
，
易知平面的一个法向量为，
设QG与平面所成角为，则最大时，最大，
，
所以当时，最大，此时最大，
即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大.
21．【正确答案】(1)
(2)
(3)证明详见解析
【详解】（1）依题意，，
.
（2）依题意，，
因为，所以.
（3）由于的图像是依次连接点的折线，
要证，只需证、
事实上，当时，
.
下面证明：
对任何，
，
所以，
所以当x∈0,1时，.